§ 3. Математические доказательства 35

13. Дедуктивные рассуждения 35

14. Простейшие схемы дедуктивных рассуждений 41

15. Неполная индукция ’³ 44

16. Способы доказательства истинности высказываний 47

§ 4. Текстовые задачи и их решение 51

17. Понятие текстовой задачи 51

18. Способы решения текстовых задач 53

111111111111111111111III1111 ^>мъ° 56

(л п пс=л п(в п с). (Л1)В)ис=Л11(вис). 79

2) С=((а, (Ь, <Г), (а, с)); 96

□ □ □ о о о о 137

"^{еотрииатель}' ОООООКН8В2 145

«О О О О 141

^□□□□□□000 «О О О О О О 139

□ □□□□□□□□□□□ 158

& . 226

I „ 295

6. Преобразуйте выражение и найдите его значение, подобрав для вычислений наиболее удобное из двух выражений (данного и полученного в результате преоб­разований):

1. а^г-\-аЬ при 0=1,71,6=1,29;

2. при дг = 0.5;

3. при х = 8, у— 25.

7. Решите уравнение, используя зависимость между компонентами и результа­том действия:

, м (4-Ф)«и

*> 075 ,Р7-Т5^:

_{б| 1г}_(зо-,4_;(4-|,))«-з_;

г) 66,6: (б+ 3,2: °.'^—7,15 = 0,25.

8. Решите задачи алгебраическим способом:

а) Числитель первой дроби на 4 больше знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 4, а знаменатель умножить на 2, то получится дробь меньше первой на 1. Найдите первую дробь.

б) Знаменатель первой дроби меньше числителя на 2. Если числитель этой дроби уменьшить на I, а знаменатель умножить иа 2, то получится дробь меньше первой на I. Найдите вторую дробь.

в) Жене и Тане купили туфли, шапочки и шарфы. Всего заплатили 75 р. Каж­дая вещь, купленная для Тани, стоит в 1.5 раза дороже, чем такая же пещь, куп­ленная для Жени. Танины туфли в 10 раз дороже ее шапочки и в 3 раза дороже ша­почки и шарфа Жени. Сколько стоит каждая купленная вещь?

9. Решите задачу арифметическим и алгебраическим способами:

а) В трех цехах 1800 рабочих. В первом цехе рабочих в 1,2 раза больше, чем во втором, а в третьем — на 100 человек больше, чем в первом. Сколько рабочих в каждом цехе?

б) Для подводной охоты купили ласты, маску и трубку. Ласты дороже маски на 2 р. и дороже трубки в 4 раза. Сколько стоит каждая вещь, если за всю покупку уплатили 8 р. 80 к.?

К главе IV

1. Найдите значение выражения:

382 + 498-381 у'21-,/11

^; 382-498-116 * ^и)

— 3 \/ (уЗ у2) . ■—

2. Найдите пять таких последовательных целых чисел, чтобы сумма квадратов трех первых чисел равнялась сумме квадратов двух последних.

3. Найдите три таких последовательных четных числа, чтобы сумма квадратов первых двух равнялась квадрату третьего числа.

4. Докажите, что приведенные выражения тождественно равны. Какое нз них удобнее для вычислений при указанных значениях переменных?

а) х⁷-у' — у' и (лс + |/)(а — у) у² при х=8, у = 2;

б) (р³ + <7³) (/> + <7) (Р — ч) и — при р = -^- , <7=-^- ;

(а — Ьу а Ь²

в ) 2^Г~ ^{+ Ь} " Т ⁺ 2п ^{ПрИ а==50}' ^{6 = 67}-

2. Решите уравнения и >' чуйте каждый и!.”! выполненных преобразований:

^Я) 4х — I ^— 5* + 6⁼°^{: и)} ^2^_37Н^=0;

^б) ^г) ¹² '^х+1--

Зх+1 2 + Зх ’ х —25 .х —5

2. Даны выражения:

а) а+Ь; в) УГ^?; д) ;

б) -а — Ь; г) —; е) л/*+\'<Л

Можно лн найти такие значения переменных, при которых указанные выра­жения принимают: 1) положительные значения; 2) отрицательные значения?

2. Верно ли высказывание: «Для любого а^О справедливо неравенство

Vа<а»?

2. Известно, что а<Ь и Ь>с. Можно ли при этих условиях подобрать числа о, Ь. и с так, чтобы дополнительно выполнялось условие а<с?

3. Известно, что а>Ь и Можно ли подобрать такие числа о, Ь и с, чтобы

дополнительно выполнялось условие:

а) а>с; б) а=с?

2. Верно лн, что для всех действительных х справедливо неравенство:

а) х+1>лг; б) х^г>.г; в) х + х>л'?

2. Существуют ли такие значения х, при которых неравенство — ;^-р< I бу­дет ложным?

3. Докажите, что из неравенства:

а) а<— 2 следует неравенство — 9а— 10>8;

б) х>3 следует неравенство — 11 (х —2}< — 11;

в) 8 — 5х> — 7 следует неравенство х<3.

2. Докажите, что неравенства равносильны на множестве действительных

чисел:

а) За — 5<7 и —5а> —20;

б) (т + 2)⁵>0 и — 4 (т I).

2. Найдите множество решений неравенства и обоснуйте каждый шаг вы­полненных при этом преобразований:

а) -3(х+1)-2 (*—!)> —(2х+1);

2. Совпадают ли области определения функций / (.г) и § (х), если:

а) /0г)=У(*+з)(5+д

б) / (*)-тД*-2) (*²+4). г ?

2. Найдите область определения функции [(*), если:

\г/\ I / \ "у/х-^А

з) Н*)=у__ь '■ В) /<^Х) = 7!_₁ ■>

б) /(х)=л/18—6х, г) I (х)=м^гх-у'А-х.

2. Функция /—прямая пропорциональность. Найдите коэффициент пропор­циональности и заполните таблицу:

X	— 7		-2,5	26		0.5
У		-2	7.5		126	I 12,51 1

2. Функция / — обратная пропорциональность. Определите коэффициент пропорциональности и заполните таблицу:

X	-3	-2	-1,5	2	4,5
У			-6			9

2. Стороны прямоугольника 6 см и х см. Запишите формулу, выражающую зависимость площади (у см²) этого прямоугольника от длины стороны. Задаст ли она функцию? Постройте график этой зависимости при условии, что длина стороны не превышает 4 см.

3. За все купленные карандаши заплатили 12 к. Запишите формулу, выра­жающую зависимость количества карандашей (* шт.) от их цены (;/ к.). Покажите, что она задает функцию. Постройте график этой функции.

4. Цена одного карандаша 3 к. Запишите формулу, выражающую зависи­мость стоимости (у к.) от количества (х шт.) купленных карандашей, и покажите, что она задает функцию. Постройте ее график при условии, что л^С.

5. Площадь прямоугольника 10 см². Запишите формулу, выражающую за­висимость высоты (р см) этого прямоугольника от основания {х см). Задает ли она функцию? Постройте график этой зависимости при условии, что основание прямо­угольника не превышает 10 см.

6. Установите, какая зависимость существует между величинами, данными в задаче, и решите ее двумя способами. Способы решения обоснуйте:

а) В трех одинаковых ящиках 21 кг апельсинов. Сколько килограммов апель­синов в 10 таких ящиках?

б) За 15 м ткани уплатили 45 р. Сколько метров такой же ткани можно купить на 24 р.?

в) У портнихи из каждых 10 м ситца получалось 3 рубашки. Сколько таких рубашек она может сшить из 50 м ситца?

г) В первый день магазин продал 8 одинаковых портфелей и получил за них 64 р. Во второй день было продано 6 таких портфелей. Сколько денег получили за портфели во второй день?

д) Два столяра отремонтировали стульев поровну. Первый столяр работал 6 дней, ремонтируя по 10 стульев в день, а второй работал 5 дней. Сколько стульев в день ремонтировал второй столяр?

2. Какие из нижеприведенных задач учащиеся начальных классов могут ре­шить двумя способами:

а) 12 кг варенья разложили в 6 банок поровну. Сколько надо таких банок, чтобы разложить 24 кг варенья?

б) В двух одинаковых ящиках 32 кг яблок. Сколы^о килограммов яблок в 4 та­ких ящиках? в 5 ящиках? ■*

в) На 4 простыни пошло 12 м полотна. Сколько таких простыней получится из 30 м полотна?

К главе V

1. Следует ли из равносоставленности двух прямоугольников: а) равенство этих прямоугольников; б) их равновеликость?

2. Существуют ли многоугольники, из равносоставленности которых следует их равенство?

3. Могут ли быть равновеликими: а) два неравных прямоугольника, имеющие по равной стороне; б) два неравных треугольника, которые имеют по две соответ­ственно равные стороны?

4. Трапеция своими диагоналями разделена на четыре треугольника. Дока­жите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.

5. Как изменится площадь квадрата, если увеличить его диагональ в п раз?

6. Периметр прямоугольника равен 28 см, а разность смежных сторон равна 2 см. Определите длину диагонали и площадь прямоугольника.

7. Как построить квадрат, площадь которого в 2 раза больше площади дан­ного квадрата?

8. Даны квадрат и произвольный прямоугольник, диагонали которого равны диагоналям квадрата. Площадь какой из этих фигур больше? Почему?

9. Как известно, площадь ромба равна половине произведения его диагона­лей. Рассуждая по аналогии, учащийся предположил, что этим правилом можно вос­пользоваться и для вычисления площади трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, а также для вычисления площади произвольного четырехуголь­ника со взаимно перпендикулярными диагоналями. Верно ли это предположение?

10. Будут ли равновеликими прямоугольники, если сторонами одного из них яв­ляются катеты прямоугольного треугольника, а сторонами другого — гипотенуза и опущенная на нее высота?

11. Установите, какие величины рассматриваются в задаче, в каких отношениях они находятся и какие выполняются над ними действия, решите задачу:

а) Сад и огород имеет форму прямоугольника, площадь каждого из них равна 1500 м². Ширина сада на 5 м больше ширины огорода, а длина сада на 10 м меньше длины огорода. Найдите размеры сада и огорода.

б) При постройке здания требовалось вынуть 4500 м³ в определенный срок. Перевыполняя дневную норму на 45 м³, строители уже за 4 дня до срока выпол­нили 96% задания. Определите сроки работы.

в) Отправляясь в путешествие, турист рассчитывал истратить в дороге 72 р. В течение первых 5 дней его расходы совпадали с расчетными, затем он стал рас­ходовать в день в среднем на I р. больше, чем предполагал, и, задержавшись в пути на 1 день, вернулся домой, истратив на все путешествие на 23 р. больше, чем наме­чал. Сколько дней продолжалось путешествие?

г) Две машинистки получили для перепечатки рукопись. После 2 ч совместной работы одна из машинисток получила другое задание и вторая, оставшись одна, закончила работу через 1 ч 20 мин. За сколько часов могла бы перепечатать ру­копись каждая машинистка, если второй на это понадобилось бы на 1 ч 10 мни боль­ше, чем первой?

д) Мотоциклист предполагал проехать расстояние 90 км за определенное вре­мя. Проехав 54 км, он должен был остановиться у закрытого шлагбаума на 5 мин. Продолжая движение, он увеличил скорость на 6 км/ч и прибыл к месту назначе­ния в намеченное время. Найдите первоначальную скорость мотоциклиста.

СОДЕРЖАНИЕ

ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 4

Законы сложения и умножения 8

Правила вычитания и деления 12

основы 20

ПРЕДИСЛОВИЕ 3

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ 3

2. Объем и содержание понятия 6

3. Определение понятий 9

4. Требования к определению понятий 14

Упражнения 17

6. Высказывания. Смысл слов «и», «или», «не» 20

8. Смысл слов «все» и «некоторые» 24