101. Зависимости между величинами

Понятие величины, принимающей различные численные значения, является отражением изменяемости окружающей нас действитель­ности. Но всевозможные изменения в реальном мире не происходят не зависимо друг от друга. Изучение этих связей посредством изу­чения зависимостей между величинами является способом приме­нения математики для решения практических задач, способом математизации знаний.

Зависимости между величинами многообразны. Их изучают раз­личные науки. Мы будем говорить в основном о тех, с которыми встречаются учащиеся в начальном курсе математики.

Рассмотрим величины, связанные с равномерным прямолиней­ным движением: время, скорость и расстояние. Зависимость между временем (/), скоростью (о) и расстоянием (5), пройденным телом при прямолинейном равномерном движении, может быть выражена формулой 8 = V^(.

Если движение таково, что скорость принимает одно и то же значение, то зависимость пройденного расстояния от времени прямо пропорциональная, так как выражается формулой вида у — кх. Пере­менная х есть время движения, а переменная у — пройденное рас­стояние. Коэффициент к обозначает скорость движения. Прямо про­порциональная зависимость между временем и пройденным рассто­янием обладает свойством: во сколько раз увеличивается (уменьша­ется) время движения, во столько же раз увеличивается (умень­шается) пройденное расстояние.

Зависимость расстояния прямолинейного равномерного движения от времени (при постоянной скорости) может быть и линейной, т. е. она может выражаться формулой вида у=кх-\-Ь, где к и Ь — некоторые данные числа.

Рассмотрим в качестве примера такую задачу. «Туристы за день прошли пешком 18 км, а остальной путь проехали на автобу­се со скоростью 45 км/ч. Какой путь проделали туристы за день, если на автобусе они ехали 2 ч? 3 ч? 4ч?»

Если туристы на автобусе ехали 2 ч, то всего за день они проделали путь 5=18 км + 45 км/ч-2 ч — 18 км-|-90 км=108 км.

Если они ехали на автобусе 3 ч, то всего за день они про­делали путь 5=18 км + 45 км/ч-3 ч = 153 км. За 4 ч они про­делали путь 5=18 км + 45 км/ч-4 = 208 км.

Видим, что зависимость между временем и пройденным расстоя­нием линейная, так как она может быть представлена формулой вида 5 = V ■ / “I^-5о, где 5о=18 км, а о = 45 км/ч.

Если среди величин 5, у и I две величины — скорость и время — принимают различные значения, а расстояние постоянно, то зависимость между скоростью и временем движения обратно

пропорциональная, так как может быть выражена формулой у=~,

где переменная х есть скорость движения, переменная у — время движения (или наоборот), постоянная к есть расстояние, которое на­до пройти телу.

Обратно пропорциональная зависимость между скоростью и вре­менем движения обладает свойством: во сколько раз увеличивает­ся (уменьшается) скорость движения, во столько же раз уменьша­ется (увеличивается) время, затраченное иа движение.

Знание зависимости между величинами, данными в текстовой задаче, позволяет находить различные способы ее решения. Рас­смотрим, например, задачу: «Из двух городов выехали навстречу друг другу два мотоциклиста. Один мотоциклист двигался со ско­

ростью 90 км/ч и проехал до встречи 180 км. Какое расстояние проехал до встречи другой мотоциклист, если он двигался со скоростью 45 км/ч?»

В задаче речь идет о движении мотоциклистов. Оно харак­теризуется тремя величинами: скоростью, временем и расстояни­ем. Согласно условию задачи значения времени движения одинако­вы, а скорость и расстояние принимают различные значения. За­висимость между этими последними величинами может быть выра­жена формулой $ — 1-V, значит, 5 и V — величины прямо пропор­циональные.

Задача может быть решена двумя арифметическими способами.

1. способ сводится к отысканию коэффициента I — времени движе­ния мотоциклистов. Зная его и скорость движения второго мото­циклиста, нетрудно найти и расстояние, пройденное им. Чтобы найти время движения мотоциклистов, разделим расстояние, пройденное первым мотоциклистом, на скорость движения: 180 км: 90 км/ч = 2 ч. Умножив скорость второго мотоциклиста на время его движения, по­лучим путь, пройденный нм: 45 км/ч-2 ч = 90 км.

2. способ решения этой же задачи основан на свойстве прямой пропорциональности: найдем, во сколько раз скорость дви­жения второго мотоциклиста меньше скорости движения первого: 90 км/ч:45 км/ч = 2 раза. Значит, и путь, пройденный вторым мотоциклистом, в 2 раза меньше пути, пройденного первым:

180 км:2 = 90 км.

Рассмотрим еще такую задачу: «Скорость машины 60 км/ч, скорость велосипедиста в 5 раз меньше. Велосипедист про­ехал расстояние от своего села до железнодорожной станции за 2 ч. За сколько минут можно проехать это расстояние на машине?»

В задаче речь идет о трех величинах: скорости, времени и расстоянии. Две из них — скорость и время — принимают различ­ные значения, а третья величина — расстояние — постоянна. Зави­симость между скоростью и временем обратно пропорциональна, так

как может быть выражена формулой 1=~-

I способ решения этой задачи сводится к отысканию коэф­фициента 5, т. е. расстояния от села до железнодорожной стан­ции. Зная его и скорость движения машины, можно будет най­ти и время ее движения.

Найдем сначала скорость велосипедиста: 60 км/ч:5=12 км/ч, а затем расстояние от села до станции: 12 км/ч-2 ч = 24 км — и, на­конец, время, за которое машина пройдет 24 км: 24 км:60 км/ч =

=-|- ч=-|--60 мин = 24 мин.

О О

Можно было поступить иначе, выразив скорость движения ма­шины в другой единице — км/мин. Так как 1 км/ч=^г- км/мин, то

01)

60 км/ч = 60~ км/мин=1 км/мин. И значит, 24 км: 1 км/мип = = 24 мин.

II способ решения этой задачи основан на свойстве обратной пропорциональности: поскольку скорость машины в 5 раз больше ско­рости велосипедиста, то времени для машины надо в 5 раз мень­ше, т. е. 2 ч = 2-60 мин=120 мин и 120 мин:5 = 24 мин.

Аналогичные зависимости существуют и между другими вели­чинами, рассматриваемыми в начальных классах. Например, такими, как:

а) стоимость товара, его количество и цена;

б) объем работы, время работы и производительность труда;

в) количество ткани, количество изделий и расход на одно изделие.

Упражнения

1. Установите, какие величины рассматриваются в задаче, какая между ними существует зависимость, и решите ее различными арифметическими способами:

1. За одно и то же время теплоход «Метеор» прошел 216 км, а пароход 72 км. Чему равна скорость «Метеора», если скорость парохода 24 км/ч?

2. На 10 к. купили 2 одинаковых конверта. Сколько стоят 6 та­ких конвертов?

3. Из 20 м ткани сшили 5 платьев. Сколько можно сшить из этой ткани кофт, если расходовать на каждую из них в 2 раза меньше ткани, чем на платье?

4. 12 кг варенья разложили в 6 банок поровну. Сколько на­до таких банок, чтобы разложить 24 кг варенья?

5. Рабочему поручено изготовить за 10 ч 30 деталей. Но ра­бочий, экономя время, успевал делать одну деталь за 15 мин. Сколь­ко деталей сверх задания сделал рабочий за счет сэкономленного времени?

2. Решите арифметическим и алгебраическим способами:

1. Из города А в город В вышла грузовая машина, а спус­тя 2 ч из города В в город А вышла легковая машина. Грузо­вая машина проходит в среднем по 42 км/ч, а легковая — по 65 км/ч. На каком расстоянии от города В встретятся машины, если между городами А и В 619 км?

2. Для детского сада на 16 р. 56 к. куплены яблоки по 72 к. и груши по 80 к. за килограмм. За яблоки заплачено на 2 р. 16 к. больше, чем за груши. Сколько было куплено яблок и сколько груш?

3. За книгу, ручку и линейку уплатили 1 р. 55 к. Сколько стоит каждая вещь, если известно, что ручка иа 30 к. дороже линейки, а книга на 65 к. дороже ручки.

3. Решите методом составления уравнения:

1. Бригада рабочих должна изготовить 360 деталей. Изготов­ляя ежедневно на 4 детали больше, чем предполагалось по плану, бригада выполнила задание на один день раньше срока. Сколько дней потратила бригада на выполнение задания?

2. Две бригады должны были изготовить по 780 деталей. Первая бригада изготовляла в день на 9 деталей больше второй и выпол­нила задание на 6 дней раньше, чем вторая. Сколько дней затратила каждая бригада на выполнение задания?

3. На перегоне в 240 км поезд шел со скоростью, на 10 км/ч меньшей, чем предполагалось, и поэтому прибыл на место с опоз­данием на 20 мин. С какой скоростью должен был двигаться поезд на этом перегоне?

4. Велосипедист отправился из села в город, отстоящий от него на 30 км. Возвращаясь обратно по той же дороге, он уменьшил скорость на 2 км/ч и потому затратил на обратный путь на 30 мин больше. Сколько времени затратил велосипедист на путь из села в город?

К главе I

1. Покажите, что при выполнении следующих заданий учащиеся, по существу находят множество истинности высказывательной формы:

а) Реши уравнение х — 9= 18.

б) Какие числа пропущены: 0-1-79=79, 100—0=0, 98:0=98, 67-0=0, 0:4 = 1, 0:2 = 7?

в) Поставь числа, чтобы равенства были верными: 0-0=28, 0-0=64.

г) Рассмотри записи и заполни пропуски, сравнивая в каждом столбике вто­рой пример с первым:

36 = 9-0 48 = 6-0

38 = 9-0 + 0 52 = 6-0 + 0

д) При умножении каких двух однозначных чисел может получиться 24? 12? 32? 49?

е) Составь примеры на деление с числами: 2, 64, 16, 32, 3, 48, 4. Образец: 64:2 = 32.

2. Докажите или опровергните высказывания:

а) Существует равнобедренный треугольник, периметр которого равен 24 см, а боковая сторона равна 10 см.

б) Существует равнобедренный треугольник, периметр которого равен 24 см, а боковая сторона равна 5,5 см.

в) Существует прямоугольник, у которого диагональ равна 11 см, а одна из сторон 13 см.

г) Существует параллелограмм, диагонали которого равны 14 см н 20 см, а одна из сторон 18 см.

3. Установите значение истинности высказывания:

а) Для любых чисел а и Ь верно равенство (а — Ь)² = а² — Ь².

б) Существуют такие действительные числа а и Ь, что равенство (а — Ь)² — а² — Ь^г истинно.

в) Для всех действительных чисел а и Ь имеет место равенство (ц+6)^-2 = =а^_4 + 5~\

г) Для некоторых значений и и & равенство (а + Ь)~^г = а~² + 6^-! не выпол­няется.

д) При некоторых значениях х верно равенство У(20 + хг= — х — 20.

е) Существуют такие значения ;/, при которых верно равенство У(1 — !/)’=</— I.

4. Для ложных высказываний из упражнения 3 постройте отрицания.

5. Установите, какие из следующих высказываний истинны, и переформули­руйте их, используя слово «следует»:

а) Каждое число, кратное 6. кратно 3.

б) Любое простое число есть число нечетное.

в) Все иррациональные числа действительные.

г) Всякий четырехугольник с прямыми углами является прямоугольником.

6. Про какие пары приведенных ниже утверждений можно сказать, что одно из них является необходимым (достаточным, необходимым и достаточным) для другого:

Л — «х>3», В — «х²>9», С—«1л|>3:?

7. Для каждого из предложений В и С.' установите, какое из них является не­обходимым условием для предложения А, а какое достаточным:

а) И — «элемент х принадлежит пересечению множеств X и К»,

В — «элемент х принадлежит множеству X»,

С — «элемент х принадлежит объединению множеств А' и V».

б) А — «элемент х принадлежит множеству А»,

В — «элемент х принадлежит пересечению множеств X и У»,

С — «элемент х принадлежит объединению множеств X и У».

в) А — «п • 18», В — «м • 2», С — «п • 9».

г) А — «л • 6», В — «л • 12», С — «л • 3»,

* «

д) А — «Четырехугольник Р()Т5 — ромб»,

В — «В четырехугольнике Р()Т8 все стороны равны»,

С — «Четырехугольник Р()Т5 — квадрат».

8. Вместо многоточия поставьте слово «необходимо», или «достаточно», или «необходимо и достаточно» так, чтобы полученные высказывания были истинными:

а) Для того чтобы п = й чтобы |а| = |й|.

б) Для того чтобы а \ п и Ь \ п чтобы (а-\-Ь) \ л.

в) Для того чтобы х(_Л\^В. .... чтобы х^А.

г) Для того чтобы х(.А(]В, ..., чтобы х{,А.

х* — 9

д) Для того чтобы дробь —-—- была равна нулю чтобы х = 3.

9. Для каждой из следующих теорем сформулируйте обратную, противопо­ложную и обратную противоположной, установите их значение истинности:

а) Если число делится на 9, то и сумма цифр в его записи делится на 9.

б) Если число делится на 12, то оно делится на 3 и на 4.

в) Произведение двух любых натуральных чисел есть число натуральное.

г) Для того чтобы число делилось на 25, достаточно, чтобы его запись окан­чивалась двумя нулями.

д) Во всяком прямоугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам.

е) Для того чтобы углы были смежными, необходимо, чтобы они в сумме составляли 180°.

10. Можно ли утверждать, что четырехугольник, в котором диагонали взаимно перпендикулярны и одна из них делит другую пополам, является ромбом?

11. Дан угол МАР, проведена его биссектриса. Через точку В, принадлежащую биссектрисе, проведена прямая, к ней перпендикулярная. Докажите, что она от­секла от угла равнобедренный треугольник. Выполните логический анализ этого доказательства.

12. Постройте окружность и проведите в ней диаметры А В и СО. Докажите, что хорды АО и ВС равны между собой. Проведите логический анализ этого до­казательства.

13. Докажите, что существуют такие значения а и 6, при которых ->]а — ЬФ Фл/а — л/Ь.

14. Какими должны быть рассуждения учащихся при выполнении задания:

а) Объясни, почему верны равенства: 28-3=3-28, 36-2=30-2 + 6-2.

б) Рассмотри запись и объясни решение следующих примеров: 5-14= 14-5 = 70; 3-26 = 26-3 = 78.

15. Покажите, что при выполнении следующих заданий учащиеся, по существу, устанавливают отношение принадлежности элемента множеству; укажите характе­ристическое свойство элементов этого множества:

а) Запиши число, при делении которого на 5 в остатке получится 2.

б) Подбери числа и составь 4 примера с данными ответами: 0-0=64, 0:0 =26.

16. Какое множество является пересечением:

а) множества натуральных чисел и множества действительных чисел;

б) множества действительных чисел и множества рациональных чисел?

17. Какое множество является дополнением:

а) множества натуральных чисел до множества целых чисел;

б) множества целых чисел до множества рациональных чисел;

в) множества рациональных чисел до множества действительных чисел?

18. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами А, В и С, если:

а) Л — множество треугольников с углом 30°,

В — множество тупоугольных треугольников,

С — множество равнобедренных треугольников;

ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 4

Законы сложения и умножения 8

Правила вычитания и деления 12

основы 20

ПРЕДИСЛОВИЕ 3

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ 3

2. Объем и содержание понятия 6

3. Определение понятий 9

4. Требования к определению понятий 14

Упражнения 17

6. Высказывания. Смысл слов «и», «или», «не» 20

8. Смысл слов «все» и «некоторые» 24