
- •Кафедра «компьютерная и программная инженерия» учебно-методический комплекс по дисциплине: «Математический анализ»
- •Алматы, 2013
- •Содержание
- •Содержание дисциплины
- •Примерный перечень практических занятий и самостоятельных работ
- •Самостоятельная работа
- •Основная и дополнительная литература
- •Рабочая программа по дисциплине: «Математический анализ»
- •Пояснительная записка
- •Общие данные по рабочей программе.
- •Общее описание рабочей программы
- •1. Цель преподавания дисциплины
- •2. Задачи изучения дисциплины.
- •Иметь представление о роли математического анализа в прикладных исследованиях;
- •Основная часть тематика лекционных занятий
- •Тематика практических занятий
- •Тематика самостоятельной работы
- •Тематика срсп
- •Список рекомендуемой литературы
- •Силлабус по дисциплине: «Математический анализ»
- •Общие данные по рабочей программе.
- •Общее описание рабочей программы
- •1. Цель преподавания дисциплины
- •2. Задачи изучения дисциплины.
- •Иметь представление о роли математического анализа в прикладных исследованиях;
- •4. Учебно-методическое обеспечение дисциплины:
- •Темы и продолжительность их изучения
- •Тематика практических занятий
- •Задания самостоятельной работы
- •Рубежный контроль
- •Критерии оценки знаний обучающихся (обобщенные)
- •Определение итоговой оценки по вск
- •Итоговая оценка
- •Вопросы для проведения контроля
- •Требования преподавателя
- •Правила поведения на аудиторных занятиях
- •Методические указания
- •График выполнения и сдачи заданий по дисциплине
- •График сдачи срсп
- •График сдачи срс и время консультаций
- •Лекционный комплекс-контент (тезисы лекций, иллюстративный и раздаточный материал, список рекомендуемой литературы)
- •Алматы, 2013 темы лекционных занятий
- •Тема 1-2 Введение в анализ. Функция. Предел и непрерывность.
- •Глоссарий
- •Тема 3-4. Дифференцирование функции.
- •Глоссарий
- •Тема 5-6. Приложения производной
- •Глоссарий
- •Тема 7-8 Неопределенный интеграл.
- •Глоссарий
- •Тема 9-10 Определенный интеграл.
- •Глоссарий
- •Тема11-12.Дифференциальные уравнения.
- •Глоссарий
- •Тема13-14 Числовые ряды.
- •Глоссарий
- •Тема 15 Функции многих переменных.
- •План практических занятий
- •Структура, содержание и образовательные возможности учебно-методического комплекса
- •Рекомендуемый порядок работы с учебно-методическим комплексом
- •Материалы для самостоятельной работы обучающегося по дисциплине «Математический анализ»
- •Материалы по контролю и оценке учебных достижений обучающихся контрольно – измерительные средства
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тестовые задания по матанализу
- •Карта обеспеченности дисциплины учебной и учебно-методической литературой
Глоссарий
№ п/п |
Новые понятия |
Содержание |
1 |
Определение дифференциального уравнения |
Дифференциальным
уравнением называется уравнение,
связывающее искомую функцию и
производные различных порядков данной
функции:
|
2 |
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными |
|
3 |
Однородные уравнения первого порядка |
Уравнение
|
4 |
Линейное уравнение первого порядка |
|
5 |
Уравнение Бернулли |
|
6 |
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами |
|
7 |
Решение линейного,
однородного дифференциального
уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
|
Пусть корни
а)
б)
в)
|
8 |
Метод вариации произвольных постоянных решения неоднородного уравнения |
Решение ищется
в виде
|
Тема13-14 Числовые ряды.
Числовым рядом называется выражение вида
(
1 )
Числа
называются членами ряда, а член
-
общим членом ряда.
Сумма
первых членов ряда
называется
- й частичной суммой ряда.
Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, то есть
Число называется суммой ряда.
Свойства сходящихся рядов.
Если ряд ( 1 ) сходится и имеет сумму , от и ряд полученный умножением данного ряда на число также сходится и имеет сумму
.
Если ряды
и
(
2 )
сходятся и их суммы
соответственно равны
и
,
то и ряд
представляющий сумму данных рядов также
сходится, и его сумма равна
.
Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания или приписывания конечного числа членов.
Теорема (необходимый признак сходимости ) Если ряд сходится, то предел его общего члена стремится к нулю, то есть
.
Теорема (признак сравнения ). Пусть ( 1) и ( 2 ) – ряды с положительными членами, причем члены первого ряда не превосходят членов второго, то есть при любом
.
Тогда а) если сходится ряд ( 2 ), то сходится и ряд ( 1 )
б) если расходится ряд ( 1 ), то расходится и ряд ( 2 ).
Теорема (предельный
признак сравнения ). Пусть ( 1) и ( 2 ) –
ряды с положительными членами и существует
конечный предел отношения их общих
членов
,
то ряды одновременно сходятся, либо
расходятся.
Теорема (признак Даламбера ). Пусть дан ряд ( 1 ) с положительными членами и существует предел
.
Тогда,
если
,
то ряд сходится; если
,
то ряд расходится; если
,
то вопрос о сходимости ряда остается
нерешенным.
Ряды с членами произвольного знака
Знакочередующиеся ряды. Под знакочередующимся рядом понимается ряд в котором члены попеременно то положительны то отрицательны
Теорема. (Признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и предел его общего члена при равен нулю, ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена.
Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда ( 1 ) сходится, то сходится и данный ряд.
Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Степенным рядом называется ряд вида
( 3 )
Совокупность тех значений , при которых степенной ряд ( 3 ) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.
Теорема Абеля.
1). Если
степенной ряд сходится при значении
(отличном
от нуля), то он сходится и, притом
абсолютно, при всех значениях
таких, что
.
2). Если степенной ряд расходится при
,
то он расходится при всех значениях
таких, что
.
Радиус сходимости
степенного ряда можно найти по одной
из формул
,
.
Тогда
областью сходимости степенного ряда
будет интервал
.
На любом отрезке , целиком принадлежащем интервалу сходимости , функция является непрерывной, а следовательно, степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке.
Кроме того, в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать. При этом после интегрирования или дифференцирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости .
Имеют место следующие разложения элементарных функций.