Тема 8. Математичне моделювання і прогнозування..

Математичне моделювання і прогнозування забруднення ґрунтового та рослинного середовищ

Антропогенне забруднення ґрунтів та рослин позна- чається на екосистемі загалом. Тому контролювання і регулювання їх максимальних концентрацій необхідні для підтримання екологічного балансу в екосистемі. Для обчислення комплексної дії факторів забруднення використовують математичні моделі, які з достат- нім ступенем вірогідності можуть описати процеси, що відбуваються в Грунті та рослинах.

6.1. Моделювання основних процесів життєдіяльності рослин

Сучасні уявлення про формування продуктшшості агроекосистем стали основою створення моделей про- дуктивності посівів різної складності. Теоретичні та експериментальні дослідження міграції полютантів у ґрунтовому покриві, кореневого і аврального шляхів потрапляння їх у рослини започаткували розроблення комплексних моделей формування врожайності сільсь- когосподарських культур. Ці моделі синтезують опис впливу гідрометеорологічного режиму і антропогенного

забруднення на формування кількості, якості та еколо- гічної чистоти врожаю, у т. ч. і в посушливій зоні.

Унаслідок викидів промисловими підприємствами в атмосферу забруднювальних речовин відбувається антро- погенне забруднення атмосфери і ґрунту. Крім того, забруднювальні елементи входять до складу мінераль- них добавок, призначених для підживлення сільсько- господарських культур, вода для зрошення має низьку якість і містить радіонукліди та важкі метали.

Для урахування комплексу цих факторів необхідно використовувати математичні моделі, які з достатнім ступенем вірогідності можуть описувати вказані проце- си. При їх розробленні зважають на такі положення:

— продуктивність рослин визначається їх розвит- ком та інтенсивністю процесів росту у різних умовах навколишнього середовища;

— розвиток рослин тісно пов'язаний з процесами росту. Ріст і розвиток моделюються комплексно та за- лежно від факторів зовнішнього середовища, особливо від екстремальних умов і біологічних властивостей рослин;

— моделювання кореневого та аврального засвоєння полютантів: радіонуклідів, важких металів, сірки, пестицидів;

— на якість і екологічну чистоту врожаю впливають ендогенні та екзогенні фактори упродовж періоду веге- тативного і репродуктивного росту рослин.

Процес формування кількості (накопичення сухої біомаси господарчо цінної частини врожаю), якості (вміст у зерні білка та крохмалю) і екологічної чистоти (вміст радіонуклідів та важких металів) врожаю розгля- дають як складну сукупність синтезу, розпаду та вза- ємоперетворення основних компонентів біомаси, нако- пичення рослиною забруднювальних речовин. Най- більш ефективною структурою математичної моделі є така, яка складається з окремих блоків.

Блок вхідної інформації вміщує дані про середню декадну температуру повітря, тривалість сонячного освітлення, дефіцит вологи в ґрунті, суму опадів, площу листової поверхні рослин.

Блок радіаційного і водно-теплового режимів рос- линного покриву включає дані про найменшу вологоєм- ність ґрунту, оптимальні суми температур для росту рослин.

Блок фотосинтезу охоплює оптимальні суми темпе- ратур для фотосинтезу окремих органів рослин, коефі- цієнти Інтенсивності фотосинтезу та початковий нахил світлової кривої фотосинтезу.

Блок дихання включає коефіцієнти витрат па дихан- ня, росту та підтримку структур.

До блоку росту та розвитку належить вплив факто- рів навколишнього середовища на швидкість накопи- чення рослинної маси і процесів забруднення на якість рослинної маси.

Енергія сонця — первинне джерело біофізичних і фізіологічних процесів у системі «грунт — рослина — атмосфера*. Унаслідок проходження крізь атмосферу І відбивання нІд підстилаючої поверхні сонячна радіація зазнає зміни. Частина сонячної радіації поглинається в атмосфері, перетворюючись на інші види енергії, пере- важно на теплову. Частина її розсіюється в атмосфері молекулами газів, аерозолями та хмарами.

Найважливішу роль у формуванні врожаю сільсько- господарських культур відіграє фотосинтез листя. Для розрахунку інтенсивності фотосинтезу посівів у розра- хунковій декаді використовують формулу:

«І-*<♦/(* +МІф). (6.1.1) де Ф0 — інтенсивність фотосинтезу за оптимальних умов тепло- і вологозабезпеченості та реальних умов освітленості, мг СОг х дм"г х г"1; к — 28 — Інтенсивність фотосинтезу при світловій насиченості та нормальній концентрації СОг, мг СОг х дм'3 х г"1; Ь =• 300 — початко- вий нахил і'вітлової кривої, мг х дм*"2 х г 1 (кал см 2 х х хв. '); /п„, — фотосинтетична активна радіація (ФАР), що поглинається посівом, кал х см'2 х хв.'1; І — номер розрахункової декади.

Основу теорії продуційного процесу сільськогоспо- дарських культур становить вивчення та опис процесу фотосинтезу рослин, тобто утворення вуглеводів у фотосинтезуючих органах з води і двоокису вуглецю під впливом низки факторів, основним з яких є інтенсив- ність фотосинтететично-активної радіації (ФАР) в рос- линному покриві.

З проникненням ФАР у глибину рослинного покри- ву знижується її інтенсивність, залежно від висоти рос- линного покриву, кутової орієнтації листя, розподілу щільності рослинного покриву за вертикаллю, товщини

і форми листя. Детальне моделювання процесу тран- сформації ФАР у посіві є складною задачею, яка потре- бує урахування особливостей поглинання, розсіюаоння та відображення радіації у посіві, а також зміни ЇЇ спек- трального складу.

Найпростішою та найпоширенішою моделлю, яка характеризує послаблення ФАР рослинним покривом, є формула Будаговського, згідно з якою середню інтен- сивність ФАР у посіві визначає розвиненість листового апарату рослин, тобто відносна площа листової поверх- ні (листовий індекс).

ФАР, яку поглинає посів, у розрахунковій декаді обчислюють за формулою;

іи-Фа+схі), (б.і.2)

де /0 — інтенсивність ФАР на верхній межі посіву в роз- рахунковій декаді, кал х см"т х хв."'; с — 0,5 — емпірич- на стала; /. — площа листової поверхні в розрахунковій декаді, М*х м

Потік ФАР на верхню межу посіву визначають за формулою:

/4 = 0,5^/60тд, (6Д-3)

де Я — сумарна сонячна радіація, кал х см 1 х доб. тд — середня тривалість дня в розрахунковій декаді, год.

Сумарну сонячну радіацію розраховують за форму- лою Сивкова:

0і = іг.ббСЗ')1'" + ЗЩзїпНІ)", (6.1-4)

де 5 — середня тривалість сонячного сяяння в розра- хунковій декаді, год.; Л„ — полуденна висота Сонця, встановлювана за формулою:

віпЛ^ =А* + В>, (6.1.5)

де А - віїнрзіпб; В - совцнювй; <р — географічна широта станції; 6 — схил Сонця.

Таблиця схилень Сонця для весняних та літніх міся- ців апроксимована поліномом:

5 - [0,473(*0 + /) - 0,196 х 10 2Со + І) -

- 0,407 х 10"5((0 + /)* - 0,616] х 0,017453, (6.1.6)

де ґ0 — кількість днів від 20 березня до дня появи сходів; І — номер дня розрахункового періоду (тільки для цієї формули).

Інтенсивність фотосинтезу в реальних умовах середо- вища, які відрізняються від біологічно оптимальних, визначають за формулою:

Ф! = Ф0аФчІА. (6-1.7)

де Фф — інтенсивність фотосинтезу в реальних умовах середовища, мг СОг дм~2 х р-1; о*— онтогенетична крива фотосинтезу, відносні одиниці; Уф.Уф— функції впливу температури повітря та вологості грунту на фотосинтез.

Сумарний фотосинтез посіву за світлий час доби роз- раховують за формулою:

Ф'-ОДб.ОД, (6.1.8)

де Ф — денний фотосинтез рослин на одиницю площі, г х м~2 х доб. '; к = 0,68 — коефіцієнт ефективності фотосинтезу; І* — площа листової поверхні, ма х м"2 ; тд— середня тривалість дня у розрахунковій декаді, год.

Добовий приріст сухої біомаси посіву в розрахунко- вій декаді ЛМ (г х м"2 х доб."1) визначає сума денного фотосинтезу посіву та переміщення сухих речовин:

Ші = (Ф* + Ат*} - аі(с,Л/' + с2Ф/), (6.1.9)

де а* — онтогенетична крива дихання, обчислена анало- гічно до кривої фотосинтезу з урахуванням оптимальної температури /іор'для сезонного ходу дихання; М — суха біомаса посіву на початок розрахункової декади, г х м~2; Сі - 0,01 — коефіцієнт витрат на підтримання структу- ри, г х г"1 х доб."1; са - 0,255 — коефіцієнт дихання росту, безрозмірний.

6.2. Моделювання міграції радіонуклідів в агроценозах

Системний підхід до вивчення процесів міграції радіонуклідів в агроценозах

На підставі загальних екологічних концепцій систем- не дослідження міграції радіонуклідів в агроценозах можна поділити на такі етапи:

1) постановка задачі;

2) визначення структури системи, яку моделюють;

3) ідентифікація моделі;

4) реалізація моделі;

5) ппрепірко моделі, дослідження моделі;

6) використання моделі для вирішення практичних завдань, оцінювання можливості застосування моделі для інших цілей.

Крім того, подібний аналіз, а також імітація за допомогою моделі різних ситуацій, у т- ч. екстремаль- них, слугують додатковим матеріалом для перевірки моделі і можуть призвести до необхідності П удоскона- лення.

Найважливішим є сьомий етан, на якому модель використовують для розв'язання таких практичних І наукових задач, як прогнозування забруднення про- дукції агропромислового виробництва, оцінювання ефективності заходів щодо зниження ріння радіону- клідів у раціоні харчування людини, а також задач оптимізації. При проведенні розрахунків часто ви- являють нові проблеми, вирішення яких можливе за допомогою моделі. Однак при цьому варто оцінити від- повідність нових задач реальним можливостям моделі.

Залежно від форми реалізації математичні моделі міграції радіонуклідів в агроценозах поділяють на імі- таційні то аналітичні.

Імітаційні математичні моделі (ІММ) тлумачать як формалізований опис досліджуваного явища у всій його повноті.

Якщо модель відповідає аналітичному виразу, що дає змогу для будь-яких вхідних змінних та початкових умов визначити шукані величини в будь-який момент часу, її називають аналітичною ІММ. Такі моделі призначені для опису процесів при певних фіксованих координатах. Використовуючи ці моделі, уточнюють необхідні для опису міграції параметри і оцінюють їх величини. Часто аналітичні моделі пропонують досить прості формули для наближених практичних розрахун- ків і бувають методичною основою для створення вели- ких імітаційних моделей.

Залежно від ступеня визначеності результатів іміта- ційні і аналітичні моделі поділяють на детерміновані і стохастичні. При цьому детерміновані моделі мають точно визначені змінні, а стохастичні — оперують з роз-

поділами параметрів. У цьому разі параметри с випад- ковими величинами і характеризуються ймовірними показниками: математичними середніми, дисперсією та ін. Точкові і просторово розподілені моделі відрізня- ються за величинами просторового опису, а також вра- хованими н них процесами.

Відповідно до тою, описують моделі тимчасову

динаміку процесів чи ні, їх класифікують на статичні і динамічні.

Важливу групу аналітичних моделей становлять статистичні моделі, в яких залежність прогнозова- них величин від внутрішніх та зовнішніх змінних визначається за допомогою методів математичної ста- тистики.

Моделі міграції радіонуклідів за специфікою охо- плення розглянутих процесів можна розділити на групи:

1) моделі міграції радіонуклідів у ґрунтах;

2) моделі аврального забруднення посівів сільсько-

господорських культур;

3) моделі міграції радіонуклідів у системі «грунт —

рослина»;

4) моделі перенесення радіонуклідів по харчових ланцюжках;

5) моделі транспортування радіонуклідів в агро- сфсрі;

6) моделі транспортування радіонуклідів в організмі сільськогосподарських тварин.

Групи 1—4 вмішують моделі міграції радіонуклі- дів в основних компонентах агроценозів (ґрунти, сільськогосподарські рослини), у т. ч. моделі метабо- лізму радіонуклідів в організмі тварин. Як правило, ці моделі належать до точкових, детермінованих, динамічних моделей. їх використовують при розро- бленні моделей міграції радіонуклідів харчовими лан- цюжками, і вони є основою прогнозування транспорту радіонуклідів в агросфері. П'ята група охоплює точ- кові статичні та динамічні моделі. До шостої групи належать моделі, які розглядають транспортування радіонуклідів унаслідок масштабного забруднення сільськогосподарських угідь. Такий поділ моделей в радіоекологічній практиці склався історично І є досить поширеним.

Моделювання вертикальної міграції радіонуклідів у профілі ґрунту

У моделях вертикальної міграції радіонуклідів за- звичай враховано механізми, що визначають швидкість перебігу цього процесу, — конвективнйй І квозідифу- зійний. Ґрунт у цьому разі розглядають як середовище з трьох фаз: твердої (ґрунтові частки), рідкої (ґрунтова волога) і газоподібної (ґрунтове повітря). Однак усе різ- номаніття процесів, від яких залежить переміщення радіонуклідів у профілі ґрунтів, зводиться до двох їх результуючих, які описуються узагальненими параме- трами, що стосуються усіх фаз одночасно. Радянські учені (В. Прохоров, Л. Кириченко, В. Анохін, І. Кон- стантинов, ІО. Свірежев) узагальнили теоретичні й екс- периментальні дослідження в галузі моделювання міграції радіонуклідів у профілі ґрунтів, л також при- пустили наявність стану динамічної рівноваги між радіонуклідами, що знаходяться у твердій І рідкій фазах ґрунту. Було запропоновано й обґрунтовано вико- ристання При описі міграції радіонуклідів рівняння конвективної дифузії:

,\(х. іуді = Віх, 1)о*д(х. 1)/дх> -

- идоіх. *)/дх - Щх. 0. (6-2.1)

де д{х,1) — середня по усіх фазах концентрація радіону- клідів; Щ.Х. 0 — ефективний коефіцієнт квозідифузії; їй — лінійна швидкість перенесення радіонуклідів під впливом потоку вологи; X — постійна радіоактивного розпаду.

Для того щоб застосувати рівняння (6.2.1) для розв'язання практичних задач, його необхідно доповни- ти початковими і граничними умовами.

Початкові умови:

</(*. 0 = 4<х), при х > 0, * = 0. (6.2.2)

Граничні умови на нескінченності: 7^.0 = 0

І, при *-»*>, і>0. (6-2.3)

^(х,і)/<1х = 0

Умови на межі розподілу «атмосфера — ґрунт» можна розуміти неоднаково. Так, їх можна розглядати

у вигляді зядпного певним чином потоку радіонуклідів через поверхню розподілу середовищ:

<іа(х, і)/<іх —і) = Л('). при х - 0, * > 0 (6.2.4)

або задавати залежність концентрації радіонуклідів на поверхні грунту від часу:

<7<*. 0 - Ш при д: = 0,* > 0. (6.2.5)

Обидві форми граничних умов однаково правомірні, тому застосування будь-якої з них залежить від особли- востей ситуації, яку моделюють.

Воскові аналітичних моделей вертикальної міграції лежить припущення про часову та просторову однорід- ність шару ґрунту, у якому розглядається процес мігра- ції. Таке спрощення є достатнім для того, щоб отримати аналітичні рішення рівняння (6.10) для практично важливих випадків.

1. Однократне забруднення поверхні ґрунту. У цьому разі умову на межі розподілу «атмосфера — ґрунт» необхідно розглядати в потоковій формі, у якій функцію /,(ґ) варто визначити як добуток двох спів- множників:

оо, при 1І 0, при і * 0

Л(о - зад.

де — поверхнева щільність випадання; 6(0 — дельта- функція Дірака;

Рішення рівняння конвективної дифузії з гранични- ми умовами, описаними вище, і нульовими початкови- ми умовами чК*) - 0 можна одержати у вигляді:

5(0 =

Я(х,г) = ^еxр(-x^)\-Л=еxр

■ми

ехр

20 І В ) \2^Ві

де егІс{х) = Гсхр(-ї2)</( — інтеграл ймовірності.

2. Аналогічно у потоковій формі на межі розподілу середовищ можна записати граничні умови й за рівно-

го { <ах\ . х . со гг ІС „ г.

~— ЄГ(С -т= + -Л , (6.2.6)

мірного випадання радіонуклідів протягом деякого про- міжку часу:

.... <70. при 0< / <Т ЛІ») -

0, при і > Т

Розв'язок рівняння (6.10) за цієї граничної умови має складний вигляд. Однак для наближених розрахун- ків при виконанні умови

його можна використовувати у більш простій і прийня- тій формі:

9<^0 = ^ехр(27сф)

Ф(0 =

Р

Ф(0, при 0 < і < Т Ф(0 - Ф(і - 7), при І > Т

#1

24с 2\4с 2Х

(6.2.7) схр(-2>ІХс)егіс(у]*-- у/сї);

Н 20 У Ай

3. Якщо радіоактивні випадання зі змінною інтен- сивністю тривають протягом великого проміжку часу, граничні умови на поверхні Грунту задають у вигляді залежності поверхневої концентрації радіонуклідів від часу: /г(0 ■ д(0, і). Відповідний розв'язок рівняння (6.10) має вигляд:

а = (х, і) = х ехр

(0

2~Б

х -

( 2 >
-+ Х	1
40 \

4В(1 - т)

4х. (6.2.8)

(і - т)3'2

4. Практичний інтерес становлять умови забруднен- ня, за яких вміст радіонуклідів у початковий момент часу в шарі ґрунту товщиною / постійний і дорівнює «7„. Наприклад, після випадання радіонуклідів забруднену ділянку переорюють і згодом не обробляють. У цьому разі розв'язку рівняння квазідифузії з початковими І граничними умовами, де:

до, при 0 < х < 1 О, при х > 1

; ( = !;(*) = О, при х = 0, т. >0,

за допомогою нескладних перетворень можна надати вигляду:

д(х,і) = уехр

(0

27)

X -

0>

4Х>

І

(6.2.9)

Крайові задачі, що описують вертикальну міграцію радіонуклідів, можуть бути реалізовані у вигляді не лише аналітичних виразів (моделей), а й програм для персонального комп'ютера (імітаційних моделей). Уна- слідок цього застосування імітаційних моделей уможли- влює прогнозування перенесення радіонуклідів у Грун- тах, які не відзначаються однорідною структурою, враховувати сезонні коливання погодннх умов, що впливають на процес вертикальної міграції.

Крім безпосереднього розв'язування крайових задач чисельними методами при створенні імітаційних моде- лей вертикальної міграції радіонуклідів у ґрунті вико- ристовують і компартментний (камерний) підхід, згідно з яким ґрунт розглядають як середовище з певної кіль- кості шарів (компартментів), між якими описується переміщення радіонуклідів. У межах кожного шару ґрунту, на які поділений профіль, його властивості, а отже, і параметри переносу радіонуклідів приймають постійними для кожної пори року. Процес переміщення розглядають як дискретний у часі та по координаті. При цьому передбачають, що кількість радіонуклідів, які виходять з шару ґрунту, дорівнює кількості, що надходить у наступний шар.

За такої постановки задачі баланс радіонуклідів у і-му шарі ґрунту можна представити у вигляді:

(6.2.10)

Є.

+ 1.1

де — вміст радіонуклідів у І-му шарі в ]-й момент часу; і /вих — сумарні потоки радіонуклідів, що над- ходять у і-й шар і виходять з нього.

Цей підхід поширений при розробленні багатока- мерних моделей міграції радіонуклідів у системі «Грунт — рослина», у яких потоки радіонуклідів між шарами розглядають прямо пропорційно вмісту радіо- нуклідів в окремих шарах ґрунту:

І„ - (Ь + іАі + *»-іЛі >>д'' (6.2.11)

де \ІА — коефіцієнт переходу радіонуклідів з у-го в і-й шар ґрунту.

Перевага цього підходу полягає в його простоті й можливості, у разі заміни різницевих аналогів диферен- ціалами, використання апарату звичайних диферен- ціальних рівнянь.

Описуючи потік радіонуклідів між шарами ґрунту, використовують і квазідифузійні уявлення. При цьому для кожного шару ґрунту суму між вхідними і вихідни- ми потоками можна представити у такому вигляді:

~ /их = і-0<ІЯ/<іх + а>ф)Д«. (6.2.12)

Прикладом застосування імітаційних моделей є роз- рахунки за комиартментною моделлю, у якій опис пере- носу ^Зг між компартментами відповідав виразу (6.2.3). Розрахунок здійснено для двох випадків. У першому імітували міграцію радіонуклідів в умовах, наближе- них до природних. При цьому профіль ділили на 4 шари, для кожного з яких задавали різні значення Б і со (табл. 6.1). Для періодів з позитивними і негативними температурами ґрунту (перша і друга половини року) узято різні чисельні значення. Чисельні значення 2) і <о відповідають ґрунтам із промивним режимом і близькі до значень у реальних умовах. Радіоактивного розпаду при цьому не враховували.

У другому випадку прийняли, що профіль характе- ризують постійні параметри И і ю, для яких використа- но середньочасові величини із значень, прийнятих у першому випадку. Через 15 років після надходження ""Зг на поверхню ґрунту розрахункові профілі його роз- поділу в першому і другому випадках істотно різняться. Із цього випливає, що розгляд неоднорідного середовища

як однорідного може призвести до істотних похибок при застосуванні аналітичних моделей. Тому, якщо розпо- діл радіонуклідів у шарі ґрунтів необхідно визначити з високою точністю, доцільно використовувати чисельне моделювання.

Таблиця 6-І

Значення параметрів міграції в шарах ґрунтового профілю

Шар ґрунт)'. СМ	/), смг/рік		», см/рік
	ДЛЯ першої ПОЛОВИНИ року	для другої половини року		ДЛЯ першої ПОЛОВИНИ року	для другої ПОЛОВИНИ року
0—3	і.з	1.3		1,3	0
3-6	7,5	7,5		3.8	0
6-9	1.8	1.8		1.8	0
9-30	7,5	7,5		3.8	0
0-30	(1,3	6,3		3.2	0

Натепер використання моделей вертикальної мігра- ції стримує відсутність не теоретичних підходів і кон- кретних моделей, а необхідної інформації про параме- три міграції для широкого спектра радіонуклідів. При цьому більшість таких досліджень (проведені групою вчених на чолі з В. Прохоровим), стосується впливу характеристик ґрунтів на параметри міграції *°8г. У результаті отримали рівняння множинної регресії, що пов'язує коефіцієнт квазідифузІЇ ""Зг із властивостями ґрунтів:

О = аПАІ„і - ехр(-Е/ПТ), (6.2.13)

деД — властивості ґрунту; І — чисельні коефіцієнти; Е — енергія активації; В — газова стала; Т — абсолют- на температура.

Більшість методів вимірювання коефіцієнтів дифу- зії радіонуклідів у ґрунтах основані на зіставленні емпіричного розподілу радіонуклідів у ґрунтовому шарі з теоретичним, отриманим на підставі математич- ної моделі, що описує цей процес. Параметри міграції знаходять шляхом розв'язання зворотної задачі або підбором таких значень параметрів, за яких теоретич- ний розподіл відповідає емпіричному.

Аналогічна ідея лежить в основі наближених мето- дів прогнозу міграції радіонуклідів у неоднорідному шарі Грунту, розроблених з використанням аналітич- них моделей. Відповідно до цього підходу за відносним вмістом радіонуклідів у шарі ґрунту певної товщини знаходять уявний коефіцієнт дифузії. Він дорівнює такому значенню цього параметра, за якого розрахун- ковий вміст радіонуклідів у цьому шарі, отриманий на основі дифузійного рівняння, відповідає емпіричному.

Для оцінювання розрахункового відносного вмісту радіонуклідів у шарі ґрунту використовують вираз:

Х -\ч(х,іуіх/\д(х,і)<іх. (6.2.14) о о

Математичні моделі міграції радіонуклідів у профілі ґрунтів широко застосовують в радіоекологічній прак- тиці. Вони дають змогу прогнозувати вміст радіонуклі- дів у шарі ґрунту, де розміщена коренева система, та забруднення сільськогосподарської продукції, розра- хувати дозові навантаження зовнішнього опромінення населення. їх також використовують при дослідженні переходу радіонуклідів у ґрунтові води, оцінюванні вимивання радіонуклідів з верхнього шару ґрунтів і забруднення поверхневих вод.

Моделі міграції радіонуклідів у системі -ґрунт — рослина»

Для моделювання міграції в системі «ґрунт — рос- лина» характерним є використання методів технічної кібернетики, на яких ґрунтується побудова й аналіз компартментних (камерних) моделей. З погляду опису міграції, компартментом можна вважати будь-який елемент агроценозу чи його частину, у яких накопичу- ються радіонукліди.

У межах цього підходу агроценоз розглядають як сукупність однорідних комиартментів, МІЖ якими від- бувається перенесення радіонуклідів, що характеризу- ється деякими функціями а,,. Ці функції характери- зують інтенсивні потоки радіоактивних речовин між компартментами і у загальному вигляді залежать від ендогенних і екзогенних факторів.

Нрн математичному описі перенесення речовин у компартментних моделях використовують апарат зви- чайних диференціальних рівнянь:

= Xе* - + ао. -<*,„. (6.2.15)

аі *-і *-і •.і ».і

де д,(і) — вміст речовини в і-му компартменті; а„ — кількість речовини, що надходить за одиницю часу в і-й компартмент ізу-го; аш І аі0 ■— швидкості надходження і виведення речовини в системі.

Якщо для моделювання міграції радіонуклідів застосовують компартментний підхід, інтенсивність переходу радіонуклідів з і-го компартмента в / м про- порційна вмісту радіонуклідів у і-му компартменті:

а„-(»,//„ (6.2.16)

де функція щ, відповідає швидкості перенесення радіо- нуклідів при одиничному їх пмісті в і-му компартменті.

Існує кілька підходів для визначення функцій пере- несення. Найпростіший передбачає заміну функцій со, деякими константами, що відповідають середнім зна- ченням цих функцій на певному відрізку часу:

т

к-^Іщ^х/Т. (6.2.17) о

Отримані в такий спосіб константи залежать від періоду осереднення, оптимальний вибір якого часто становить значні труднощі. На практиці при виборі періоду осереднення слід дотримуватись приблизної незмінності осереднених параметрів. Зокрема, при моделюванні міграції довгоживучих радіонуклідів за період осереднення приймають один рік.

Застосування компартментних моделей міграції радіонуклідів у системі «ґрунт — рослина» ілюструє модель, призначена для прогнозування забруднення корене- і бульбоплодів.

Будемо вважати, що компартмент 1 представляє орний шар ґрунту з рівномірно розподіленою концен- трацією радіонуклідів, компартмент 2 — підкореневу зону ґрунту, компартмент 3 — вегетативні надземні частини рослин, компартмент 4 — господарсько цінні частини рослин. Константи кч описують такі процеси: кїЛ — повторне запилення, Л3 , — здування вітром і зми-

вання дощем, Лм — надходження за рахунок коренево- го засвоєння, кя<4 — перенесення радіонуклідів з корін- ня у надземну частину рослин, к12 — винесення радіо- нуклідів за межі шару ґрунту, де розміщене коріння, унаслідок вертикальної міграції, к33 і к44 — винесення радіонуклідів при збиранні врожаю. Коефіцієнт к4ї є формальною константою, що забезпечує пропорцій- ність вмісту нуклідів у компартментах 4 і !.

Система диференціальних рівнянь, яка відповідає схемі міграції радіонукліді»:

<^,/Л - калд, + А,..?* - <*,., + кІА + *,л + А.)?,; (6.2.18) йЧгІйІ - А,.гіі - Х?2; (6.2.19) Ац%Ійі = АІдо, - <*,., + кгл + к*л + Х)о,; (6.2.20)

аиг4/аі - + - + + (6.2.21 >

Розв'язки цих рівнянь дають змогу прогнозувати вміст радіонуклідів у виділених у моделі компартмен- тах системи «ґрунт — рослина* з використанням кон- стант перенесення (табл. 6.2).

Таблиця 6.2

Константи перенесення радіонуклідів у системі "Грунт — корене- і бульбоплід*

Р«діо- нукліл		*и	*м	Ні	**.	*«;	*4.|	Хс'ж
,06Ки	2,2—10	7,0-91	5,6—5,	2.7—7	1,4—8	3,2—8	1,0	2.2—8
•», .	2.2—Ю	7,0—9	1,1-4	2.7—7	3,0—8	3,2—8	1.0	1.0—6
ІЛГСз	2.2—10	7,0-9	2,8—5	2.7-7	3,0—8	3,2—8	1,0	7,3-10
•°5г	2.2-10	7,0—9	1.7-5	2.7—7	5,5—9	8,2—8	1.0	2.9—8

Складнішими вважають компартментнї моделі, у яких враховують взаємозв'язок стану компартментів зі швидкістю перенесення радіонуклідів між ними. У цих моделях розглядають міграційну задачу і систему, що імітує властивості компартментів, які впливають на процес міграції в системі «ґрунт — рослина».

Згідно з цим підходом побудовано модель, що опи- сує накопичення Ни в органах бобових рослин. Вона складається з підмоделей «Біомаса» і «Накопичення».

У пІдмоделі «Біомаса» за допомогою логістичної моде- лі розглядають зміну біомаси окремих органів рослин:

де — маса і-го органа рослини в момент часу (, ком- бінація індексів 0, і відповідає моменту часу, коли почи- нається розвиток І-го органа; Ь, і к, — позитивні кон- станти, що характеризують розвиток органів рослин.

Підмодель «Накопичення» містить систему рівнянь, складовими якої є рівняння, що імітують вміст радіону- клідів у кожному компартменті (органі рослин); вира- зи, у яких розраховується інтенсивність потоків радіо- активних речовин між цими компартментами:

^л/^ = а0>п-ар.в; (6.2.23) <ідв/<1і = аВ£ - аВР - авм; (6.2.24)

41

?Я*=х*Яр; (6.2.27)

Чи = ЯоіКн^н + тИ; <6-2-28)

*Чв = (9л + ЧнУКв^л + *2.В ^ + ^1.* *

+ V ТІ* + «к.^., + «Ьр тН* (6-2.29) авх = <9л + амХ№ + ^ ^); (6.2.30)

"в,р = (9д + <**.в)(Ь1>рЩ.Р + тИ- (6.2.31)

У системі цих рівнянь змінні </„, <уй, </£, і <75 харак- теризують вміст радіонуклідів в органах рослин; аов, аяв' ав^ ' авх — швидкість перенесення радіонуклідів між ними. Параметри моделі наведено в табл. 0,3 і 6.3(а).

Параметри підмоделі «Накопичення» можна умовно поділити на дві частини: величини, що належать до маси органів, і величини, які характеризують приріст маси. Сукупність цих параметрів відображає специфіч-

не перенесення поживних речовин і радіонуклідів в окремі органи рослини. Перехід радіонуклідів із струч- ків у насіння розраховували за допомогою простої про- порції. Значення коефіцієнта пропорційності х було прийнято рівним 1,1.

Таблицл 6.3 Параметри моделювання міграції радіонуклідів _у системі «гІдропоннин рої чи н - рослина-

Таблиця 6.3(а)

>_<нсгсмі «гідроиониии розчин — рОСЛИНЛ.

Орган

Параметри

рослинн		Ь	К	І*, доба
Корінь	6 х 10"'	3600	0,137	0
Стебло	5 ж 10 '	800	0,184	12
Листя	5 ж 10 3	919	0,142	12
Стручок	5-Ю 3	1200	0,417	59
Насінин	бх 10 1	2000	0,354	59

Параметри моделювання міграції радіонуклідів У системі «гідропонний розчин — рослина»

Параметри, пов'язані

Параметри, пов'язані

Орган рослини	з магою органа, г		зі зміною маги органа, г/доба
	позначення	величина	позначення	величина
Корінь	Ьіл	100		28.6
Стебло	ь,3	3.9 х 10 *		1,6 х Ю 1
Листя	Ьц.і	3.5 х Ю '		2,2 х Ю"1
	Ьі.и	7.0 ж 10 3	Ьил	4,0
Стручок	Ьц>/	3.6 х Ю"*		2,3 х 10 1
	Ьі.Р2	2.4 х 10 *	Оич	7.7 х Ю г

Розгля

нуту модель використовували для вивчен-

ня динаміки накопичення

радіонуклідів органами

рослин при забрудненні ґрунту в різні періоди вегетації.

Розрахунки засвідчили, що від періоду забруднення найбільше залежить вміст радіонуклідів у листі. Істот- но меншою чутливістю до цього показника характери- зується вміст радіонуклідів у насінинах.

Основна мета створення таких моделей — дослід- ницька, тобто перевірка і поглиблення теоретичних уявлень про міграцію радіонуклідів і їх використання на практиці.

Крім методів технічної кібернетики при моделюван- ні міграції радіонуклідів у системі «ґрунт — рослина» широко використовують статистичні моделі, побудова- ні із застосуванням апарату класичного регресійного аналізу. При цьому передбачуваною величиною (пре- диктантом) слугує коефіцієнт накопичення радіонуклі- дів (КН) у господарчо цінних частинах врожаю сільсько- господарських культур. Вектор величин, за допомогою яких здійснюють прогноз (предикторів), становлять різні характеристики ґрунтів: вміст неізотоиних носіїв, сума обмінних основ і кислотність ґрунтового розчину, механічний склад ґрунтів і вміст гумусу в них.

Загальний вигляд статистичних моделей є таким:

КН = ЬТХ - ЄГС"'Х, (6.2.32)

де І, — вектор коефіцієнтів регресії; X — вектор неза- лежних величин (предикторів); <3 — вектор, складений з коефіцієнтів коваріації між передбачуваним КН і складовими вектора X; С — матриця, зворотна кова- ріаційній матриці предикторів; Т — знак транспону- вання.

Застосування статистичних моделей утруднює тісна кореляція між параметрами, що характеризують вла- стивості ґрунту. При цьому чим більше змінних закла- дено в статистичну модель і чим вищий ступінь кореля- ції між ними, тим гірше обумовлена система лінійних рівнянь.

Розв'язок цих систем дуже чутливих до незначних змін вхідних даних і потребує отримання експеримен- тальних даних з високим ступенем точності, який не завжди може бути досягнутий.

Незважаючи на труднощі при використанні, стати- стичні моделі завдяки наочності й простоті можуть слу- гувати ефективним засобом одержання прогностичних зал еж ностей.

Моделювання міграції радіонуклідів харчовими ланцюгами

У моделюванні перенесення радіонуклідів харчови- ми ланцюгами, як і в системі «грунт — рослина», засто- совують переважно комипртмпнтиі моделі. Однак якщо міграцію в системі «ґрунт — рослина» описують за допо- могою динамічних моделей, у моделюванні міграції хар- човими ланцюгами вдаються і до статичних моделей.

Статичні моделі ґрунтуються на методі коефіцієнтів накопичення. Вони мають найпростіший вигляд, оскіль- ки ігнорують залежність агроцеиозних процесів від часу. Параметри, що описують перенесення радіонуклідів у статичних моделях Рц, відповідають умовам рівноваги між вмістом радіонуклідів в окремих компартментах і характеризують частку радіонуклідів у у-му компартмен- ті, що надходить у і-й. Ці величини називають коефіцієн- тами накопичення радіонуклідів у г-му компартменті:

РІІ=\СіШ^\С,{т)<іх. (6.2.33) о о

Згідно з методом коефіцієнтів накопичення статич- ним моделям міграції радіонуклідів в агроекосистемах надали такого вигляду:

ч*=Х™5#и (6.2.34)

Де Як — вміст радіонуклідів у к-му компартменті; д0 — щільність випадань; ПР,Г — добуток коефіцієнтів нако- пичення між ланками харчового ланцюга, що закінчу- ється в й-му компартменті.

Підсумовування виконують у всіх ланцюгах, що описують надходження в цей компартмент. Цей підхід дає змогу розкласти складні ланцюги міграції радіону- клідів в агроценозах на окремі харчові ланцюги і роз- рахувати надходження радіонуклідів у продукти харчу- вання з кожного з них окремо.

Процеси, що враховуються статичними моделями міграції радіонуклідів харчовими ланцюгами, описують за схемою:

Яі=УРіоЯо> (6.2.35) 92 = Урочої (6.2.36) 9з" Урочої (6.2.37)

або за складнішою схемою:

їв = їЛоЛЛчо-

(6.2.38) (6.2.39) (6.2.40)

Коефіцієнту накопичення Ріа відповідає частка радіонуклідів, що надходять на поверхню ґрунту. Його визначають процеси первинного затримування радіону- клідів листковою поверхнею, самоочищення біомаси, швидкість осідання часток і погодні умови. Коефіцієн- ти Р20, Р30 — частки радіонуклідів, затриманих листко- вою поверхнею рослинності, залежать від тих самих факторів, що і Р10. Коефіцієнт^, описує перехід радіону- клідів у шар ґрунту глибиною 20 см, його величина зале- жить від ґрунтових характеристик, що визначають про- цес вертикальної міграції радіонуклідів, і виду агротех- нічного обробітку. При оцінюванні параметрів Ргі, Р& і Р54, які мають значення коефіцієнтів накопичення, зви- чайно враховують властивості ґрунту, що визначають біологічну доступність радіонуклідів, наприклад рН і гідролітичну кислотність ґрунтів, суму обмінних основ, вміст неізотопних носіїв, біогенних елементів і гумусу. Усі ці коефіцієнти залеяїать від хімічних властивостей радіонуклідів.

Розраховуючи надходження радіонуклідів у харчо- вий раціон населення, аналізують харчові звички різ- них груп населення, методи збереження та оброблення продуктів агропромислового виробництва.

Найадекватнішим є застосування статичних моде- лей для оцінювання наслідків хронічних викидів радіо- нуклідів з постійною потужністю. У цьому разі вони можуть бути успішно використані для ідентифікації критичних радіонуклідів, шляхів забруднення харчо- вого раціону населення і одержання кількісних оцінок. Однак на практиці потужність викидів радіонуклідів у навколишнє середовище істотно варіює. Тому потрібно визначати період часу, необхідний для осереднення параметрів моделей без порушення коректності застосо- вуваного методу. Вибір періоду осереднення, що зале- жить від виду викиду і характеристик навколишнього середовища, пов'язаний із проблемами, а отже, усклад- нює використання статичних моделей.

Статичні моделі ілюструє гіпотетичний випадок безупинного надходження йоду-131 у навколишнє се- редовище, унаслідок якого вміст цього радіонукліда в приземному шарі атмосфери становить 1 Бк/м°.

Для розрахунків приймають певні параметри кон- центрування (табл. 6.4) і передбачають, що початок викиду ІЗІІ у навколишнє середовище відповідає почат- ку вегетаційного періоду. Це дає змогу при оцінюванні вмісту цього радіонукліда в надземній біомасі знехтува- ти його надходженням кореневим шляхом (табл. 6.5).

Оскільки в наведеному прикладі йдеться про можли- ві результати, отримані за допомогою статичних моде- лей, співвідношення між рівнями забруднення окремих продуктів не слід зіставляти з реальними даними.

Таблиця 6.4

Параметри концентрування ІЗІІ у перший рік після викиду

Параметр	Прийняте значення	Межі спостереження
у, см/с	1	0.1—5
Рю, доба	1.4	0,1-1,9
Рш доба	9.9	4—55
І'-ми Доба	1.3	0.1-3.0
Р, доба	1.5 ж 10~8	(1,2-2,1) ж 10"*
Р, м7кг	0,1	0,034-0,21
Р. мул	0.38	0,112—2,1

Примітка: Рі0. Р20. Р30 — передбачають швидкість осідання 1 см/с.

Таблиця 6\5

Вміст ,3,І в компонентах агроценозу, розрахованих за допомогою статичної моделі

Компартмент	Номер	Розрахункова концентрація
Надземна частина врожаю продовольчих культур	2	1,2 кБк/ма
Поверхня грунту під продовольчі культури	1	8,5 кБк/м'
Корене- і бульбоплоди (підземна чаегинд прожди»)	5	0.1 чІл-.-.м-
Кормові культури (пасовиська, трави)	3	1,2 кБк/м2
М'ясо	6	0,1 кБк/кг
Молоко	7	0,4 кБк/л

За загальним підходом моделі перенесення радіону- клідів у харчових ланцюгах практично не відрізняють- ся від моделей такого самого типу, що описують мігра- цію радіонуклідів у системі «ґрунт — рослина».

Так, при моделюванні транспортування радіонуклі- дів м'ясним і молочним ланцюгами разом із моделлю перенесення в пасовищній рослинності (типовою модел- лю міграції в системі «ґрунт — рослина») розглядають моделі міграції радіонуклідів в організмах сільськогос- подарських тварин. Динамічні компартментні моделі, що реалізують з певним ступенем деталізації шляхи перенесення радіонуклідів і функціонують у разі потре- би в єдиній системі, можуть бути застосовані для прог- нозу забруднення харчового раціону населення за будь- яких можливих умов викиду радіонуклідів у навко- лишнє середовище.

Для опису вмісту радіонуклідів в окремих компарт ментах д, застосовують систему диференціальних рівнянь:

аі і-і ч/-і

о,-Ч +А. (6.2.41)

у яких коефіцієнти к,, відмінні від нуля, якщо на схемі існують відповідні зв язки між і-м і у'-м комиартмента ми; X —~ стала радіоактивного розпаду; р, —- надходжен- ня радіонуклідів ззовні в і-й компартмент; д,, д, — вміст радіонуклідів відповідно в уму і і-му комиарменті.

Вказану модель використовують для довгострокового прогнозування вмісту довгоіснуючих радіонуклідів у сільськогосподарській продукції, яку одержують в райо- нах розташування ядерно-енергетичних установок Р\УК.

Схема міграції, аналогічна схемі опису статичних моделей, відтворює сезонну динаміку перенесення радіонуклідів харчовими ланцюгами. Динаміку пове- дінки радіонуклідів, відповідну цій схемі, описують диференціальні рівняння:

йдхІй% - к0ід0 + к2Лд2 - (ХК + А1>2 + Аа.,к7і; (6.2.42)

АЦг№ - *о.гчо + " <>* + *і.2 + Кь + К%Пг> (6.2.43)

*чУЛ - *о.і9о + КгЧ< ~ + *з,7 +*•.•)№• (6.2.44)

Коефіцієнт Хп — стала радіоактивного розпаду. До системи не належать рівняння, що описують зміни вмі- сту радіонуклідів у продуктах харчування в процесі їх

зберігання і перероблення, оскільки ця складна задача потребує окремого розгляду.

Зміни вмісту іаіІ у компонентах харчових ланцюгів, розраховані за допомогою динамічної моделі, для пер- шого річного періоду після початку надходження радіо- нуклідів представлено у табл. 6.6.

Таблиця 6.6 Значення параметрів розрахунку вмісту '"І у харчових ланцюгах

Параметр і одиниці вимірюваний	Значення параметрів	Межі спостереження
код, м/доба	778	Мі 864
Ьм» м/доба	86	0-778
кол. м/доба	777	86-864
к<м. м/доба	86	0—778
кіл. І/доба	О.И	0.087—0.23
кіл. І/доба	6 х 10*'	8 х 10 "—5 х Ю"т
кг.ї, 1/доба	6 - 10""	8 х 10"" —5 х Ю"т
кад. 1/доба	10^	0—10 *
ІЦл, 1/доба	0.14	0.087-0,23
ка.т. 1/доба	9 х Ю'т	3,8 х Ю~7—2.4 х 10 6
кзд. 1/доба	8 х 10і	2.5 х Ю4.4 х Юл
к,.з. 1/доба	8 * 10і	2 х 10і—8 х Ю *
к4.в, 1/доба	10"'	0-10 *
кт,в. 1/доба	3.8 х Ю~3	—
к«.0. 1/доба	2	—

Узгодженість результатів, отриманих за допомо- гою статичної і динамічної моделей на 365-й день після початку викиду, зумовлена розрахуванням кое- фіцієнтів концентрування, використаних у статичній моделі, шляхом інтегрування та усереднення відповід- них параметрів і залежностей динамічної компарт- ментної моделі.

Динамічні компартментнї моделі перенесення радіонуклідів харчовими ланцюгами, як правило, належать до імітаційних моделей. Однак іноді вони допускають аналітичне рішення, що суттєво спрощує їх застосування. Аналітичні моделі, зокрема деякі моделі

міграції радіонуклідів для глобальних випадань, розро- бляють класичними методами за допомогою систем диференціальних рівнянь.

Моделювання транспорту радіонуклідів в агросфері

Необхідність створення імітаційних моделей транс- порту радіонуклідів в агросфері зумовлена розвитком ядерної енергетики у традиційно аграрних регіонах. Розроблення цих моделей потребує масштабних дослі- джень, пов'язаних із їх параметричним (насамперед радіоекологічним) забезпеченням і адаптацією до реальних умов. Найвідоміші програми —ТЕ1ЇКА, МАКС, розроблені в США, ЕСОЗУ8 і КАШЮСЮ — у ФРН та Ізраїлі.

Ці моделі побудовано за модульним принципом. Від- повідно до нього програмі' реалізації моделі компонують у вигляді сукупності блоків (модулів), у кожному з яких незалежно розглядають різні процеси, пов'язані з надхо- дженням радіонуклідів у навколишнє середовище. Модульний підхід забезпечує необхідну гнучкість у вико- ристанні моделей цього класу, оскільки допускає неза- лежне корегування і заміну підмоделей в окремих бло- ках, заміну одних блоків іншими, а також вилучення окремих блоків, що розширює функціональні можливості.

Моделі міграції радіонуклідів в агросфері поєдну- ються з інформаційними системами, у яких вміщено дані про особливості районів можливого забруднення. Зокрема, база даних програми ТЕККА вміщує кліма- тичні параметри, відомості про структуру землекори- стування, характерні раціони харчування, демографіч- ну структуру населення та ін., що в інформаційній системі пов'язані з географічними координатами.

Отже, загальну структуру моделей транспорту радіонуклідів можна представити у вигляді сукупності програмних модулів, реалізованих послідовно, і пов'я- заної з ними бази даних, що забезпечує обчислюваль- ний процес необхідною інформацією.

У першому модулі за характеристиками викиду і стан- дартними для розрахункового часу метеорологічними умовами розраховують перенесення і розсіювання радіо- нуклідів в атмосфері, динаміку вмісту їх у приземному шарі повітря і щільність випадань на поверхню ґрунту.

За допомогою другого модуля оцінюють рівні за- бруднення сільськогосподарської продукції, використо- вуючи компартментні моделі міграції радіонуклідів харчовими ланцюгами, параметризовані на основі інформації в базі даних.

Третій модуль призначений для розрахунку вмісту радіонуклідів у раціонах харчування різних груп насе- лення. При цьому враховують особливості харчування населення різних вікових груп і рівнів забезпеченості, Інформацію про імпортовані продукти і демографічну структуру населення.

Найновіші моделі оцінювання наслідків викиду радіонуклідів у навколишнє середовище крім міграції радіонуклідів в атмосфері вивчають наслідки вживання населенням забрудненої продукції і розробляють опти- мальну стратегію їх зведення до прийнятних меж. Це зумовлено необхідністю оцінювання дозових наванта- жень на населення забруднених районів, зокрема доз зовнішнього опромінення від радіонуклідів на поверхні ґрунту й у приземному шарі атмосфери і доз внутріш- нього опромінення від радіонуклідів, що надходять в організм людини харчовим та інгаляційним шляхами (четвертий модуль).

Розрахункові дані про дози опромінення за трива- лий період часу використовують у моделях для обчи- слення шкоди здоров'ю населення. її оцінюють за раді- аційно-гігієнічними критеріями (модуль 5). За резуль- татами розробляють систему заходів щодо усунення наслідків надходження радіонуклідів у навколишнє середовище (модуль 6), при оцінюванні ефективності якої використовують економічні показники, які містяться в інформаційній системі (модуль 7), зокрема вартість цих заходів, можливість їх здійснення, еконо- мічні особливості району тощо. Цей підхід дає змогу, використовуючи стандартні оптимізаційні методи, роз- робити оптимальну стратегію ліквідації наслідків (модуль 8), за можливості з'ясувати раціональні варіан- ти землекористування і розробити захисні заходи, що забезпечують прийнятний ризик опромінення населен- ня внаслідок радіоактивних випадань.

Завдяки функціональності і гнучкості імітаційні моделі міграції радіонуклідів в атмосфері придатні для нормування викидів радіонуклідів за нормальної роботи

підприємств ядерно-ппливного циклу (ЯПЦ), також для оцінювання наслідків і розроблення систем заходів щодо зменшення збитків від аварійних ситуацій. Ці моделі можуть слугувати інструментом оптимального вибору майданчиків для будівництва нових об'єктів ЯПЦ, оскільки уможливлюють отримання попередньої комплексної ошнки збитків у результаті аналізу різних варіантів надходження радіонуклідів у навколишнє середовище.