Выводы по плоским геометрическим преобразованиям

Подводя итог изучению двумерных преобразований, еще раз обратим внимание на структуру матрицы преобразования.

М =

Элементы a,b,c и d определяют коэффициенты поворота, масштабирования и сдвига. Элементы е и f служат для формирования переноса. Смысл трех оставшихся элементов необходимо прояснить. Начнем с k и m. Обычно, мы устанавливали им нулевое значение. Теперь положим их отличными от нуля, элементы главной диагонали приравняем к единице, а остальные элементы обнулим. Применим получившееся преобразование к произвольной точке заданной в однородных координатах с w =1.

[x’ y’ w’] = [x y 1] = [x y kx+my+1]

x’ = x, y’=y

Для того, чтобы понять результат, обратимся к геометрической интерпретации однородных координат. Точка в однородных координатах определяется тройкой, следовательно, мы имеем дело с трехмерной координатной системой, определенной в пространстве. Две оси системы нам привычны это X и Y, а третья – W, ось масштабных коэффициентов. Зафиксировав значение W, установив его равным единице, мы перешли от пространства к плоскости параллельной плоскости XOY. Установив элементы k и m отличными от нуля, мы сняли данное ограничение и полученная в результате преобразования точка расположена в пространстве. При этом ее третья координата определяется по формуле kx+my+1 т.е. зависит от значений x и у. Следовательно, точки, подвергшиеся данному преобразованию, будут лежать в некоторой плоскости не параллельной плоскости XOY. Вернем точку на плоскость W=1 путем проецирования лучами, проходящими через начало координат. Из подобия треугольников x’’= x’/w’= x/( kx+my+1) и аналогично y’’= y’/w’= y/( kx+my+1). Таким образом, математически подобное проецирование выразится в простой нормализации.

[x’’ y’’ 1] =

Для выяснения смысла элемента s матрицы преобразования, проведем рассуждения по аналогичной схеме. Умножим произвольную точку на соответствующую матрицу с ненулевым значением s.

[x y 1] = [x y s]

Все точки, подвергшиеся такому преобразованию будут лежать в плоскости W=s которая параллельна плоскости W=1. Нормализация будет приводить к простому масштабированию с одинаковыми коэффициентами по осям.

[x’ y’ 1] =

Основное отличие такого масштабирования от рассмотренного ранее состоит в том, что при s<1 будет происходить растяжение, а при s>1 – сжатие.

Трехмерные преобразования

При переходе в пространство добавляется координата Z и, следовательно, размерность матриц увеличивается на единицу. Точки в пространстве представляются четверками [x y z 1], размерность матриц преобразований становится 4*4.

В главную диагональ матрицы масштабирования добавляется масштабирующий коэффициент по оси Z, а в матрицу переноса добавляется проекция вектора переноса на ось Z.

Отображение в пространстве производится относительно плоскостей. Так при отображении относительно плоскости XOY поменяют знаки только координаты Z. Матрица такого преобразования будет выглядеть следующим образом. М = . Аналогично для других плоскостей.

С поворотами ситуация более сложная.