20. Отношения между множествами

Даны два множества: А—{а, Ь, с, ё, е) и В = [Ь, ё, к, е|. Видим, что •лементы Ь и ё принадлежат одновременно множеству А и множе- тву В. Говорят, что Ь и ё — общие эле!*енты множеств Л и В, а сами множества пересекаются.

Если множества не имеют общих элементов, то говорят, что они не пересекаются.

Рассмотрим теперь множества А = {а, Ь, с, ё, <?} и В = (с, ё, е). Они пересекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что множество В включено в А или что множество В является подмно­жеством множества А.

Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А.

Если В — подмножество множества Л, то пишут: йсЛ — и читают: «В — подмножество А». «В включается в Л».

Считают, что пустое множество является подмножеством лю­бого множества, т. е. 0сгЛ, и что любое множество является под­множеством самого себя, т. е. ЛсЛ. Поэтому среди всех подмно­жеств заданного множества Л должно быть обязательно пустое множество и само множество Л.

Выпишем, например, все подмножества множества Л={2, 3, 4). Среди них будут одноэлементные подмножества: (2), |3}, (4), двух­элементные: (2, 3), (2, 4}, (3, 4), а также само множество Л: (2, 3, 4) и 0. Таким образом, данное множество Л имеет 8 подмножеств.

Обратимся теперь к множествам Л ={а, Ь, с, ё, е) и В ={с, а, Ь, е, ё). Они пересекаются, и каждый элемент множества Л является эле­ментом множества В, т. е. Л с: В, и, наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества Л, т. е. В с: Л. В этом случае говорят, что множества Л и В равны.

Определение. Множества Л и В называются равными, если Лей и ВсгЛ.

Если множества Л и В равны, то пишут: Л = В.

Из определения вытекает, что равные множества состоят из одних и тех же элементов и что порядок записи элементов мно­жества не существен.

Наглядно отношения между множествами изображают при по­мощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера¹. Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют при помощи кругов, овалов или любых других геометрических фигур.

Например, отношение включения между множествами А — (о, Ь, с, й, е} и В —[с, й, е) можно представить при помощи кругов Эйлера так, как на рисунке 21.

Множества А={а, Ь, с, й, е) и В = [Ь, й, к, е} пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого. Поэтому при помощи кругов Эйлера они изображаются так, как на рисунке 22.

Непересекающиеся множества изображают при помощи двух кругов, не имеющих общих точек (рис. 23).

Устанавливать отношения между множествами — важное умение для учителя. Дело в том, что математика и другие науки изу­чают не только определенные объекты и явления, но и взаимосвязи, в том числе и отношения между множествами.

Выясним, например, как связаны между собой множество А чет­ных чисел и множество В чисел, кратных 4. В каком из случаев, представленных на рисунке 24, отношение между данными множе­ствами изображено верно?

Проанализируем данные изображения. Из рисунка 24,а следует, что все четные числа делятся на 4, что неверно: можно назвать четные числа, которые не делятся на 4, например 14. Этот контр­пример сразу делает невозможным равенство данных множеств, т. е. случай, представленный на рисунке 24, в. Рисунок 24, б говорит о том, что среди чисел, кратных 4, есть четные, но есть и такие, которые не делятся на 2, что также неверно: нетрудно доказать, что любое число, кратное 4, четно. Следовательно, множество чи­сел, кратных 4, является подмножеством множества четных чи­сел. Эта связь изображена на рисунке 24, г.

Так же как и понятие множества, понятие подмножества в начальной математике в явном виде не изучается, но задач, связан­ных с выделением части некоторой совокупности, учащиеся решают много. Например:

«Среди данных четырехугольников укажи прямоугольники*.

«Назови среди данных чисел четные» и т. д.

Упражнения

1. Объясните, почему множество Х = {2, 4, 6} является подмно­жеством множества У = {0, 2, 4, б, 8, 10), а множество 2 = {4, 6, 12} нет.

2. Дано множество А =(5, 10, 15, 25}. Запишите два множества, равные множеству А.

3. Известно, что элемент а содержится в множестве Лив мно­жестве В. Следует ли отсюда, что: 1) АсВ\ 2) Вс=Л; 3) А = В?

4. Известно, что каждый элемент множества А содержится в множестве В. Верно ли, что тогда: 1) 4сВ; 2) 4=В?

5. Из множества /( = {216, 546, 153, 171, 234} выпишите числа, которые: 1) делятся на 3; 2) делятся на 9; 3) не делятся на 4;

4. не делятся на 5.

Есть ли среди полученных подмножеств такое, которое равно множеству Ю

6. Установите, в каком отношении находятся множества реше­ний неравенств и сами неравенства: 1)х<12 и х<:10; 2) х<12 и х > 15; 3) х < 12 и х > 10; 4) х < 12 и — Зх > — 36.

ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 4

Законы сложения и умножения 8

Правила вычитания и деления 12

основы 20

ПРЕДИСЛОВИЕ 3

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ 3

2. Объем и содержание понятия 6

3. Определение понятий 9

4. Требования к определению понятий 14

Упражнения 17

6. Высказывания. Смысл слов «и», «или», «не» 20

8. Смысл слов «все» и «некоторые» 24