9. Правила построения отрицаний высказываний,

содержащих кванторы

Рассмотрим высказывание: «Все натуральные числа делятся на 3». В том, что это ложное высказывание, легко убедиться, приведя контрпример. Так, натуральное число 17 не делится на 3.

Построим отрицание данного высказывания. Можно сказать: «Неверно, что все натуральные числа делятся на 3». Это предложе­ние истинное, и по смыслу оно совпадает с предложением «Суще­ствуют натуральные числа, которые не делятся на 3».

Таким образом, отрицание высказывания «Все натуральные числа делятся на 3» можно построить двумя способами:

1. поставив перед данным предложением слова «неверно, что»;

2. заменив квантор общности на квантор существования, а предложение, стоящее после квантора, его отрицанием.

Заметим, что предложение «Все натуральные числа не делятся на 3» не является отрицанием высказывания «Все натуральные числа делятся на 3», поскольку оно ложно так же, как и данное высказывание.

Возьмем теперь предложение с квантором существования: «Некоторые нечетные числа делятся на 4». Это ложное высказы­вание: все нечетные числа не делятся на 2 и, следовательно, не делятся на 4.

Построим отрицание данного высказывания. Можно сказать: «Неверно, что некоторые нечетные числа делятся на 4». Это предложение истинное и по смыслу совпадает с таким: «Все не­четные числа не делятся на 4».

Таким образом, отрицание высказывания «Некоторые нечет­ные числа делятся на 4» можно построить двумя способами:

1. поставив перед данным предложением слова «неверно, что»;

2. заменив квантор существования на квантор общности, а предложение, стоящее после квантора, его отрицанием.

При построении отрицаний высказываний мы воспользовались правилом, которое принимаем без доказательства.

Отрицание высказывания с квантором (общности или сущест­вования) может быть построено двумя способами:

1. перед данным высказыванием ставятся слова «неверно, что»;

2. квантор общности (существования) заменяется квантором существования (общности), а предложение, стоящее после кван­тора, заменяется его отрицанием.

Заметим, что сформулированное правило является достаточ­ным для правильного построения отрицания высказываний с квантором. Отрицание данного высказывания может быть построе­но и в другой форме. Важно только соблюдение требования: если данное высказывание ложно, то его отрицание должно быть ис­тинным, и наоборот.

Упражнения

1. Определите, являются ли следующие пары предложений отрицаниями друг друга: ±

1. число 289 кратно 9. Число 289 не кратно 9;

2. любое натуральное число делится на 5. Любое натуральное число не делится на 5;

3. всякий многоугольник является четырехугольником. Сущест­вуют многоугольники, не являющиеся четырехугольниками;

4. некоторые натуральные числа меньше единицы. Каждое на­туральное число не меньше единицы.

2. Докажите, что следующие высказывания ложны, и построй­те их отрицания двумя способами:

1. всякое свойство квадрата присуще прямоугольнику;

2. любое натуральное число является решением уравнения 2а: — 3=1;

3. существует натуральное число, являющееся решением урав­нения х²= — 1.

3. Какие из нижеприведенных высказываний являются отри­цаниями предложения «Всякое четное число делится на 3»:

1. всякое четное число не делится на 3;

2. неверно, что всякое четное число делится на 3;

3. существует четное число, которое не делится на 3;

4. некоторые четные числа делятся на 3;

5. не всякое число делится на 3?

4. Среди следующих предложений найдите отрицание выска­зывания «Существует натуральное число, являющееся решением неравенства 2х + 6<;2»:

1. все натуральные числа не являются решением неравенства 2лг + 0<2;

2. существует натуральное число, не являющееся решением неравенства 2х + 6<2;

3. неверно, что существует натуральное число, являющееся решением неравенства 2а:Д- 6С 2;

4. не существует натурального числа, являющегося решением неравенства 2x4-6 <2.

5. Получив равенства 34-5 = 8, 94-5=14, 114-17 = 28, уча­щийся сделал вывод: сумма любых двух нечетных чисел есть число четное. Верен ли этот вывод? Можете ли вы придумать два нечетных числа, суммой которых является нечетное число? Дока­зывает ли ваш ответ, что таких двух нечетных чисел не сущест­вует?