89. График функции

Графическое изображение функции не только позволяет пред­ставить функциональную зависимость наглядно, но дает возможность упростить изучение ее свойств. Поэтому даже в том случае, если функция задана при помощи формулы, часто обращаются к ее гра­фику на координатной плоскости.

Определение. Графиком функции /, заданной на множест­ве X, называется множество таких точек координатной плоскости, которые имеют координаты х и / (х) для всех х из множества X.

Вспомним, какой вид имеют графики ряда функций, заданных формулой.

1. Построим график функции у — х при условии, что областью ее определения является множество действительных чисел.

Так как при любом значении х значение ординаты тоже будет х, то график данной функции представляет собой множество точек координатной плоскости, абсцисса и ордината которых равны между собой. Множество таких точек есть биссектриса первого и третьего координатных углов. Эта прямая и является графиком функции у=х (рис. 137).

2. Построим график функции у — 3, считая, что областью ее определения является множество действительных чисел.

Так как при любом значении х значение у будет равно 3, то графиком данной функции будет множество точек координатной плоскости, абсцисса которых будет действительное число х, а ор­дината равна 3. Множество таких точек есть прямая, параллель­ная оси абсцисс (рис. 138).

3. Построим график функции у = х~, считая, что ее область определения есть множество действительных чисел.

Составим таблицу некоторых соответственных значений х и у:

X	0	1	— 1	2	-2	3	-3	4	-4
У	0	1	1	4	4	9	9	16	16

Изобразим каждую пару найденных значений х и у точкой на координатной плоскости (рис. 139). Так как .V принимает не только целые значения, но и любые действительные, то естественно соединить полученные точки плавной линией (рис. 139). Эта линия называется параболой.

Для анализа зависимости между переменными важно понимание сути возрастающей и убывающей функций.

У, 3	у-3
0	X

Рис. 138

У\	1
•	—т
»- -	1 I — -• 11
•- -	1 1 ;
•	„1 и 11 1 э
о	X а

Рис. 139

Определен не. Функция / называется возрастающей на не­котором промежутке А‘, если для любых х\, х> из множества X выполняется условие х\<х₂=>\ (х\) <С/ (х>).

Особенность графика функции, возрастающей па промежутке Л'.' при движении вдоль оси Ох слева направо по промежутку X ордината графика увеличивается (рис. 140).

Определение. Функция / называется убывающей на неко­тором промежутке X, если для любых л^-|, х₂ из множества X выполняется условие Х\ <хз =>- / (х\) >/ (х₂).

Особенность графика убывающей функции, убывающей на про­межутке X: при движении вдоль оси Ох слева направо по проме­жутку X ордината графика уменьшается (рис. 141).

I. Измеряя температуру воздуха в течение суток, получили сле­дующую таблицу.

X,	0	2	4	6	8	10	12	14	16	Л 8	20	22	24
У-С	1	0	-2	-3	-2	0	1	2	3	3,5	4	3,5	2

Постройте график данной зависимости. Является ли она функцией?

2. Каждому числу, принадлежащему множеству Л" = {0, 1, —1, 2, — 2, 3, —3}, поставлен в соответствие его модуль. Покажите, что данная зависимость — функция, и постройте ее график.

3. Постройте график функции у=х, если ее областью определе­ния является множество: 1) [ — 2, 2]; 2) {—2, —1, 0, 1, 2}.

4. Постройте график функции у — 2х , если ее областью опреде­ления является множество: 1) /?; 2) [—3, 2]; 3) ( — 3, —2, — 1, 0, 1, 2}.

5. Докажите, что график функции у = Ах —4 проходит через точку /1 ( — 0,5; —3) и не проходит через точку В( 1, —4).

6. Докажите, что все точки графика функции у=102л: находят­ся в первой и третьей координатной четверти.

7. В чем вы видите сходство в поведении функций, графики которых изображены на рисунке 142?

8. Графики на рисунке 143 разбиты на классы: (а, в), (б, е}, {г, д). Какие свойства соответствующих функций положены в основу этой классификации?

9. Разбейте графики, приведенные на рисунке 144, на три класса так, чтобы графики а), б), е) оказались в разных классах. Какие свойства данных функций Вы положили в основу выполненной классификации?

10. Формированию каких представлений о функции и ее свойствах

способствуют следующие упражнения, выполняемые в начальных классах:

1. 

   Заполни таблицу:

Ь	7	9	16	28
16-|-*

Рис. 143

Как изменяются слагаемые, как изменяется сумма?

2. В семи одинаковых ящиках 42 кг помидоров. Сколько кило­граммов помидоров в с таких ящиках? Составь по задаче выра­жение и найди его значение при с = 6, с = 8, с = 9, с = 10.

3. На лесном участке было 112 берез и х осин. Объясни, что оббзначают следующие выражения: 112 -|— дг, 112—х, лг—112.

101. Линейная функция

Если учащийся купил х карандашей по 4 к. за карандаш и тетрадь за 13 к., то стоимость (// к.) его покупки может быть определена так: у = 4х-|-13. Зависимость между количеством куп­ленных карандашей и стоимостью всей покупки является функ­цией, так как каждому значению х соответствует единственное зна­чение у. Эта функция называется линейной.

Определение. Линейной функцией называется функция, ко­торую можно задать при помощи формулы вида у = кх-\-Ь, где х — независимая переменная, а к и Ь — заданные действительные числа.

Если, в частности, к = О, то по­лучается функция вида у = Ь, ее называют постоянной функцией.

Областью определения линейной функции является множество дей­ствительных чисел. Графиком ли­нейной функции у = кх-\-Ь является прямая. Положение этой прямой на плоскости определяют коэффициен­ты к и Ь. Покажем это.

Рассмотрим сначала графики функций, заданных формулами

у=±-х + 2, у = х + 2, у = Зх + 2, у =

= — Злг + 2 (рис. 145). В данных уравнениях коэффициент к принимает различные значения, а коэф­фициент Ь постоянен. Если обозначить через ф угол между осью ОХ и графиком линейной функции и измерять его против часовой стрелки, то можно заметить, что величина этого угла зависит от коэффициента к. Если к> 0, то угол ф острый (рис. 146); если же к<0, то угол ф тупой (рис. 147). Кроме того, из рисунка 145 видно, что, чем больше модуль числа к, тем ближе прямая у = кх-\-Ь к оси Оу.

Так как коэффициент к связан с углом ф, то к называют угловым коэффициентом.

Рассмотрим теперь функции, заданные формулами у = х-\-3 и

у = х — 3 (рис. 148). В них коэффициент к один и тот же, а коэф­

фициент Ь принимает разные значения. Сравнивая построенные на рисунке 148 прямые, замечаем, что при изменении Ь график пере­мещается параллельно самому себе. Если х = 0, то у = Ь, т. е. точка (О, Ь) принадлежит графику функции у = кх-\-Ь, следовательно, коэффициент Ь есть значение длины отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу. Так, для функций у = дс + 3 и у = х — 3 этот отрезок составляет 3 единицы.

Если обратиться еще раз к рисунку 145, то можно увидеть, что при к> 0 функция у = кх-\-Ь возрастает, а при к<О убывает на всей области определения. Действительно, пусть х\<.хг. Тогда

у_{ = кХ[-\-Ь, у₂ = кх₂-\-Ь. Сравним у\ и у₂: у2 — у1=(кх₂ + Ь) — {кх1 + Ь) =

= к{х₂ — х |).

По условию х> — Х|>0, значит, знак разности у₂ — у\ зависит от знака коэффициента к. Если к> О, то у₂ — у\ > 0, и, следовательно, из того, что х\<х₂, следует, что у\<у₂, т. е. функция у = кх-\-Ь возрастаю­щая на множестве действительных чисел. Если к<0,то у₂ — уI<0, отку­да у\>у₂, и, следовательно, из того, что х| <х_2у следует, что у\>у₂, т. е. функция у — кх-\-Ь убывающая на множестве действительных чисел.

Упражнения

1. Постройте график функции у=2х— 3 при условии, что ее об­ластью определения является: 1) /?; 2) [—3; 2]; 3) ( — 2, —1, 0, I, 2, 3}.

2. Известно, что график функции у = 2х-\-Ь проходит через точку (1, 4). Пройдет ли он через точку (3, 8)?

3. Найдите коэффициенты к и Ь, если функция задана формулой:

1. х — 2х = — 3; 2) 2*—Зу=10; 3) х-3у = 0.

4. Зависимость массы (у) ящика с деталями от числа деталей (х) выражается формулой у = 0,3х+1,5. Вычислите массу ящика с де­талями при следующих значениях:

х	10	15	20	23
У

Каким будет график данной зависимости?

5. До привала туристы прошли 12 км. После привала они шли х часов со скоростью 2,5 км/ч. Составьте формулу, выражающую зависимость между временем движения (х) и всем пройденным расстоянием (у). Какую функцию задает эта формула? Какова область определения данной функции, если весь пройденный туристами путь не превышает 25 км?

6. Зависимость стоимости (у) телеграммы от числа слов (х) в ней выражается формулой у = 5л + 20. Вычислите стоимость теле­граммы при следующих значениях х:

х (слов)	10	16	25	30
у (копеек)

Какова область определения данной зависимости, если стоимость те­леграммы не превышает I р. 20 к.?

6. Из населенного пункта в город, находящийся на расстоянии 20 км, со скоростью 5 км/ч отправился пешеход. На каком рас­стоянии (5 км) от города будет пешеход через / часов? Какие значения может принимать /?