7.3. Одновимірні моделі розповсюдження речовини в нерухомому середовищі

У разі одновимірного процесу переносу (розповсю- дження) забруднень у нерухомому' повітряному або водному середовищі математичну модель одержуємо з

рівняння (7.2.15), поклавши в ньому —£ = 0 і ^-^ - 0:

ду дг

й^ + Пх,с,і) = ^-, (7.3.1)

дх от

де И — коефіцієнт молекулярної дифузії, мг/с; с{х, І) — концентрація речовини, що забруднює повітряне (водне) середовище, або густина організмів, що розповсюджу- ються в навколишньому середовищі, кг/мя, г/дм3, ос/мг та ін.); /(х, с, і) — функція, що описує інтенсивність (швидкість) джерела забруднень, витікання речовини з екосистеми або швидкість фізичного, хімічного і біоло- гічного перетворення речовини (наприклад, процеси седиментації, хімічного і біологічного самоочищення водойм); х, І — просторова і часова координати.

Стаціонарна модель молекулярної дифузії без джерел І перетворень

Стаціонарну модель розповсюдження забруднення (мікроорганізмів) у нерухомому середовищі (відсут- ність вітру або течії у водоймищі) за відсутності в систе- мі джерел і самоочищення описують таким рівнянням:

|4 = 0. (7.3.2)

дх

Цей процес досліджуватимемо на кінцевому про- міжку розповсюдження забруднень від точки х = до точки х = хг (рис. 7.2). Розглянемо розповсюдження стічних вод, що потрапляють в озеро видовженої форми, тобто його довжина значно більша за ширину. Процес розповсюдження забруднень визначається не тільки

с-с.

// "і. '/>*•//■*> '/ ^

Рис. 7.2. Схема забруднення водойми

рівнянням, що ного описує, а и додатковими умовами, що виконуються на межах проміжку, у цьому разі в точ- ках х = х, і х = х2.

Після інтегрування рівняння (7.3.2) два рази знай- демо його загальний розв'язок:

с(х)=А(х) + В, (7.3.3)

де А і В — поки що невідомі параметри.

Для визначення параметрів А і В скористаємось трьома можливими варіантами додаткових умов:

1. Відомі значення концентрацій забруднення на ме- жах ділянки (озера), де воно розповсюджується:

с{хі) = сі,с{х2) = с2, (7.3.4)

де Сі — концентрація забруднених стоків, що скидають- ся в озеро в точці х ■ дг,; с2 — концентрація забруднених стоків у точці х = х2 на відстані І від точки х ш хх.

Використовуючи (7.3.3) і додаткові умови (7.3.4), одержимо:

[с(х,) = Ах1+В = с1,

с(х2) - Ах2 + В = с2.

Розв'язавши систему лінійних рівнянь (7.3.5), знай- демо невідомі параметри:

А = £і^і В = С|*2 " С2*1 . (7.3.6)

(7.3.5)

х« - х.

Отже, підставивши в праву частину рівності (7.3.3) знайдені значення А і В, одержимо шуканий розв'язок (математичну модель):

с(х) = £2-2-ж*'1** {Л< (7>3<7) х2 - дг, х2 - х,

Для спрощення формули (7.3.7) доцільно покласти дг, - 0 і х2 = /. Тоді одержимо:

с(х) = ^-^-х + с1. (7.3.8)

Якщо концентрацію забруднень у стічних водах по- значимо через сл, а концентрацій} забруднень у воді в кінці озера — с,, то формула (7.3.8) матиме вигляд:

с(х) = $^-х + с,. (7.3.9)

Формула (7.3.9) є шуканою математичною моделлю стаціонарного процесу розповсюдження забруднень у функціональній формі (у цьому разі у вигляді лінійної функції).

2. На межі х = 0, тобто в точці скидання стічних вод, відомі концентрація і градієнт забруднень:

с(0) = с„ £

4х к=„

Скориставшись загальним розв'язком (7.3.3) і додатковими умовами (7.3.10), шукану математичну модель запишемо в такому вигляді:

= -к. (7.3.10)

с(х) = -кх + с3. (7.3.11)

3. Якщо градієнт забруднень заданий у кінцевій точці х = І, то математична модель матиме вигляд (7.3.10), тобто цей випадок збігається з попереднім. Це цілком зрозуміло, оскільки у разі лінійного розв'язку градієнт концентрації забруднень уздовж усієї ділянки їх розповсюдження не змінюється (к = С0П8С).

Використовуючи розв'язок (7.3.11), можна знайти таку точку д:0 на ділянці розповсюдження забруднень, у якій вода буде чистою (с = 0):

с(х0) = -кх0 + с3 = 0, дг0 = Т" (7.3.12)

Отже, якщо в процесі розповсюдження забруднень діє тільки механізм молекулярної дифузії, то воно від- бувається за лінійним законом, вираженим у вигляді рівності (7.3.9) або (7.3.11).

Нестаціонарна молекулярна дифузія консервативних речовин

Нестаціонарний (неуеталений) процес розповсю- дження забруднень (мікроорганізмів) у нерухомому середовищі за відсутності джерел і хімічних або біоло- гічних перетворень (консервативні речовини) описуєть- ся нестаціонарним рівнянням молекулярної дифузії:

1)^1 = ?£., (7.3.13) дх2 ді

де І) — коефіцієнт молекулярної дифузії, який визнача- ється природними властивостями дифундуючої речови- ни і середовищем розповсюдження забруднень.

Розв'язок рівняння в частинних похідних (7.3.13) обов'язково повинен задовольняти додаткові умови, одержані на основі спостережень за реальним процесом і задані, як правило, на кінцях ділянки (області), в якій відбувається процес.

Додаткові (граничні) умови візьмемо такі: задані значення концентрації забруднення на початку процесу в точці х *= 0 і на віддалі І від початку в точці х = І:

с(0,1) = с„с(1,1) = св. (7.3.14)

Крім додаткових (граничних) умов потрібно знати початковий стан забруднення у водоймі, тобто в момент часу і = і0 = 0. Якщо в початковий момент часу г 0 кон- центрація забруднень у водоймі відома, то повинна виконуватись одна з додаткових (початкових) умов:

с{х, 0) = с0{х), с(х, 0) = с0 = сопзі, (7.3.15)

де с0 — концентрація забруднень у початковий момент часу 1 = 0.

Диференціальне рівняння (7.3.13) та додаткові (гра- ничні й початкові) умови (7.3.14) і (7.3.15) називають крайовою задачею. Отже, щоб побудувати математичну модель у вигляді функціональної залежності с ■ с(х, і), необхідно розв'язати крайову задачу (7.3.13)—(7.3.15), тобто знайти такий розв'язок рівняння (7.3.13), який би задовольняв граничні (7.3.14) та початкові умови (7.3.15).

Розв'язок крайової задачі (7.3.13)—(7.3.15) шукати- мемо у вигляді суми:

с(х, і) = и(х) 4- и>(х, І), (7.3.16)

де функція и(х) — розв'язок стаціонарної крайової зада- чі типу (7.3.2), (7.3.4):

44 = 0, и(0) = с3, и(1) = с„ (7.3.17) ах

що має вигляд:

и(х) = С* ~ С* х + сл. (7.3.18)

Невідома функція ш(х, і) є розв'язком крайової зада- чі з нульовими (однорідними) граничними умовами:

и-(0,0 = 0,ш(/,() = 0, (7.3.20) ш(х, 0) - с(х, 0) - щ» - с - и(х). (7.3.21)

Розв'язки рівняння (7.3.19) шукаємо за допомогою методу відокремлення змінних (метод Фур'є) в такому вигляді:

и>н(х,і)-Хл(х)Тй(і). (7.3.22)

Використовуючи однорідні умови (7.3.20) та співвід- ношення (7.3.22), для функцій X і Т матимемо нульові граничні умови:

Х(0)Т(і) - 0, Х(0) - 0, (7.3.23) Х(/)Т(і) - 0, Х{1) - 0. (7.3.24)

Підставляючи (7.3.22) в рівняння (7.3.19), одержи- мо рівність:

£>ХТ = ХТ,

з якої після ділення на добуток ХТ маємо:

У Т'

де X2 ■ сопзі — довільна стала, яку необхідно визначити.

На основі (7.3.25), (7.3.23) і (7.3.24) можна записати таку крайову задачу для звичайного диференціального рівняння:

£^-^ + Х2Х = 0, Х(0) = Х(/) = 0. (7.3.26) а1 х£

Слід знайти такі значення параметра X, за яких існу- ють ненульові (нетривіальні) розв'язки крайової задачі (7.3.26). Ці значення параметра X називають власними значеннями, або власними числами, а відповідні розв'язки — власними функціями. Крайова задача (7.3.26) називається задачею на власні значення, або задачею Штурма — Ліувіля.

Характеристичне рівняння і його розв'язки мають такий вигляд:

*+і=0- г'=^''' Г2 = -^-' = 7=ї- (7-3-27)

Отже, запишемо загальний розв'язок диференціаль- ного рівняння:

Х(х) = Асов-^=х + Ввіп-^=х. (7.3.28)

у/о -Я)

Використовуючи рівняння (7.3.28) і граничні умови, одержимо:

Х(0) = А = 0, Х(1)= Взїп-%=1 = 0. (7.3.29) З рівняння (7.3.29) знаходимо власні значення: -— = ля, Х = ХЯ = ^5, „ = 1,2,3,... (7.3.30)

Ураховуючи вирази (7.3.28), (7.3.29) і (7.3.30), для кожного власного значення Х„ запишемо власні функ- ції — шукані розв'язки крайової задачі (7.3.26):

Хп(х) = Вазт-^х = В„ зіп (7.3.31)

Із співвідношень (7.3.25) для кожного власного зна- чення Хп одержимо:

—ів-Л*Л, (7.3.32)

частинні розв язки якого мають вигляд:

ґ—Ул

ЗД)-Vа* =а„еЛ,і . (7.3.33)

Отже, враховуючи співвідношення (7.3.22), (7.3.31) і (7.3.33),частинні розв'язки рівняння (7.3.19), що

задовольняють нульові граничні умови (7.3.20), мати- муть вигляд:

шп(х,і) = ХПТ„ = аяе'^°' вїп^, (7.3.34)

а загальний розв'язок, згідно з принципом суперпозиції для лінійних рівнянь, має вигляд:

ш(х,1) = £ая<Л 1' зіп —, (7.3.35) «-і ^

де а„ — поки що невідомі сталі.

Визначимо сталі коефіцієнти а„, скориставшись початковими умовами (7.3.21):

и>(х,0) = |>л зіп^=с0(х) -с, (7.3.36)

Помноживши ліву і праву частини рівняння (7.3.36) на віп — (яг — 1, 2, 3,...) з наступним інтегруванням одержаної рівності, матимемо:

ттгх

Л а„ зіп—— зіп—— гід: = [с0(х)-и(х)\вт —

<ІХ.

Використовуючи ортогональність власних функцій

лях , . тпх 8Ш—— і 8іп—— .маємо:

ґ . пкх . тпх , І зіп—— зіп—-—ах =

і

1

о

(п - т)к {п + т)п соз-:-х - соз-:-х

а"х =

іГ І . (п-т)п І (л + т)л1'

— -віп---віп---І = 0 ,

2 (л - т)п / (л + т)к І _^

(л * т);

. 2 П11Х .

ап зіп —— од: =

С.-С- . п -2-~ X 81П-

кх

а"х.

З останньої рівності знаходимо:

і

пкх , зіп ах

а, -

- (7.3.37)

. ? пкх ,

Обчислимо інтеграли в провій частині (7.3.37):

1) (с0 -с,)зіп — дггід: = —-— -соз —

^ / ля |_ /

о

(с0-са)1

-І0

ля

2)

ля

с, - с_ . ля

—--д;зіп— дгад: -

і

С І с, - с. пк ,

------ соз — хах =

) пк І І

с, -сш І пкх

X-СОЙ

/ пк. І

_І0

СОЙ ля

пк

Сд ~ с« . пкх +-зіп-

пп І

2 ляд: А , соз —— йх = І І

1Г '

/іпд-

ЗІП

2|_ 2лп І і> 2

Враховуючи обчислені інтеграли, вираз (7.3.37) перепишемо у вигляді:

(с0-с:,Ш1-(-1)а}-(-1)пКся-св)

а„ =2

пік

або

ап = —[с0 -е3 -с0(-1)* + с,(-1)* -са(-1)" -с,(-1)"]. пк

Остаточно маємо: 2

аа = — [со - с3 - (св - с0Х-1)"] • (7-3.38)

Отже, шуканий розв'язок (7.3.16) матиме вигляд: с{х,1) = с3-С-^-х +

Зауваження. При с0 = с„ розв'язок спрощується і має вигляд:

с, -с_

С(Ж,і) = С3 ^ ЛГ +

+ 2(св-с3)£ — віп — / '' , с„=с0. (7.3.40)

При г -> соз (7.3.39) або (7.3.40) одержимо стаціонар- ний розв'язок (7.3.9), що не залежить від часу (.

Стаціонарна модель молекулярної дифузії з процесами перетворення речовини

Усталений процес розповсюдження неконсерватив- них речовин або консервативних речовин за наявності джерел їх поповнення в екосистемі з нерухомим середо- вищем описують стаціонарним рівнянням молекуляр- ної дифузії, яке у разі лінійної кінетики перетворення речовини записують у вигляді:

О±±-уС = 0. (7.3.41) йхг

Спочатку знайдемо розв'язок за умови, що відомі значення концентрації забруднень на краях середови- ща, тобто виконуються граничні умови:

с(0) = еа; с(1) = са

(7.3.42)

Розв'язавши характеристичне рівняння, у цьому разі О^-у-О, (7.3.43)

маємо:

■4- г*Чі

(7.3.44)

Отже, загальний розв'язок рівняння (7.3.41) має вигляд:

с(х) = Ае уо +Ве «. (7.3.45)

Використовуючи граничні умови (7.3.42), маємо: Л + В = с3,

(7.3.46)

Розв'язавши систему рівнянь (7.3.46), знайдемо невідомі сталі А і В:

А =

, в =

с. - с„

. (7.3.47)

Підставивши сталі (7.3.47) у праву частину рівності (7.3.45), шукану математичну модель запишемо у функціональному вигляді:

фг) =

-І.а

с. - се

€ *" -Є або у вигляді:

с(х) =

X -і, і € -о _е їо

є Чт> (7.3.48)

€ -Є

-е

. (7.3.49)

Якщо знайти границю виразу (7.3.49) при у 0, то, за правилом Лопіталя

8'іх)

одержимо:

2,Р/

Іітс(х) = Іітс,

>-.о г-*о

2, Г'

1-х

У-.0

1.1

ЧУ> ЧУв

X

- х с - с.

X + с.

ПОО

С(х) = ^у^-Х + Са.

Остання рівність збігається з розв'язком (7.3.9), що моделює процес молекулярної дифузії без джерел і перетворень (самоочищення). Частинний розв'язок із загального випадку підтверджує правильність побудо- ваних моделей.

Використовуючи означення гіперболічного синуса:

вЬх = Є ~Є , (7.3.50)

розв'язок (7.3.49) можна записати у компактному вигляді:

С

с(х) =

зпх,М- + Г VI)

зш7-х)^. (7.3.51)

Тепер знайдемо розв'язок за умови, що відома кон- центрація на початку ділянки розповсюдження забруд- нень, а в кінці ділянки градієнт концентрації дорівнює величині -к, тобто за таких граничних умов:

с(0) = с,; £

= -к.

(7.3.52)

Загальний розв'язок рівняння (7.3.41) мас вигляд (7.3.45). Використовуючи граничні умови (7.3.52), знайдемо сталі А і В у цьому випадку: [А + В = с6,

(7.3.53)

і1

(7.3.54)

Отже, шуканий розв'язок запишемо у вигляді:

с(х) =

к+Чіе

-х.І

а +€ V/.

+

(7.3.55)

Побудовану функціональну модель (7.3.55) можна записати і в такому вигляді:

Використовуючи означення гіперболічного синуса (7.3.50) і гіперболічного косинуса:

сЬх =

+ е

(7.3.57)

рівність (7.3.56) можна записати у вигляді:

7 * Л- І

с(ж) =

7 сліД

вЬдг.М-. (7.3.58)

У кінці ділянки шлях розповсюдження речовини закінчується, інакше кажучи, у цій точці градієнт концентрації забруднень дорівнює нулю (н = 0). Отже, процес розповсюдження забруднень описується функ- цією:

с(х) =

(7.3-59)

На відміну від лінійного закону розповсюдження кон- сервативних речовин, процес розповсюдження неконсер- вативних речовин відбувається за нелінійним законом.

Нестаціонарна молекулярна дифузія неконсервативних речовин

Розглянемо нестаціонарний процес молекулярної дифузії неконсервативних речовин, коли кінетика пере- творення (розклад) речовини описується лінійною функцією. У цьому разі математична модель розповсю- дження речовини (або мікроорганізмів) являє собою крайову задачу:

°Т^-ус = ^- Сг>01; (7-3-60)

ох СІ

с(0, о = є., с(і, і) = ся; (7.3.61) с(х,0) = с0, (7.3.62)

де с3 — концентрація забруднень, що розповсюджують- ся у водному або повітряному середовищі; сш — концен- трація забруднень на відстані / від джерела забруднень; с0 — концентрація забруднень у початковий момент

часу І — 0; В — коефіцієнт конвективної (турбулентної) дифузії.

Вважатимемо, що граничні умови (7.3.61) й почат- кова умова (7.3.62) — сталі величини. У разі, коли вони є функціями, задачу потрібно розглядати окремо, хоча метод розв'язування не відрізняється.

Розв'язок крайової задачі (7.3.60)—(7.3.62) шукати- мемо у вигляді суми:

с(х,і)-и(х) = и>(х,і), (7.3.63)

де и(х) — розв'язок відповідної стаціонарної крайової задачі (7.3.41), (7.3.42) або (7.3.41), (7.3.52); и>(х, і) — розв'язок крайової задачі з однорідними граничними умовами:

В£її_їа, = ^,(ї>0); (7.3.64) дх ді

и>(0, І) = 0, і) = 0; (7.3.65)

ш(х, 0) = с(х, 0) - и(х) - с0 - и(х). (7.3.66)

Розв'язок крайової задачі (7.3.64)—(7.3.66) знахо- дитимемо у вигляді:

ш(х, І) - Х(х)Т\і). (7.3.67)

Підставляючи шукану функцію (7.3.67) у рівняння (7.3.64) та граничні умови (7.3.65), одержимо:

ВХ"Т - уХТ » XV, (7.3.68)

Х(0)Г(0 = 0, Х(1)Т(і) = 0. (7.3.69)

Після ділення (7.3.68) на добуток ХТ одержимо:

X" Т' В--у = —= -\2. (7.3.70)

X ' т

Із співвідношень (7.3.70) та (7.3.69) одержуємо зада- чу Штурма — Ліувіля:

.О^4- + (-у + Х2)Х = 0, Х(0)=Х(/) = 0, (7.3.71)

СІХ

розв'язки якої мають вигляд: Х(х) = А соз

~* + * х + ВзіпІШ-х. (7.3.72)

В V В

Використовуючи однорідні (нульові) граничні умови,

маємо:

А = 0, Ввіп^-^/=0. (7.3.73) З останнього рівняння знаходимо:

^±Л!/=ШІ, п = 1,2,3,... (7.3.74) Отже, знайдемо всі власні значення:

>- = К-\^ + У- (7.3.75,

Ураховуючи (7.3.73) і (7.3.74), розв'язки крайової задачі (7.3.71) запишемо у вигляді:

Хп(х) = Вяьт™х. (7.3.76) Із співвідношень (7.3.70) маємо також рівняння:

(7-3.77)

розв'язок якого має вигляд:

Тя(і) = аае-К*'. (7.3.78)

Тепер частинні розв'язки рівняння (7.3.64) можна записати у вигляді:

шя(х,1) = Х„ТЯ = віп^, (7.3.79)

а загальний розв'язок цього рівняння має вигляд:

ш(х,і) = Хь.е-* зіп^, (7.3.80)

/7-І '

де Ь„ — поки невідомі коефіцієнти.

Знайдемо ці коефіцієнти, скориставшись початко- вою умовою (7.3.66):

и>(х,0) = віп^ = с0 - и(х). (7.3.81) «-і '

Розв'язок стаціонарної задачі запишемо у вигляді (7.3.59):

и(х) = с> сп(/ -х) (7.3.82)

або

и(х) =

2сЬ/,

+ е

. (7.3.83)

Із рівності (7.3.81) видно, що коефіцієнти Ь„ є коефі- цієнтами Фур'є функції:

с0 - и(х) = с0-

(7.3.84)

при розкладанні її в ряд по синусах на проміжку (0, /). Ці коефіцієнти визначаються рівністю:

Ь„=- [с0(х)-щх)]зт^одг. (7.3.85)

Ураховуючи співвідношення

| є"' віп пхсіх =

а2 + п2

(а 5Іп пх - псозпд:). (7.3.86)

вираз (7.3.85) перепишемо у вигляді:

'с0 пкх

— соз-

пк І

пкх

, е"р* зіп- — сіх - 0 2сп(р ^ І

2сп/р

ерізіп

п кх

І

СІХ

пк і-

се"

2сЬір

7

, пкх пк пкх р кіп---соз-

ля

[і-(-І)"]-

2сп/р

ля

Р2+ ™

ля

лп

2спір

ЛЯ / . ЧП.1

7 Н)

... |ЛП

2 Мс

-ір[і-(-іГ]-.

с,Іля(-1)

я+1

2сЬгрО?гг2 + я2я2)

се^іпк

; 2сп/р(р2/2 + яая2)

с,/ля(-1)

(1+1

с.,е

'"/ля

2сЬгр(р2/2 + п2л2) 2спф(р2/2 + л2я2)

Л{і^Г "І__са£ля(-гг- _

г І ля і- -і сь/р(рг;2 + л2я2)

сяІппсЬІр

2сЬ/р(Рг^+ "2їг2)

= 2

ля -

с3пп\(-іу'1 + спір сЬІр<р212 + п2к2)

4

Отже, шуканий розв'язок має остаточний вигляд:

с(х,() =

"зі„£2£, ,7.3.87)

ч 1

де коефіцієнти о„ визначає рівність:

6. =2

-^-Гі-(-і)"]-

ля:1- -1

(-1)

4-1

+ 1

ЛЛС.

. (7.3.88)

Як правило, в кінці забрудненої ділянки значення концентрації забруднювальної речовини невідоме. Тому доцільно в цій точці задавати значення градієнта кон- центрації к. У цьому разі необхідно розв'язати крайову задачу:

де

І)

дх2

УС=сЧ>

Ф,і) = сл, £

= -к.

(7.3.89)

(7.3.90) (7.3.91)

с(х, 0) = с0(х) = с„ = С0П8І.

Розв'язок шукаємо у вигляді:

с(х,1) = и(х) = ш{х,1), (7.3.92)

де и(х) — розв'язок відповідної стаціонарної задачі (7.3.41), (7.3.52), записаний у вигляді (7.3.55), а функ- ція є розв'язком крайової задачі з однорідними гранич- ними умовами:

и>[0,і) = 0,шх(1,1) = 0, (7.3.94) ш(ж, 0) = сіх, 0)- и(х) = с0- и(х). (7.3.95)

Розв'язок крайової задачі (7.3.93)—(7.3.95) шука- ємо методом Фур'є, тобто у вигляді добутку:

и>{х,1) = Х(х)Т(і). (7.3.96)

Підставивши (7.3.96) в рівняння (7.3.93) та гранич- ні умови (7.3.94), одержимо:

Ш - уХ7" = ХТ, (7.3.97)

Х(0)Т(1) = 0, Х'{1)Т{і) = 0. (7.3.98) Після ділення (7.3.97) на добуток ХТ одержимо:

£)^-у=±- = ~).2. (7.3.99) X ' Т

Із співвідношень (7.3.99) і (7.3.98) одержуємо задачу Штурма — Ліувіля:

В^- + (-у + Х2)Х = 0, Х(0) = Х'(1) = 0, (7.3.100) сіх

загальний розв'язок якої записують у вигляді:

Х(х) = А соз і^1* + Ввіп \^1х • (7.3.101)

Використовуючи нульові граничні умови, одержимо:

А = 0, Сов^-^і=0. (7.3.102)

Із рівняння (7.3.102) знаходимо:

Є|рП_й1±!)«і „ = 0,1,2,8,- (7-3.103) V І) 2 Отже, власні значення встановлюють за рівністю:

Х = К=^ + Ш££І. ,7.3.104,

Ураховуючи (7.3.102) і (7.3.103), розв'язки крайової задачі (7.3.100) матимуть вигляд:

Хп(х) = Вп зіп (2Д*£1)1С*- (7.3.105)

Із співвідношень (7.3.99) одержуємо також рівняння:

^- = -Х2, (7.3.106) аЧ

розв'язок якого запишемо так:

Та(і) = аае-*. (7.3.107)

Тепер частинні розв'язки рівняння (7.3.93), що задо- вольняють однорідні граничні умови (7.3.95), мають вигляд:

шЛх,1) = ХЛ=Ь,віП(2п\»ЛХе-'--'", (7.3.108) де Ь„ = В„а„, а /.„ визначає рівність (7.3.104).

10

Загальний розв'язок запишемо у вигляді:

4-І

2.

де — поки що невідомі коефіцієнти.

Знайдемо коефіцієнти Ь,„ скориставшись початко- вою умовою (7.3.95):

ш<*,0) = ±Ь„ 3їпі2п^)КХ = с0-и(х), (7.3.110)

л-1

21

де и(х) визначає формула (7.3.55).

Із рівності (7.3.110) видно, що коефіцієнти Ь„ є кое- фіцієнтами розкладу функції

с„ - и(х) - с0 -Ле" - Ве°* (7.3.111) в ряд Фур'є, причому сталі А і В визначаються рівностями

(7.3.54), а Р = у—- Коефіцієнти Фур'є при розкладі

функції (7.3.111) по синусах на проміжку (0, /) визнача- ють за такою рівністю: і

Ь. Л|[Со-иМ]зі„<?2±рї^. (7.3.112)

Ураховуючи співвідношення:

е** зіп пхЛх = —=-т-(а віп пх - псо&пх), (7.3.113)

-1 а + п2

рівність (7.3.112) перепишемо у такий спосіб:

Ає •** -Верх)5іп

. (2л + 1)кх

21

<іх =

2ІС0 (2л + 1)пх соз*

-А

(2л 4 1)п

21

, «2п + 1»¥ГРЗШ 2/

(2л + 1)кх

АІ2

і

(2л + 1)п (2п + \)кх

- ■ — - СОЗ ■ ~ ■

21 21

.о

-В

|2 | (2л + 1)У 4/2

. (2л + 1)лдг

р ЗІП----

У 21

(2л + 1)л (2л + 1)кх

■ соз

2!

21с,

21

(2л + 1)л

- А

, , (2л + 1)У 4/2

(2л + 1)п

% (2л + 1)У 21 412

-В

(2л + 1)л

2 (2л + 1)У з (2л + 1)2л2 2/ Р + 4*» Р + 4?

(7.3.114)

Ураховуючи рівність (7.3.55), шуканий розв'язок запишемо у вигляді:

с(х) =

І? +

^,. (2л 4 1)ллг

-»,<І!.(2л-і/<!0 4('

л^О

2/

де коефіцієнти Ь„ визначає рівність:

21с,

(2л + 1)л

2_2

2 (2л +1)4 Р *~ 41г

(2л + 1)л

2/

(2 | (2л + 1)2я2 41і

- В

ре"(-1)' 2 , (2л + 1)У

4/г

(2п + 1)л

2/

)2 , (2л + 1)У 41і

,р= . (7.3.115)

Сталі А і В визначаються рівностями (7.3.54). Враховуючи, що А + В - са, рівність (7.3.115) пере- пишемо у вигляді:

2/с0 (-1)"р(Аг -Ве")

(2л + 1)я

2 _2

• . (2л+ 1)4

4/:

(2л + 1)п<\

21

2 (2л + 1)2л2

4*г

(7.3.116)

або в остаточному вигляді:

и (2л + 1)я ХврН-іУЧАе'" - ВерІ) - 4(2л + 1)лс3

4/72/г + (2л+ 1)4

2_2

. (7.3.117)

7.4. Одновимірні моделі розповсюдження речовини в рухомому середовищі

Якщо речовина (субстрат) або угруповання організ- мів розповсюджується в рухомому (повітряному, водно- му) середовищі, причому процес можна розглядати як одновимірний, з рівняння (7.2.16) одержимо матема- тичну модель цього процесу або явища:

°тт-у^ + ^х'с^ = ^^ <7-4Л>

дх2 дх ді

Дві) ™ &х — коефіцієнт конвективної або турбулентної дифузії (мг/с); с(х, і) — концентрація речовини або чисельність організмів, що розповсюджуються в рухо- мому навколишньому середовищі (довкіллі); V ™ Ух — швидкість вітру в повітряному середовищі або швид- кість течії у водному середовищі (річці, озері, каналі, водосховищі та ін.); [{х, с, і) — функція, що описує інтенсивність джерел забруднень або швидкість їх фізичного, хімічного та біологічного перетворення; х — просторова координата; І — часова координата. Розгля- немо окремі випадки цього процесу.

Стаціонарна модель конвективної дифузії без джерел і перетворень

Розглядаючи розповсюдження забруднень або орга- нізмів, що інтенсивно розмножуються, побудуємо ста- ціонарну модель, що описує цей процес в умовах його рівноваги.

Стаціонарний процес розповсюдження забруднень за відсутності джерел і перетворень описується таким звичайним диференціальним рівнянням конвективної дифузії:

= <7-4-2>

йх йх

Характеристичне рівняння та його розв'язок мають вигляд:

Яг2 -Уг = 0, г, = 0,г2

Отже, загальний розв'язок рівняння (7.4.2) запису- ють у вигляді:

V

с(х) = А + Ве*>. (7.4.3) Розглянемо кілька граничних умов. Якщо на кінцях проміжку, де розглядається процес, задані концентрації забруднень:

с(0) = са,с(1) = сй, (7.4.4) то, визначивши сталі А і В:

шуканий розв'язок запишемо у вигляді:

Величину р = = Ре називають числом Пекле.

При малій швидкості переміщення середовища число Ре мале (Ре « 1). У цьому разі в механізмі розповсю- дження субстрату переважає молекулярна дифузія. Розв'язок (7.4.6) можна записати в такому вигляді:

е° -е° 1-е° с(х) = ся—я--сл-$-- (7.4.7)

е°-1 е°-1 Якщо в правій частині рівності (7.4.7) за правилом Лопіталя знайти границю при У~>0, то одержимо стаціо- нарний розв'язок задачі у разі, коли перенесення речови- ни відбувається за моделлю молекулярної дифузії:

VI ух Ух ^) = {™С.-«----

е°-1 е° -1

±_х_ £

Гі Г) п 1-х X

=с*1+с-1=с>—+сч

або

С(Ж) = Са + £»_Ах

тобто одержали рівність (7.3.9). Це підтверджує пра- вильність побудованих моделей для цих двох стаціо- нарних процесів переміщення (розповсюдження) речо- вини.

Якщо розглянути інші граничні умови:

с(0) = с„ І

(7.4.8)

то із загального розв'язку (7.4.3) одержимо:

V -

А + В = са, — Ве°=-к;

А = са+—е°,

Отже, розв'язок у цьому разі має такий вигляд:

с(х) = ся

(7.4.!

або

с{х) = с3

(7.4.10)

Якщо у рівності (7.4.10) знайти границю при V-* 0, то матимемо розв'язок (7.3.11) для молекулярної дифу- зії з граничними умовами (7.4.8) або (7.3.10).

Стаціонарна модель конвективної дифузії неконсервативних речовин

При взаємодії речовини з навколишнім рухомим середовищем або з іншою речовиною в навколишньому середовищі стаціонарний процес розповсюдження цієї речовини при лінійній кінетиці взаємодії можна описа- ти математичною моделлю (крайовою задачею): йгс Ас

В^-У'^-Ус = 0' (7.4ЛІ) йх2 йх

с(0) = с„ с(1) = с9. (7.4.12)

Характеристичне рівняння і його розв'язки мають вигляд:

Яг*-У,г-у-0, (7.4.13) V - № + 4уЯ V. + <]у2 + 4уИ

" = — • * ■ "Ми—• (7-414)

Отже, загальний розв'язок крайової задачі:

с(х) = ЛеГ|Х + Вег'г. (7.4.15)

Використовуючи граничні умови (7.4.12), знайдемо сталі А і В:

А + В = с„, с(х) = Ае'1' + Ве"\ А = СаЄ'' -С* В-С"~С'Є'''

/4 - ^ ' е'21 _ "

Шуканий розв'язок запишемо у вигляді:

сіх) = л. е" ♦ й-ЗЙ- є", (7.4.16)

де Г[ і г2 визначаються за формулами (7.4.14).

Якщо у формулах (7.3.14), (7.4.16) покласти V = 0, то одержимо математичну модель молекулярної дифузії із самоочищенням, тобто формулу (7.3.47), а якщо у формулах (7.3.14), (7.4.16) покладемо у = 0, то одержи- мо математичну модель конвективної дифузії без само- очищення, тобто формулу (7.4.6).

За відомого градієнта концентрації в кінці шляху розповсюдження речовини в рухомому середовищі матимемо граничні умови:

<іс сіх

У цьому разі сталі А і В загального розв'язку (7.4.15) мають вигляд:

= -л. (7.4.17)

г,1

А = -±А-г. В =

а шуканий розв'язок записують так:

Якщо у формулах (7.4.14), (7.4.19) покласти V = 0, то одержимо формулу (7.3.55), тобто математичну модель розповсюдження речовини в нерухомому середо- вищі із самоочищенням за граничних умов (7.3.52), а якщо у формулах (7.4.14), (7.4.19) покласти у ■ 0, то одержимо формулу (7.4.9), що описує розповсюдження речовини в рухомому середовищі без самоочищення і перетворень за граничних умов (7.4.8).

Отже, знайдені розв'язки (7.4.16) і (7.4.19) є найза- гальнішими із розглянутих математичних моделей ста- ціонарного одновимірного процесу розповсюдження речовини (угруповання організмів). Метод послідовного ускладнення математичної моделі і одержання більш простих (частинних) моделей із загальних є важливим способом ефективного використання математичних моделей, що враховує складність поставленої задачі та ЇЇ мету.

Нестаціонарна конвективна дифузія неконсервативних речовин

Иайзагальнішим є випадок, коли відбувається не- усталене розповсюдження речовини або організмів у рухомому середовищі за наявності біохімічних перетво- рень або джерел і стоків, які можуть моделювати наро- дження і смертність організмів. Для цього випадку мате- матична модель представлена у вигляді крайової задачі:

-уЛ-^-'У ,7.4.20) дх ох ді

с(0,г) = са, £ ах

= -А, (7.4.21)

с(х, 0) = с0(х) = с0 = сопзі. (7.4.22) Розв'язок шукаємо у вигляді суми

с{х, *)-«<*) + »(*,*>> (7.4.23) де и(х) — розв'язок відповідної стаціонарної задачі (7.4.11), (7.4.17), який має вигляд (7.4.19); функція

и>(х, і) — розв'язок крайової задачі з однорідними гра- ничними умовами:

пд2ш дш ди> .„ ___

в^-у*ах--уш=*> (7-4"24)

іф, і) = 0, иф, і)-0; (7.4.25) ш(х, 0) - с(х, 0) - «(х) = с0- и(х), (7.4.26)

де и(я) визначається рівністю (7.4.19).

Розв'язок крайової задачі (7.4.24)—(7.4.26) шука- ємо методом відокремлення змінних (метод Фур'є), тобто обчислюємо його як добуток:

ш{х,і) = Х(х)Т(і). (7.4.27)

Підставивши (7.4.27) у рівняння (7.4.24) та гранич- ні умови (7.4.25), одержимо:

ПХНТ - У.Х'Т - уХТ = ХТ, (7.4.28)

Х(0)Т(1) = 0, Х(1)Т(і) - 0. (7.4.29)

Після відокремлення змінних у рівнянні (7.4.28) маємо:

Х~" У Т"

07"^х"ї = 7г42 (7-4-30>

Із співвідношень (7.4.30) з урахуванням однорідних граничних умов (7.4.29) випливає задача Штурма— Ліувіля:

О^М^ - V- — + (X2 - у)Х = 0, Х(0) = Х'(0 = 0. (7.4.31) йх* <іх

Розв'язок характеристичного рівняння:

Яг2 - Ухг + (X2 - у) <= 0 (7.4.32)

має вигляд

2 21)

!к2	*2-у
402	і)
	Х2-у
4 7) 2

(7.4.33)

Отже, загальний розв'язок рівняння (7.4.31) запису- ють у вигляді:

Х(х) = е

- *20

X* -у VI

а соз.——---*-гХ

V В 4В2

+ і» зіп,—----*-?х

V В 4В2

(7.4.34)

Використовуючи першу граничну умову (7.4.31), одержимо:

Х(0) = а = 0. (7.4.35)

Знайдемо похідну:

}Х - у VI

IX2-у V2 В 4В2

+€

\Х2-у V* Xе-у V* -а,-'---зіп-- —^гх +

В 4В'

В 4В'

ь Х2-у V* Х2-у V;

Ьу----'-т віп,/-1--хтх

\ В 4Вг ї і) 4Ь2

= о20

2В \ В 4В2

№-1 у; _ *2-г ч

С05

V І> 4Л2 Згідно з другою гранившою умовою (7.4.31) маємо:

Х'(і) = Ьего

-^зіп,-

2В V В

Х2-у V2

40і

Х*-у V2 .Х2-у VI ' — * соз _■___—

В 4В2 \ В 4В'4

І

= 0-

З останньої рівності одержуємо:

дзп\1ц„ + р„соз*цп = 0, (7.4.36)

де позначено:

Рівняння (7.4.36) можна переписати у вигляді:

іВІ\хп=-—-\іа. (7.4.38)

Розв'язавши рівняння (7.4.38), із співвідношення

(7.4.37) знайдемо власні значення:

К = УІУ +4***1 • Я = ^- (7-4.39)

Ураховуючи (7.4.34), (7.4.35) і (7.4.37), розв'язки крайової задачі (7.4.31) можна записати у вигляді:

Хп(х) = Вае'*вігцхпх, (7.4.40)

де власні функції яіпрпА- ортогональні.

Із співвідношення (7.4.30) маємо рівняння:

= -а» , (7.4.41)

аі

розв'язок якого записують у вигляді:

Та(і) = аае-Х''. (7.4.42)

Отже, частинні розв'язки рівняння (7.4.24), що задовольняють однорідні (нульові) граничні умови

(7.4.25) , мають вигляд:

шя(х,і) = ХаТя = Ьле^' зіп\хпх, (7.4.43)

де Ь„ = а^„, а значення ц„ обчислюють із рівняння

(7.4.38) .

Загальний розв'язок крайової задачі (7.4.24)—

(7.4.26) записують як суперпозицію частинних розв'яз- ків у вигляді:

ш(х, І) = є4' £ Ьпек' зіп цях . (7.4.44)

Помноживши ліву і праву частини рівності (7.4.44) на е~4', запишемо:

и>(х, і)е4' = £ Ь„е * зіп ц„х. (7.4.45)

Використовуючи початкову умову (7.4.26), із (7.4.45) одержимо:

ш(*,0)е" = |>„ зіпцпх (7.4.46)

або, враховуючи співвідношення (7.4.15), маємо:

[с0 -(АЄ*Х + Вег")]е-<' = Хб„ віпіі„х, (7.4.47)

/і-0

де А і В визначаються рівностями (7.4.18).

Права частина рівності (7.4.47) — розклад у ряд Фур'є, коефіцієнти якого визначають за рівністю:

і

|(с0 - Ае''х - Вег'х)е"х вїпрпхсІх

К=*-1-. (7.4.48)

| зіп2 \іпх<1х о

Увівши позначення:

Л = \с0е~"х зіп \хах<іх = Іо)і\\ (7.4.49) о Я + ИП

*-г = )0Ае зїп^хсіх;

І3 = £.Ве<г'"* $тііпх<іх;І0 = ^віп2 \і„х<іх,

розв'язок крайової задачі (7.4.20)—(7.4.22) визначають за рівностями (7,4,19), (7.4.23), (7.4.44), причому кое- фіцієнти Ьп обчислюють за формулою:

Ьп = і,-і,-і, (7 4 50)

•'о

Для обчислення інтегралів /0, /2,1% необхідно ско- ристатись формулою

г еах еах вїїїпсіх = —г--(авіл пх - псовпх) (7.4.51)

1 а +п

Застосування аналітичних методів до розв'язування крайових задач конвективної дифузії пов'язане зі

складними математичними викладками та розрахунка- ми. Тому у цих випадках доцільно користуватись чисельними методами.

7.5. Дослідження процесу біологічного очищення стічних вод за допомогою математичного моделювання

Використовуючи математичну модель процесу роз- повсюдження забруднень у рухомому середовищі неконсервативних речовин, можна визначити основні параметри біореактора та швидкість біологічного очи- щення стічних вод і водних об'єктів.

Побудова концептуальної і математичної моделей

Біореактор являє собою прямоточну очисну споруду (канал, басейн, ставок або водосховище) у вигляді пря- мокутної призми. До біореактора надходять стічні води із забруднювальними речовинами, кожен інгредієнт яких, перебуваючи в біореакторі, трансформується в нешкідливі або малошкідливі речовини. Найтоксичні- ші органічні речовини за допомогою мікроорганізмів перетворюються на неорганічні, які або осідають на дні реактора, або засвоюються фітопланктоном та іншими водними організмами. У такий спосіб відбувається біоло- гічне очищення стічних вод. Його швидкість залежить від біомаси мікроорганізмів і концентрації забруднень, що впливають на неї. Якщо в біореакторі процес стабілі- зувався, то концентрація забруднень у кожній точці біо- реактора не змінюватиметься протягом усього часу спо- стереження. Проте вздовж реактора в напрямку руху стічних вод концентрація забруднень зменшується і на виході з біореактора стає найменшою. Чим довше стічні води перебуватимуть у біореакторі, тим краще вони очистяться. Час перебування стічних вод у біореакторі

залежить від швидкості, з якою вони течуть у ньому. Отже, чим більша швидкість течії у біореакторі, тим менш очищеною буде вода на виході з нього. У зв'язку з цим постає задача визначення такої швидкості стічних вод у біореакторі, за якої концентрація забруднень на виході не перевищуватиме заданої гранично допустимої величини. Для її розв'язання потрібно застосувати метод математичного моделювання.

Загальне рівняння масопереносу домішок у рухомо- му розчині з урахуванням кінетики реакції перетворен- ня (самоочищення) забруднювальних речовин запису- ють у вигляді (7.4.20):

о£-У,%.-Ц*.і,Т.с)с-%, (7.5.1) дх' дх ді

де с(х, і) — концентрація забруднень; О — коефіцієнт молекулярної дифузії; V, — швидкість руху розчину; у(х, і, Т, с) — функція, що описує кінетику біологічного самоочищення; і — час (доби).

Ураховуючи досить малий вплив молекулярних про- цесів на очищення стічних вод та їх стаціонарний характер, для моделювання біологічного очищення стічних вод у реакторі скористаємося рівнянням:

Ух^- = -у(х,і,Т,с)с. (7.5.2) <іх

Коефіцієнт швидкості очищення за сталої темпера- тури обчислюватимемо рівністю:

ї(*. 0 - їт» + (ї«|. - Уж**. <7-5"3>

де постійні утіп, Уп^. і р визначають при верифікації (калі- бровці) моделі на основі даних натурних спостережень.

Коефіцієнт швидкості біологічного очищення стіч- них вод у може мати різну структуру, але основною його властивістю є те, що він повинен задовольняти такі умови:

У(0) = їиі.. 1іту = угам. (7.5.4) (-»«

Ця властивість показує, що швидкість очищення стічних вод не може збільшуватись необмежено. Тому коефіцієнт швидкості очищення має асимптотичне обмеження.

Розв'язок диференціального рівняння шукатимемо за додаткової (початкової) умови с(0) = ссг, де сст — кон- центрація стічних вод, що надходять до реактора. Отже, математичну модель біологічного очищення стіч- них вод описує крайова задача:

-і

У- — = "І V-,, + (ушіп - Чт„)Є и

"сіх

с, (7.5.5)

(7.5.6)

Ураховуючи, що V = крайову задачу (7.5.5)—

аі

(7.5.6) перепишемо у такому вигляді:

і

Утах (їтіп — Ттах^

<(с Сії

с,с(0) = с„. (7.5.7)

Для математичної моделі (7.5.2) трофічну функцію у(х, і, с. В), що описує величину швидкості біологічного самоочищення, можна представити різними функція- ми, які задовольняють умову (7.5.4). Крім функції (7.5.3) цю умову задовольняє функція, що визначається рівнянням Міхаеліса — Ментен у такій формі:

7(0 =

ун+1

(7.5.8)

Де їтах і Ун — сталі верифікації, причому стала Міхаелі- са у„ дорівнює такому значенню часу, за якого швидкість протікання реакції (споживання субстрату) дорівнює

1

половиш максимальної

У 2 ^ч"*

Узагальнивши формулу Міхаеліса — Ментен, її можна записати як функцію часу, концентрації і біома- си мікроорганізмів:

ум + (г + с + В)

(7.5.9)

Аналогічно можна узагальнити трофічну функцію (7.5.3) і записати її у вигляді:

у((,с,В) = утйК+(увйп-утйя)е - . (7.5.10)

Для деяких організмів можливе визначення трофіч- ної функції як розв'язку логістичного рівняння, тобто:

У тіп І тах

у(і,с,В) ому ви:

У(1,С,В) =

Утіп (Утах їтіа№

або в загальному вигляді:

У тій Утах

V . + (V - V • 1Є і тіп "тих і тіп'

(7.5.11)

. (7.5.12)

Розв'язавши крайову задачу (7.5.7), знайдемо функ- цію, що описує (моделює) динаміку забруднень (зміну їх концентрації):

,1 = —.(7.5.13)

	Г	Г _і >
с(і) = с„ ехр	^(Ущіп Угоох)	е " -1	"Утах' '	,і =
		^ і

V

Поклавши для зручності уті1І = 0 і р = т. Із розв'язку (7.5.13) одержимо формулу для обчислення концентра- ції забруднень у стічних водах, що рухаються в реакто- рі зі швидкістю V/.

,*=А, (7.5.14)

де параметри моделі у^, і т поки що не визначені.

			( —ї 1
с(1) = с„ ехр	Утах	т	1-е ■ 1-І

Верифікація математичної моделі

Для проведення розрахунків необхідно спочатку за даними натурних спостережень провести верифікацію (калібровку) математичної моделі (7.5.14), тобто вста- новити числове значення параметрів утах = у і р, див. пунктирну лінію, що описує динаміку концентрації хімічної потреби кисню (ХПК) за даними натурних спо- стережень (рис. 7.3).

У табл. 7.1 містяться результати натурних спостере- жень за біологічним очищенням стічних вод молокоза- воду в біореакторі за двома показниками — ХПК та зави- сями. Відомо, що довжина біореактора Ь ■ 100, а швид- кість руху стічних вод у біореакторі — и - 2,5 м/добу. У

с. г/дм

0.6

О 25 50 75 100 х. м

Рис. 7.3. Схема очищення води в біореакторі

таблиці наведено значенії)! концентрації органічних речовин за ХПК і зависями на вході в біореактор і через кожні 25 м, тобто через 10, 20, ЗО, 40 діб перебування забруднень у біореакторі.

Таблиця 7.1

Значення концентрації забруднень за ХПК і зависями, г/дм3

Інгредієнт	Ня початку БР	25 м (10 діб)	50 м (20 діб)	75 м (ЗО діб)	100 м (40 діб)
ХПК	0.508	0,360	0,300	0,070	0,029
Зависі	0,035	0.030	0,027	0.020	0,016

Верифікацію моделі проводитимемо за методом послідовних наближень, тобто для різних значень параметрів у і т будемо знаходити значення концен- трації с(г) доти, доки воно не почне збігатися з даними натурних спостережень. Обчислення зручно проводити в певній послідовності, тобто за алгоритмом (табл. 7.2), де в перший рядок записують значення координати стічних вод у біореакторі (х = 0 м; х = 25 м; х = 50 м; х = 75 м; х = 100 м). Для кожного значення параметра у (у — 1; 0,1; 0,5 і т. д.) беруть кілька значень параметра т(т = 10; 25; 50; 100 і т. д.).

Таблиця 7.2

Алгоритм обчислення концентрації забруднень

ї	д-	і *\ Схр -	1-Схр - —|= в V от)	ат	ат - — = Ь V	ехр(у&>	х ехр(уЬ)
1	2	3	4	5	6	7	8

При остаточній верифікації математичної моделі доцільно визначити абсолютну і відносну середні ква- дратичні похибки.

Відносна середня квадратична похибка 5 визнача- ється за формулою (у відсотках):

«і - 100%

а для даного випадку:

8 = 100%)-

Дс,

Де,

А£_з

Де.

(7.5.15)

, (7.5.16)

де Де і, Дс2, Дс3, Дс4 — абсолютні похибки; с,, с2, с3, с4 — дані натурних спостережень у точках біореактора х — 25 м; х — 50 м; х = 75 м; х — 100 м. Згідно з розрахун- ками найменшу середню квадратичну похибку одержу- ють за значень параметрів верифікації у = 0,40 і т - 100, за яких математичну модель можна вважати верифікованою Із заданою точністю. З урахуванням того, що при у = 0,45 і т = 100 середня квадратична похибка дещо більша, але на виході з біореактора зна- чення концентрації менше, ніж те, що спостерігається під час натурних спостережень, доцільно ці значення взяти за параметри верифікації. Графіки концентрацій побудовано за даними натурних спостережень (ламана пунктирна лінія) і результатами теоретичних (матема- тичних) розрахунків (суцільна крива) (рис. 7.3). Резуль- тати верифікації наведено у табл. 7.3—7.7.

Таблиця 7.3

Верифікація моделі приу= 1; т = 10; 25; 50; 100

1	2	3	4	5	6	7	8
1) у = 1; т = 10
10	-1		0,632	в. 32	-3.68	2,522 * 10"1	1.281 х 10 1
20	-2	0.135	0.865	8.65	-11,35	1.177 х 10а	5.979 х Ю"*
ЗО	-3	0,050	0,950	9.І0	20,50	1,250 х Ю~в	6.351 х Ю 10
40	4	0.0183	0.982	9.82	-30.18	7.816 х 10 14	3,971 х 10
2) у - 1; т - 25
10	-0,4	0,670	0,330	8.25	-1.75	0,174	0.088
20	0.8	0.449	0.551	13.775	-6.23	1,98 х 10 3	1.01 х Ю"1

Закінчення таблиці 7.3

І	2	3	4	5	6	7	8
зо	1.2	0.301	0.699	17.475	12.525	3,63 х 10 '	1,846 х 10"*
40	1.6	0.202	0.798	19.95	20,05	1.96 х 10 1	9.96 х 10"ІС
3)у = 1; т = 50
10	-0,2	0.819	0,181	9,05	0.950	0,387	0.196
20	-0.4	0,670	0,330	16.5	-3,5	0.0302	0.0153
ЗО	-0,6	0.549	0,451	22,55	-7,45	5.81 х 10 *	2.954 х 10"
40	-0.8	0,449	0.551	27.55	12.45	3.918 х Юч	1,990 х Ю"'
4) у - 1; т - 100
10	-0,1	0,905	0,095	9.5	-0,5	0,607	0,308
20	-0.2	0,819	0,181	18.1	-1.9	0,1495	0,076
ЗО	І-о.з	0,741	0,259	25.9	-4,1	0.0166	8,419 х №~*
40	-0,4	0,670	0.330	33,0	-7.0	9,199 х Ю *	4.632 х Ю *

Таблиця 7.4

Верифікація моделі при у - 0,1; т - 10; 25; 50; 100

1	2			•"і	6	7	8
1)Г-0,1; т = 10
10	-1	0.368	0,632	6,32	-3,68	0,692	0.352
20	-2	0,135	0.865	8.65	-11,36	0,321	0,163
ЗО	3	0.050	0,950	9.50	20,50	0,129	0.0654
40	-4	0.0183	0.982	9.82	-30.18	0.049	0,0248
2				і у - 0.1; т - 25
10	-0.4	0.670	0.330	8.25	1.75	0.839	0,426
20	-0,8	0,449	0,551	13.775	-6.23	0.56	0.284
ЗО	-1.2	0.301	0.699	17,475	-12.525	0.286	0.145
40	-1.6	0.202	0.798	19.95	-20.05	0.135	0.068
3)у - 0,1; т - 50
10	-0,2	0,819	0.181	9.05	-0.950	0,909	0,462
20	0,4	0.670	0,330	16.5	-3.5	0,705	0.358
ЗО	-0.6	0,519	0.451	22.55	-7.45	0.475	0,241
40	-0.8	0.449	0.551	27.55	12,15	0.288	0.146
4) у - 0,1; т - 100
10	-0.1	0.905	0.095	9.5	-0,5	0.951	0,483
20	-0,2	0.819	0.181	18,1	-1.9	0,827	0.420
ЗО	-0,3	0.741	0.259	25.9	-4.1	0,664	0,337
40	-0.4	0.670	0.330	33.0	-7.0	0,497	0.252

Таблиця 7.5

Верифікація моделі при у = 0,5; т = 10; 25; 50; 100

1	2	3	4	5 6		7	6
1) у - 0.5; т - 10 _
10	-1	0.368	0,632	6.32	-3.68	0.159	0.0807
20	-2	0,135	0.865	8.65	-11.35	3.43 - 10 а	1.743 х Ю"'
30	-3	0.050	0.950	9.50	-20.50	3,54 х 10 1	1.796 ■ 10
■10	-4	0,0183	0.982	9,82	-30,18	2.795 х Ю~	1.42 х 10"*
2) у = 0.5; т = 25
10	-0,4	0,670	0.330	8,25	-1,75	0,417	0.212
20	0.8	0.449	0.551	13.775	6,23	0.0445	0,0226
ЗО	-1.2	0.301	0.699	17.4 75	-12.525	1.906 х Ю"'	9.68 х 10н
40	-1,6	0,202	0,798	19,95	-20.05	4,43 х 10 8	2.25 х юа
3) у - 0.5; т = 50
10	-0.2	0.819	0,181	9.05	0.95(1	0,622	0.316
20	-0.4	0.670	0.330	16.5	-3.5	0,174	0.083
30	-0.6	0.549	0.451	^2.55	-7.45	0.0241	0,0123
40	-0.8	0,449	0,551	27,55	12,45	1,98 х 10~*	1,05 х 10"''
4) у - 0.5; т - 100 _
10	-0,1	0,905	0,095	9.5	0,5	0.779	0.395
20	-0,2	0.819	0.181	18.1	1,9	0,387	0,196
ЗО	-0,3	0.741	0.259	25.9	-4.1	0.129	0,0654
40	-0.4	0.670	0.330	33.0	7,0	0,0302	0,0153

Таблиця 7.6

Верифікація моделі при г= 0,2; 0,3; 0,4; 0,45 І т = 100

1	2	3	4	5	6	7	8
1) т - 0,2; т - 100
10	-0.1	0.905	0,095	9.5	-0.5	0,905	0,460
20	-0.2	0,819	0,181	18.1	-1.9	0,684	0,347
зо	-0.3	0.741	0.259	25.9	-4,1	0,404	0,205
40	-0.4	0.670	0.330	33.0	-7.0	0,247	0,125
2) у = 0,3; /ті - 100
10	-о.і	0.905	0.095	9.5	-0.5	0.861	0,437
20	-0.2	0,819	0.181	18.1	-1.9	0,566	0,288
30	-0.3	0.741	0.259	35.9	-4.1	0.292	0,148

Закінчення таблиці 7.6

1	2	3	4	5	6	7	8
40	-0,4	0.670	0,330	33.0	-7,0	0.122	0,062
3) у = 0,4; т = 100
10	-о.і	0,905	0.095	9.5	0.5	0.819	0.416
20	-0.2	0.819	0,181	18.1	-1.9	0.468	0,238
зо	-0,3	0.741	0,259	25,9	-4.1	0,194	0.098
40	-0.4	0,670	0,330	33.0	-7.0	0.061	0,036
4) у - 0,45; т = 100
10	-0,1	0,905	0,095	9.5	-0.5	0,798	0,406
20	-0.2	0,819	0,181	18,1	-1,9	0.425	0,216
зо	-0.3	0,741	0,259	25.9	-4.1	0.158	0,080
40	-0.-1	0.670	0.330	33.0	-7,0	0,043	0,022

Як бачимо, при у = 0,45 і т ■ 100 концентрація за- бруднень на виході реактора є найменшою.

Проведення імітаційного експерименту

За допомогою верифікованої математичної моделі (7.5.14), записаної у вигляді:

ЮоГі-ехр " '

с(х) = 0,508 ехр ^ 0,4

\00о) V

, (7.5.17)

можна проводити імітаційні (чисельні) експерименти. Наприклад, такий: 1) обчислити концентрацію за- бруднень у стічних водах на виході з біореактора (х = 100 м) при різних швидкостях течії в біореакторі: V — 12,5 м/добу, V - 5 м/добу і V = 1,25 м/добу; 2) про- аналізувати роботу біореактора з очищення стічних вод при різних швидкостях течії в біореакторі.

Згідно з результатами чисельного (імітаційного) експерименту (табл. 7.7.) із збільшенням швидкості очищення стічних вод концентрація забруднень (орга- нічної речовини за ХПК) на виході біореактора зростає. Зокрема, при збільшенні швидкості течії забруднених вод у біореакторі з 2,5 м/добу до 12,5 м/добу, тобто у 5 разів, концентрація забруднень на виході реактора

збільшується в 20 разів, а при збільшенні швидкості від 2,5 м/добу до 5 м/добу, тобто в 2 рази — у 10 разів. При зменшенні швидкості з 2,5 м/добу до 1,25 м/добу, тобто в 2 рази, концентрація забруднень зменшується у кіль- ка разів. Отже, при швидкості руху стічних вод у біоре- акторі V — 2,5 м/добу процес очищення найкраще задо- вольняє практичні вимоги, за умови, що концентрація забруднень не повинна перевищувати 0,3 г/дм3 за ХПК.

Таблиця 7.7

Результати чисельного (імітаційного) експерименту

1	2	3	4	5	6	7	8
			1)	V = 12.	5 м/добу
2	-0,02	0,980	0,0198	1,98	-0,0199	0.991	0.503
4	0,04	0,961	0,0392	3.92	0.0789	0.965	0.490
6	-0.06	0.942	0.0582	5.82	-0.176	0.924	0.469
8	-0.08	0.923	0,0769	7,69	-0.31	0.870	0,442
5	-0,05	0.951	0.0488	4.88	-0.12	0.947	0.481
10	-од	0.905	0,0952	9.52	0.48	0.806	0.409
2) V - 5 м/добу
15	-0.15	0.861	0,1393	13,93	-1.07	0.618	0,314
20	-0.2	0.819	0.1813	18.13	-1,873	0,430	0.219
3) V - 1,25 м/добу
20	0.2	0.819	0,1813	18,13	1,873	0.430	0.219
40	-0.4	0.670	0,330	33.0	-7.0	0.042	0.022
60	-0.6	0.549	0,4512	45,12	-14,88	0.0012	6,27 х 10 *
80	0.8	0.449	0.5507	55,07	24.93	1.341 х )0 1	6.81 х

Зауваження. За допомогою математичної моделі (7.5.14) рекомендуємо дослідити процес очищення стічних вод у біореакторі від зависі в (табл. 7.1). Доціль- но провести верифікацію та імітаційний експеримент з очищення стічних вод за іншими показниками (інгреді- єнтами) якості води.