Угловая(линейная) засечка

От пункта A с известными координатами XA, YA измерено расстояние S1 до определяемой точки P, а от пункта B с известными координатами XB, YB измерено расстояние S2 до точки P .  Графическое решение. Проведем вокруг пункта A окружность радиусом S1 (в масштабе чертежа), а вокруг пункта B - окружность радиусом S2; точка пересечения окружностей является искомой точкой; задача имеет два решения, так как две окружности пересекаются в двух точках (рис.2.9).  Исходные данные: XA, YA, XB, YB,  Измеряемые элементы: S1, S2,  Неизвестные элементы: X, Y.  Аналитическое решение. Рассмотрим два алгоритма аналитического решения, один - для ручного счета (по способу треугольника) и один - для машинного счета.  Рис.2.9  Алгоритм ручного счета состоит из следующих действий:  решение обратной геодезической задачи между пунктами A и B и получение дирекционного угла αAB и длины b линии AB,  вычисление в треугольнике ABP углов β1 и β2 по теореме косинусов:                         (2.29)  вычисление угла засечки γ                                 (2.30)  вычисление дирекционных углов сторон AP и BP:  пункт P справа от линии AB                          (2.31)  пункт P слева от линии АВ                            (2.32)  решение прямых геодезических задач из пункта A на пункт P и из пункта B на пункт P:  1-е решение                     (2.33)  2-е решение                          (2.34)  Результаты обоих решений должны совпадать. Алгоритм машинного решения линейной засечки состоит из следующих действий:  решение обратной геодезической задачи между пунктами A и B и получение дирекционного угла αAB и длины b линии AB,  введение местной системы координат X'O'Y' с началом в точке A и осью O'X', направленной вдоль линии AB, и пересчет координат пунктов A и B из системы XOY в систему X'O'Y':                            (2.35)  запись уравнений окружностей в системе X'O'Y':                            (2.36)  и совместное решение этих уравнений, которое предусматривает раскрытие скобок во втором уравнении и вычитание второго уравнения из первого:                             (2.37)  откуда                      (2.38)  и                              (2.39)  Если искомая точка находится слева от линии AB, то в формуле (2.39) берется знак "-", если справа, то "+".  пересчет координат X' и Y' точки P из системы X'O'Y' в систему XOY по формулам (2.2): 

Комбинаторные засечки

В рассмотренных способах решения засечек количество измерений принималось теоретически минимальным (два измерения), обеспечивающим получение результата.  На практике для нахождения координат X и Y одной точки, как правило, выполняют не два, а три и более измерений расстояний и углов, причем эти измерения выполняются как на исходных пунктах, так и на определяемых; такие засечки называются комбинированными. Понятно, что в этом случае появляется возможность контроля измерений, и, кроме того, повышается точность решения задачи.  Каждое измерение, вводимое в задачу сверх теоретически минимального количества, называют избыточным; оно порождает одно дополнительное решение. Геодезические засечки без избыточных измерений принято называть однократными, а засечки с избыточными измерениями - многократными.  При наличии избыточных измерений вычисление неизвестных выполняют методом уравнивания. Алгоритмы строгого уравнивания многократных засечек применяются при автоматизированном счете на ЭВМ; для ручного счета используют упрощенные способы уравнивания.  Упрощенный способ уравнивания какой-либо многократной засечки ( n измерений ) предусматривает сначала формирование и решение всех возможных вариантов независимых однократных засечек ( их число равно n-1 ), а затем - вычисление средних значений координат точки из всех полученных результатов, если они различаются между собой на допустимую величину.