89. Тождественные преобразования выражений

X	5(* + 2)	5х+ 10
0	10	10
— 2	0	0
— 4	-10	- 10

Возьмем два выражения с переменной: 5(х + 2) и 5х +10. Об­ластью определения данных выражений является множество /? действительных чисел. Сравним значения числовых выражений, которые получаются при замене переменной х ее значениями из /?. Видим, что при значениях х, равных 0, —2, —4, соответ­ственные значения данных выра­жений равны.

Можно показать в общем виде, что соответственные значе­ния данных выражений будут равны при любых значениях х из множества /?. Действительно, выражение 5х+10 можно полу­чить, раскрыв скобки в выражении 5(дс + 2), что возможно на основании распределительного закона умножения относительно сложения, справедливого для любых действительных чисел.

Говорят, что выражения 5(х + 2) и 5х +10 тождественно равны на множестве действительных чисел.

Дадим определение тождественно равных выражении.

Определение. Два выражения называются тождествен­но равными, если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны.

Равенство, верное при любых значениях переменных, назы­вается тождеством. Тождествами считают и верные числовые равенства. Например, тождествами являются все ранее рассмот­ренные законы сложения и умножения действительных чисел,

правила вычитания числа из суммы, суммы из числа, правило деления суммы на число и др. Тождествами являются прави­ла действий с нулем и единицей: а + 0 = 0 + а = а, а-0 = 0-а = 0, а-1 = 1-а = а, а:1=а. Опираясь на эти идцругие общие правила, на практике устанавливают тождественность выражений, пони­мая тождественные преобразования данного выражения как по­следовательный переход от одного выражения к другому, тожде­ственно равному ему.

Приведем примеры выполнения тождественных преобразо­ваний.

1. Разложим на множители выражение ах — Ьх-\- аЬ— Ь².

Сгруппируем члены данного выражения по два (первый со вто­рым, третий с четвертым) —это тождественное преобразование возможно иа основании сочетательного закона сложения дейст­вительных чисел: ах-Ьх-\-аЬ — Ь²=(ах — Ьх)+(аЬ — Ь²).

Вынесем в полученном выражении из каждой скобки общий множитель — это тождественное преобразование возможно на основании распределительного закона умножения относительно сложения:

(ах — Ьх)-1-(аЬ — 1г)=х (а-Ь)-(-Ь (а — Ь).

В полученном выражении слагаемые имеют общий множитель, вынесем его за скобки — это тождественное преобразование:

х (а — Ь)-\-Ь (а — Ь)=(а —Ь) (х + Ь).

Итак, ах — Ьх + аЬ — Ь²—(а — Ь) (* + &).

I 2х 1 ■“ 5^

2. Упростим выражение -у—,-- — ₀- .

Чтобы сделать одинаковыми знаменатели дробей, умножим числитель и знаменатель второй дроби на — 1 — это тождествен­ное преобразование (если умножить числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, получим дробь, равную данной):

1 — 2* I — 5* I — 2х 5л: — I

2дг —3 3 —2х 2л —3 2х —3

Воспользуемся далее правилом вычитания дробей с одинако­выми знаменателями — это тождественное преобразование:

1 — 2х 5х- I I— 2х-5*+1

2х — 3 2х—3 2 л: — 3

Приведем подобные члены в числителе получившейся дроби:

1-2*-5х+1 _ 2-7*

2* — 3 ^_2х —3 ’

1—2* 1-5* 2 — 7*

^ИТЗК- 2ГГз-₃-=27=273з •

В начальном курсе математики выполняют тождественные преобразования только числовых выражений. Их теоретической 250

основой являются переместительное свойство сложения, умноже­ния и различные правила: правила прибавления суммы к числу, чис­ла к сумме, вычитания числа из суммы и др. Например, значение выражения 4-(5+10) может быть найдено так: 4-(5+10) = 4-5 + + 4-10 = 20 + 40 = 60, причем переход от данного выражения к тождественно равному ему выражению 4 - 5 -{- 4-10 осуществля­ется на основе правила умножения числа на сумму (а по существу, на основе распределительного закона умножения относительно сложения), а далее используются правила умножения и сложе­ния натуральных чисел.

Упражнения

1. Выясните, являются ли выражения х⁴ и 7х²— 6* тождествен­но равными на множестве:

1) (-3, 0, !, 2. -1); 2) [-3, 1. 2).

2. Является ли равенство 3(4у + 2) = 6 + 12у тождеством на множестве:

1. {—1, 2, 3); 2) Я?

3. Какие из следующих равенств являются тождествами на множестве действительных чисел:

1. 3р + 5т = 5т + 3р; 3) х —у = у —х;

2. 6-7 = 7+; 4) т(3 + /) = 3т + /п/?

4. Обоснуйте каждый шаг в преобразованиях следующих вы­ражений:

1. 5 (I — 2х) + 1 Ох = 5 — 1 Ох + 1 Ох = 5;

2. (а + 1) (о + 3) = а' + а + За + 3 = а² + 4а + 3 = а (а + 4) + 3.

5. Упростите выражение путем тождественных преобразо­ваний:

х² — 5лг . х² — 25

ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 4

Законы сложения и умножения 8

Правила вычитания и деления 12

основы 20

ПРЕДИСЛОВИЕ 3

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ 3

2. Объем и содержание понятия 6

3. Определение понятий 9

4. Требования к определению понятий 14

Упражнения 17

6. Высказывания. Смысл слов «и», «или», «не» 20

8. Смысл слов «все» и «некоторые» 24