89. Равносильность уравнений

Чтобы решить данное уравнение, его, как правило, преобра­зовывают, заменяя последовательно другими, более простыми. Этот процесс замены продолжают до тех пор, пока не получат уравне­ние, решения которого можно найти известным способом. Но что­бы эти решения были решениями заданного уравнения, необхо­димо, чтобы в процессе преобразований получались уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называют равносильными.

Определение. Два уравнения называются равносильными, если их множества решений равны.

Например, уравнения (л:1 )² = 9 и (х — 2) (х + 4) = 0 равносильны на множестве действительных чисел, так как множество решений первого уравнения ( — 4, 2) и множество решений второго урав­нения (2, —4) равны.

Выясним теперь, какие преобразования позволяют получать уравнения, равносильные исходному. Эти преобразования нашли отражение в следующих теоремах.

Теорема 1. Пусть уравнение \ (х) = ц (х) задано на мно­жестве X и Н (х) — выражение, определенное на том же мно­жестве. Тогда уравнение / (х) — {* (х) (1) и { (х)-\-Н (х)={* (х)-±- -\-Н (х) (2) равносильны на множестве X.

Эту теорему можно сформулировать иначе: если к обеим час­тям уравнении с областью определения А' прибавить одно и то­же выражение с переменной, определенное на том же множестве X, получим новое уравнение, равносильное данному.

Доказательство. Обозначим через Т\ множество реше­ний уравнения (1), а через Гг множество решений уравнения (2). Тогда уравнения (1) и (2) будут равносильны, если Т\ = Т2. Но чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из Т\ является корнем уравнения (2) и, наоборот, любой корень из Гг является корнем уравнения (I).

Пусть число а — корень уравнения (1). Тогда а^Т| и при подстановке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое равенство /(а) = &(а), а выражение Л (х) обращает в числовое выражение /г (а). Прибавим 'к обеим частям истинного равенства !{а) = ё(а) числовое выражение Л (а). Получим согласно свойства истинных числовых равенств истинное числовое равенство

1{а) + Н.(а)=ё(а) + Н{а).

Но это равенство говорит о том, что число о является также и корнем уравнения (2).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является корнем и уравнения (2), т. е. Т\аТг.

Пусть теперь Ь — корень уравнения (2). Тогда Ь^Тг и при подстановке в уравнение обращает его в истинное числовое ра­венство / (Ь) + Л (Ь)=8 {Ь) + И {Ь).

Прибавим к обеим частям этого равенства числовое выра­жение — Н (Ь). Получим истинное числовое равенство 1{Ь)=§[Ь), которое говорит о том, что число Ь—корень уравнения (1).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1), т. е. ТгаТ\.

Так как Т\с^Тг и Т2аТ\, то по определению равных множеств Т\ = Т2, а значит, уравнения (1) и (2) равносильны на множестве X.

При решении уравнений чаще используется не сама данная теорема, а следствия из нее:

1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или вы­ражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть уравнение 1(х) = ц(х) задано на мно­жестве X и Н (х) — выражение, определенное на том же мно­жестве и не обращающееся в нуль ни при каких значениях х из множества X. Тогда уравнения 1(х)=%(х) и \(х) Н(х) = — ё (^Х)'Ь (^х) равносильны на множестве X.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.

Из теоремы 2 вытекает следствие, которое часто использу­ется при решении уравнений:

Если обе части уравнения умножить (или разделить) на од­но и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, рав­носильное исходному.

Решим уравнение 1— х^Н, и выясним, какие теоре­

тические положения при этом были использованы.

Ход Используемые теоретические

решения положения

1. Приведем выражения, стоящие в левой и правой ча­стях уравнения к общему зна-

6 — 2х х менателю: —^.

Выполнили тождественное преобразование выражения в левой части уравнения, полу­чили уравнение, равносильное исходному.

Умножили на б обе части уравнения (теорема 2), полу­чили уравнение, равносильное предыдущему и, значит, ис­ходному.

2. Отбросим общий знаме­натель: 6 — 2х = х.

3. Выражение —2х перено­сим в правую часть уравне­ния: б=дг + 2х.

4. Привели подобные чле­ны в правой части уравнения: 6 = 3*.

5. Разделили обе части уравнения на 3: л' = 2.

Воспользовались следстви­ем из теоремы 1 (или согласно теореме 1 прибавили к обеим частям выражение 2х, опреде­ленное для всех действитель­ных чисел), получили уравне­ние, равносильное предыдуще­му и, значит, данному.

Выполнили тождественное преобразование, получили уравнение, равносильное пре­дыдущему и, значит, данному.

Воспользовались следстви­ем из теоремы 2 (или согласно теореме 2 умножили обе части

уравнения на , получили

уравнение, равносильное пре­дыдущему и, значит, исход­ному.

Таким образом, множество решений данного уравнения состоит из одного числа 2, т. е. (2).

Возьмем теперь уравнение х(х— 1) = 2х, х^К. Иногда учащиеся решают его так: делят обе части на х, получают уравнение х — 1=2, откуда находят, что * = 3, и заключают: (3)— множество решений данного уравнения.

Но верно ли решено данное уравнение? Найдены ли все такие действительные значения х, которые обращают уравнение х(х — — \) = 2х в истинное числовое равенство?

Нетрудно видеть, что при лг=0 данное уравнение обраща­ется в истинное числовое равенство 0-(0— I) = 2-0. Значит, 0 — корень данного уравнения. Почему же произошла потеря этого корня?

Дело в том, что уравнение дс —1=2 не равносильно уравне­нию 2 (лг—1) = 2х на множестве действительных чисел, так как

получено из последнего умножением на выражение кото­

рое определено не для всех действительных, чисел (в частности, при х = 0 оно не имеет смысла), т. е. нами не выполнено условие теоремы 2, что и привело к потере корня.

Как правильно решить уравнение х(х — 1) = 2х? Рассмотрим один из возможных вариантов решения.

Ход

решения

Используемые теоретические положения

1. Перенесем выражение 2х из правой части в левую: х (х— \) — 2х = 0.

2. Вынесем в левой части уравнения за скобки х и при­ведем подобные члены: х(х — -3)=0.

3. Произведение двух мно­жителей равно нулю в том и только в том случае, когда хо­тя бы один из них равен пулю, поэтому х = 0 или х — 3 = 0.

4. Перенеся число 3 в пра­вую часть второго уравнения, получаем: х = 0 или * = 3.

Воспользовались следстви­ем из теоремы I, получили урав­нение, равносильное данному.

Выполнили тождественные преобразования, они не нару­шили равносильности уравне­ния.

Воспользовались условием равенства нулю произведения нескольких множителей, полу­чили совокупность уравнений, равносильных исходному.

Воспользовались следстви­ем из теоремы 1, получили уравнение, равносильное урав­нению х — 3 = 0.

Таким образом, множество решений данного уравнения состо­ит из двух чисел 0 и 3, т. е. имеет вид {0, 3}.

Заметим, что невыполнение условий теорем 1 и 2 может при­вести не только к потере корней уравнения, но и к появлению так называемых посторонних корней.

Какие корни считают посторонними?

Пусть даны два уравнения: (\{х) = ^]{х) (1) и Ы^Л') = Я2(*) (2). Если известно, что все корни уравнения (1) являются корнями уравнения (2), то про уравнение (2) можно сказать, что оно сле­дует из уравнения (1) или что уравнение (2) есть следствие уравнения (1). Если же уравнение (2) имеет корни, не удовлет­воряющие уравнению (I), то они и будут посторонними для урав-

нения (1). Например, решая уравнение (ТИЩ ⁼^> ^{мы ос}'

вобождаемся от знаменателя, умножив обе части уравнения на (х + 2) (х — 3), и получаем 5а^-— 15 = 0, откуда Д’ = 3. По при х — 3 зна-

^м обращается в нуль, и поэтому х = 3

менатель дроби , ...

(*+2) (.*—3)

не может быть корнем исходного уравнения, т. е. * = 3 оказывается для него посторонним корнем.

Вообще если при решении уравнения его заменяют следстви­ем (а не равносильным уравнением), то надо найти все корни уравнения-следствия, а затем их проверить, подставив в исход­ное уравнение. Посторонние корни отбрасывают.

Следует заметить, что приобретение посторонних корней ме­нее «опасное» явление, чем их потеря. Поэтому при решении уравнений необходимо в первую очередь строго следить за пра­вильным применением теорем о равносильности.

В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнений является взаимосвязь между компонентами и ре­зультатами действий. Например, решение уравнения (х-9):24 = 3 обосновывается следующим образом. Так как неизвестное на­ходится в делимом, то, чтобы найти делимое, надо делитель умно­жить на частное: х-9 = 24-3, или лг-9 = 72. Чтобы найти неиз­вестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель: * = 72:9, или х = 8. Следовательно, решением дан­ного уравнения является число 8.

Упражнения

1. Установите, какие из следующих пар уравнений равносиль­ны на множестве действительных чисел:

1. 3 + 7* = —4 и 2(3 + 7.*)= —8;

2. 3 + 7*= _4 _и 6 + 7.*= — 1;

3. 3 + 7*=—4 и * + 2 = 0.

2. Сформулируйте свойства отношения равносильности урав­нений. Какие из них используются в процессе решения уравнений?

3. Учащийся решил уравнение 5*+15 = 3* + 9 следующим образом: 5х+15 = 3* + 9; 5 (* + 3) = 3 (х + 3); 5 = 3—и сказал, что это уравнение корней не имеет, так как решение его при­водит к ложному числовому равенству. Прав ли учащийся?

. _п 2 14

4. Решите уравнение -——=--^■—-)■- и установите, какое

его преобразование приводит к появлению постороннего корня х = 2.

5. Решите уравнения (все они определены на множестве дей­ствительных чисел) и объясните, какие теоретические положе­ния были при этом использованы:

. . 7Л+4 Зх —5 Зд: — 2 ₀ 2х — 5

О——*=—2—; ²)^--т-=³—з ^;

3. (2 — х)² — * (* + 1,5) = 4.

6. Решите уравнения, используя взаимосвязь между компо­

нентами и результатами действий:

1. (* + 70)-4 = 328; 3) (85-* +765): 170 = 98;

2. 560: (* + 9) = 56; 4) (х— 13 581): 709 = 36.

7. Решите уравнение ((* + 2)-81 — 3530)-21 =714, используя:

1. теоремы о равносильности уравнений и правила тождест­венных преобразований;

2. взаимосвязь между компонентами и результатами действий. Сравните способы записи решения.

8. Решите уравнение различными способами:

1. (*-1)ЧЗ(*-1) = 0; 2) (лг+1)(д -2) + (*-2)(х + 4) =

= 6 (2х -+- 5). ₂

9. При каких значениях х выражения 2х + 3 (х + 2) и — (8х —3) имеют равные значения?

10. Решите задачи алгебраическим и арифметическим спо­собами:

1. На первой полке на 16 книг больше, чем на второй. Если с каждой полки снять по 3 книги, то на первой полке книг бу­дет в полтора раза больше, чем на второй. Сколько книг на каж­дой полке?

2. В двух пачках всего 30 тетрадей. Если бы из первой пач­ки переложили во вторую 2 тетради, то в первой пачке стало бы вдвое больше тетрадей, чем во второй. Сколько тетрадей было в каждой пачке?

3. Весь путь от турбазы до пионерлагеря, равный 16 км, ве­лосипедист проехал за 1 ч 10 мин. Первые 40 мин этого времени он ехал с одной скоростью, а остальное время — со скоростью, на 3 км/ч меньшей. Найдите скорость велосипедиста на первом участке пути.