§ 3. Математические доказательства 35

13. Дедуктивные рассуждения 35

14. Простейшие схемы дедуктивных рассуждений 41

15. Неполная индукция ’³ 44

16. Способы доказательства истинности высказываний 47

§ 4. Текстовые задачи и их решение 51

17. Понятие текстовой задачи 51

18. Способы решения текстовых задач 53

111111111111111111111III1111 ^>мъ° 56

(л п пс=л п(в п с). (Л1)В)ис=Л11(вис). 79

2) С=((а, (Ь, <Г), (а, с)); 96

□ □ □ о о о о 137

"^{еотрииатель}' ОООООКН8В2 145

«О О О О 141

^□□□□□□000 «О О О О О О 139

□ □□□□□□□□□□□ 158

& . 226

I „ 295

19. Установите отношения между множествами Л н В (А —В, АаВ, ВсЛ), если:

а) Л — множество двузначных чисел, В — множество двузначных чисел, крат­ных 3;

б) Л — множество натуральных решений неравенства 2^х^5, В — множест­во натуральных решений неравенства 1<х<6;

в) Л — множество натуральных чисел, кратных 4, В — множество натуральных чисел, кратных 12;

г) Л — множество действительных решений неравенства х> —6, В —- множе­ство действительных решений неравенства |дг| <3;

д) Л — множество пар действительных чисел, удовлетворяющих уравнению

х*=(Д В — множество пар действительных чисел, удовлетворяющих уравнению

х=у\

е) Л — множество пар действительных чисел, удовлетворяющих уравнению

х? = у³, В — множество пар действительных чисел, удовлетворяющих уравнению

*=У-

20. С какими множествами и отношениями между ними, по существу, имеют дело учащиеся при решении задачи:

а) Из ряда чисел от 1 до 28 выпиши по порядку числа, которые делятся без остатка на 3.

б) Умножь каждое однозначное число на 7 и запиши значения полученных произведений.

в) Какие числа от 40 до 60 делятся без остатка на 7? на 8?

г) Каждое из чисел 56, 64, 72, 40 уменьши в 8 раз. Увеличь каждое из данных чисел на 8.

д) Запиши по порядку числа от 0 до 50, которые делятся без остатка на 3, на 4, на 7. Какие из них делятся без остатка на 6? на 12?

е) Из чисел 27 , 45, 38 , 62, 53, 72, 81, 48 выпиши те, которые при делении на 5 дают в остатке 4.

21. Какую логическую операцию выполняют учащиеся при решении задачи:

а) Нанди среди данных примеров на деление с остатком решенные с ошибкой н реши их правильно:

37:4=8 (ост. 5) 48:7 = 6 (ост. 6)

82:9=9 (ост. I) 58:6=8 (ост. 10)

б) Юннаты вскопали 18 грядок. Каждый день они копали по 9 грядок. Сколько дней юннаты копали этн грядки?

22. Решите комбинаторные задачи, используя правило произведения:

а) Из 6 открыток надо выбрать 3. Сколькими способами это можно сделать?

б) Из 10 кандидатов нужно выбрать 3 человека на конференцию. Сколькими различными способами это можно сделать?

в) Сколькими способами можно составить список из 6 человек?

г) Сколько различных пятизначных чисел можно записать, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5? Сколько среди них таких, которые начинаются цифрами 3 или 5?

23. Среди 100 учащихся-спортсмеиов лыжным и конькобежным спортом за­нимаются 9 человек, по никто из них не посещает секцию гимнастики; 6 человек занимаются лыжами н гимнастикой, но никто из них не катается на коньках; 19 че- ловок занимаются только лыжами; 20 только коньками; 30 только гимнастикой; 5 человек занимаются только коньками и гимнастикой. Сколько человек занимают­ся лыжами, сколько коньками, сколько гимнастикой? Сколько человек занимаются всеми видами спорта?

24. В классе 28 учащихся: из них 4 отличника, 14 спортсменов, 18 участников художественной самодеятельности, 2 отличника и спортсмена, 10 — участники ху­дожественной самодеятельности, а I — спортсмен, отличник и участник художествен­ной самодеятельности. Сколько учащихся не являются ни отличниками, ни спорт­сменами, ни участниками художественной самодеятельности?

25. В отчете сообщалось, что из 100 учащихся количество детей, изучающих разные языки, таково; псе три языка — 5 человек, немецкий и испанский — 10, не­мецкий и французский — 20, французский и испанский — 8, испанский — 30, не­мецкий — 23, французский — 50. Отчет был оценен как неудовлетворительный. Почему?

26. 70 человек знают хотя бы один из трех языков, причем 10 человек знают только английский, 16 только немецкий, 18 только французский, а число знающих все три языка на 2 меньше числа знающих только французский и немецкий, на 4 меньше числа зиающих только английский и французский и на 4 меньше числа знающих только английский и немецкий. Сколько человек знают все три языка?

27. На множестве целых чисел от 0 до 999 заданы отношения:

Р — «иметь в записи одно и то же число цифр»,

<2 — «иметь в записи одинаковые цифры»,

М — «оканчиваться при записи одной и той же цифрой»,

Г — «быть больше на 10».

Какие из заданных отношений являются отношениями эквивалентности? От­вет обоснуйте. Для отношений эквивалентности укажите классы разбиения данного множества. Задайте на этом множестве чисел какое-либо отношение порядка.

28. Можно ли приведенные ниже отношения Р, (), Т и М разбить на два клас­са — отношения эквивалентности и отношения порядка, если они заданы на мно­жестве X = {35, 37, 42. 46, 15. 26. 5, II, 17. 21) и:

Р — «оканчиваться при записи одной и той же цифрой»,

<2 — «быть больше»,

Т — «иметь одни и тот же остаток при делении на 5»,

М — «иметь в записи одинаковые цифры»?

Ответ обоснуйте. Для отношений эквивалентности укажите классы разбиения множества X.

29. На сколько классов >*ожно разбить отношения Т, Р, <2 и М, если они зада­ны на множестве Х = (24, 4, 12, 13. 15. 26. 72, 78, 81, 97, 39, 80) и:

Т — «быть больше в 6 раз».

Р — «иметь один и тот же остатш: при делении на 6»,

О — «оканчиваться при записи одной и той же цифрой»,

М — «иметь в записи одинаковые цифры»?

Для отношений эквивалентности укажите классы разбиения множества X.

30. Верно ли, что множество А равномощно множеству В, если:

а) Л — множество натуральных чисел, кратных 9, В — множество натуральных чисел, кратных 18;

б) А — множество натуральных чисел, кратных 5, В — множество квадратов натуральных чисел?

31. Постройте граф и график соответствия I между множествами Х={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) и 7 = 2, если:

а) /':дг—»-Здг-)-1; б) /:лг—5—ж⁵; в) [:х—^ .

К главе II

1. Обоснуйте выбор действий при решении задачи:

а) В библиотеке на одной полке стояло 32 книги, а на другой 40 книг. 20 книг выдали детям. Сколько книг осталось на этих полках?

б) Во дворе играли 6 девочек и 5 мальчиков. Потом 2 мальчика ушли домой. Сколько ребят осталось во дворе?

в) Ребята сделали 10 красных фонариков и 6 желтых. Из них они собрали гирлянды, гю 8 фонариков в каждой. Сколько получилось гирлянд?

г) В одном бидоне было 18 л молока, и другом — столько же. Продали 67 л. Сколько литров молока осталось?

д) Марина купила 5 тетрадей по 3 к. и книгу за 48 к. Сколько денег она упла­тила?

е) Пионеры собрали для питомника 45 кг желудей. 18 кг желудей они упаковали в ящик, а остальные — поровну в 3 пакета. Сколько килограммов желудей было в каждом пакете?

2. Заполнив таблицу:

Слагаемое	3	5	7	9	II
Слагаемое	5	5	5	5	5
Сумма	8	10	12	14	16

учащийся сделал выводы:

а) Ес.н первое слагаемою увеличить па 2, а второе ос; л в. ль без изменения, то сумм;: :: дичится па 2.

б) Сумма исегда меньше каждого из слагаемых.

Какой способ рассуждений использовал учащийся? Истинны ли полученные им выводы?

3. Заполнив таблицу:

Уменьшаемое	12	10	3	6	4
Выч птасмос	3	3	3	3	3
Разность	9	7	5	3	1

учащийся сделал выводы:

а) Сел и уменьшаемое уменьшить па 2, л вычитаемое оставить без изменения, то разность уменьшится на 2.

б) Разность всегда меньше уменьшаемого.

Какой способ рассуждений использовал учащийся? Истинны ли полученные нм выводы?

4. Приведите рассуждения учащихся при выполнении задании:

«Объясни, почему верны следующие записи: 7 + 9— 9 + 7, 1 + 14 = 14+1,

6 + 3 + 7 = б + (3 + 7), 8+ 1 + 9 = 8+(1 +9)».

5. Напишите наибольшее и наименьшее десятизначные числа, и которых все циф­ры различны.

6. В записи 1*2*3*4«5 замените звездочки знаками действий и расставьте скобки так, чтобы получилось выражение, значение которого 100.

7. Сколькими способами можно предстанить число 50 и виде суммы двух чет­ных натуральных чисел? Выражения, отличающиеся порядком слагаемых, счи­тайте совпадающими.

8. Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков больше цифры единиц?

9. Сколько существует целых положительных чисел, меньших 109, цифры ко­торых идут в возрастающем порядке?

10. Какой цифрой кончается:

а) сумма 20-27 - 28-29 + 51 • 52-53-54;

б) разность 41-43- !5-1т — .7-39-II • 12;

в) произведение всех натуральных чисел от 7 до 81 включительно;

г) сумма всех трехзначных чисел?

И. Вычислите наиболее рациональным способом;

а) 109-91 -107-93;

б) 1002-998-1003-997;

в) 5554 ■ 5558 — 5552 • 5556;

г) 44 443-44 448-44 447 - 44 445-44 440-44 447.

12. Какое свойство делимости используют учащиеся при решении задачи; «Сум­мой каких двух слагаемых удобно заменить каждое из чисел: 48, 72, 96, чтобы разде­лить его на 3? на 4?»

13. Докажите, что; а) число 9⁵ —З⁸ делится на 8; б) число 8⁵ + 2" делит­ся на 17.

14. Каким числом (простым или составным) является значение выражения 1513² — 1512²?

15. Сколько различных делителей у числа 3⁶-5‘?

16. Установите, какие величины, отношения между ними и действия рассматри­ваются в задаче, решите задачу;

а) На одной овощной базе было в 2 раза больше картофеля, чем на другой. После того как с первой базы вывезли 210 т, а на вторую привезли 80 т картофеля, на первой базе осталось на 100 т картофеля меньше, чем стало на второй. Сколько тонн картофеля стало на каждой овощной базе?

б) В двух баках содержалось 140 л воды. Когда из первого взяли 26 л воды, а из второго 60 л, то в первом баке осталось в 2 раза больше воды, чем во втором. Сколько литров воды было в каждом баке первоначально?

в) Расстояние между туристскими базами Л и В 46 км. Группа туристов вышла с турбазы А в направлении турбазы В со скоростью 5 км/ч. Через 2 ч с турбазы В навстречу первой группе вышла со скоростью 4 км/ч другая группа туристов. Через сколько часов после своего выхода вторая группа встретится с первой?

К славе III

2л + 1

1. Найдите множество таких натуральных чисел х, при которых: а)

зильная дробь; б) —* * неправильная дробь.

2. Найдите значение истинности высказывания:

Г

б) 0.15³ > 0,15.

24

в) При любых натуральных значениях переменной х дробь — является записью натурального числа.

* 18

г) Существуют такие целые значения х, при которых дробь — является записью целого числа.

д) Существуют такие две дроби, произведение которых равно их разности.

5

3. Даны числа 0,45 и —^ . Найдите рациональное число, которое было бы боль­ше одного из этих чисел и меньше другого.

4. Докажите, что существует такое рациональное число, которое заключено

1 3

между числами — и —.

5. Найдите наиболее рациональный способ сравнения значений выражений:

»> -⁵-'4«-⁵-'| ■

6 5

^а) -п^>-т

И

ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 4

Законы сложения и умножения 8

Правила вычитания и деления 12

основы 20

ПРЕДИСЛОВИЕ 3

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ 3

2. Объем и содержание понятия 6

3. Определение понятий 9

4. Требования к определению понятий 14

Упражнения 17

6. Высказывания. Смысл слов «и», «или», «не» 20

8. Смысл слов «все» и «некоторые» 24