89. Числовые выражения и выражения с переменными

Как известно, записи 3 + 7, 24:8, 3-2 — 4, (25-+ 3)-2 — 17 назы­ваются числовыми выражениями. Они конструируются из чисел, знаков действий и скобок. Считают, что каждое число также яв­ляется числовым выражением.

Число, полученное в результате последовательного выполне­ния действий, указанных в выражении, называется значением чис­лового выражения.

Так, значение числового выражения 3-2 — 4 равно 2.

Существуют выражения, которые не имеют числового значения. Про такие выражения говорят, что они не имеют смысла. Например, выражение 8:(4 — 4'> смысла не имеет, поскольку его значение найти нельзя: 4 — 4 = 0, а деление на нуль невозможно. Выраже­ние V—9 также не имеет числового значения в множестве дейст­вительных чисел, так как не существует действительного числа, квадрат которого был бы равен —9. Не имеет значения в множестве натуральных чисел и выражение 7 — 9.

Рассмотрим запись 2а + 3. Она образована из знаков алфавита математического языка: цифр 2 и 3, знака действия сложения « + » и буквы а. Если вместо буквы а подставлять числа, то будут полу­чаться различные числовые выражения:

при а = 3 2-3 + 3;

при а = 7 2-7 + 3;

при а= —4 2-( —4) + 3.

В записи 2а+ 3 такая буква а называется переменной, а сама запись 2а + 3 — выражением с переменной.

Переменную можно обозначать любой буквой латинского алфа­вита. В начальной школе для обозначения переменной, кроме букв, используют также знак □. Например, пишут 2-Ш+З.

Таким образом, переменная — это знак (символ), который раз­решается заменять числами.

Числа, которые разрешается подставлять вместо переменной в выражение, называются значениями переменной, а множество та­ких чисел — областью определения данного выражения.

Что значит «разрешается»?

Дело в том, что вместо переменной в выражении разрешает­ся представлять такие ее значения, при которых получаются число­вые выражения, имеющие смысл.

Рассмотрим несколько примеров.

1. В выражении 3 — 4у переменная у может принимать любые действительные значения, так как при любом значении у будет получаться числовое выражение, имеющее смысл. В этом случае 244

можно сказать, что областью определения выражения 3 — 4у яв­ляется множество /? действительных чисел.

2. Если в выражении вместо х подставить число 3, то

получим числовое выражение, которое не имеет смысла. Но при всех других действительных значениях переменной х будем иметь числовые выражения, имеющие смысл. Говорят, что область оп-

4

ределения выражения — есть множество действительных чисел, кроме числа 3, т. е. множество (—оо, 3)У(3, + оо).

3. Выражение л/х — 2 будет обращаться в числовое выраже­ние, имеющее смысл, при тех действительных значениях х, которые удовлетворяют неравенству х — 2^0, т. е. областью определения данного выражения будет множество [2,4-оо).

В математике рассматривают выражения, содержащие одну переменную, две, три и т. д. Вес выражения, которые были рас­смотрены выше, — эго выражения с одной переменной. Выражение 2>х-\-7у содержит две переменные, запись 5л: — (2у — 7г) есть выра­жение с тремя переменными.

Подчеркнем еще раз, что числовые выражения образуются из чисел, знаков действий и скобок, а в выражениях с переменными появляются еще и буквы. Если провести аналогию с русским язы­ком, то и числовые выражения и выражения с переменными — это слова, из которых можно образовывать математические предло­жения.

В начальных классах учащиеся первоначально знакомятся с записями вида 24-3, 7 — 4, называя их соответственно суммой и разностью. Затем появляются числовые выражения более слож­ной структуры, но термины «математическое выражение» и «значе­ние выражения» появляются, когда учащиеся производят вычисле­ния в пределах сотни. После знакомства с умножением и делением рассматриваются числовые выражения, содержащие знаки умно­жения и деления. Учащиеся находят значения числовых выражений, иногда записывают решение текстовой задачи в виде числового выражения, составляют по данным выражениям задачи. При вы­полнении таких заданий учащиеся неизбежно сталкиваются с выра­жениями, значения которых в множестве целых неотрицательных чисел найти нельзя. Например, про выражение 6 — 7 они говорят, что его значение найти нельзя, так как нельзя из меньшего числа вычесть большее.

Работа с буквенными выражениями сводится к подстановке вмес­то букв их значений и вычислению значения получившегося число­вого выражения.

Упражнения

1. Среди следующих записей укажите числовые выражения:

1. 42:5; 2) З²; 3) 27; 4) 324--14-2; 5) 7_Л/16-3; 6) л/^2;

7. 27-4 = 20 + 3; 8) 13 —5<7.

2. Какие из ниже приведенных записей являются выражениями с переменными (переменной):

1. —(-8; 2) ■—— ; 3) 21 — (4 + у)\ 4) 049 + 2³; 5) * + 2</<7;

б) 32:у + 3?

3. Вычислите значение числового выражения:

1. ((36:2 — 14)-(42-2— 14)+ 20):2;

2. (72:12 — (18 — 15)): (24:3 — 2 • 4);

3. (16,583:7,21 + 54,68• 853,2 + 28,82• 0,1): 1,6- 1,02;

4. (5.05:^— 2,8-1-) .3+16-0,1875;

5. (‘ ¹ -^75:1Т) • ‘Т^: ((Й- °’³²⁵)^: Т* °-⁴) ^;

6. (- 2,09_:1,1 + 4,5) { -1-) - 4,32 - 3,68.

4. Заполните таблицу:

Выражение с переменной	Значение переменной	Числооос выражение	Значение выражения
Т-(тУ	а = 4
6-4 2	6=6
2(6-3) 1 3

5. Установите, при каких значениях переменной не имеет смыс­ла выражение:

64 25 /_ 8

Чзтг- ²¹Т Ъ;-' *)фг

6. Известно, что выражение называется по своему последнему действию. Укажите порядок действий и по последнему действию напишите название каждого выражения:

Выражение	Название выражения
(12-5+3:(2 + 7))-18
(23-7-6 —4 + 15):(17—6)
21 +(35-3:8- 14:5)
19-8:4 + 5

7. Найдите рациональным способом значение выражения: 2а-2Ь

, если а = 3,2, Ь = 1,7, х = 2,7, у = —0,7.

ах — Ьх + ау — Ьу

8. Найдите значение выражения

(ЗЬ — За)²* “з^Гзр- при а = 7 и Ь = 3.

9. Запишите решение задачи в виде выражения, а затем найдите его значение:

1. На турбазу прибыли в один день 150 туристов, на другой день 170. Чтобы совершить поход, 200 туристов разбились на группы, по 20 человек в каждой, а остальные по 15 человек в группе. Сколько получилось групп?

2. В мастерской за 5 дней сшили 2000 школьных фартуков. Сколько фартуков сошьют в мастерской за 8 дней, если в день будут шить на 50 фартуков больше?

10. Приведите по 2 примера заданий из учебников математи­ки для начальных классов, в которых учащимся предлагается:

1. вычислить значение числового выражения;

2. найти значение выражения, при заданном значении входя­щих в него букв;

3. составить задачу по данному выражению.

Выполните эти задания.

89. Числовые равенства и неравенства

Пусть а и Ь — два числовых выражения. Соединим их зна­ком равенства. Получим предложение а = Ь, которое называют числовым равенством.

Например, возьмем два числовых выражения 3 + 2 и б—1 и соединим их знаком равенства. Получим числовое равенство 3 + 2 = 6—1. Это предложение истинное. Если же соединить зна­ком равенства выражения 3 + 2 и 7 — 3, то получим числовое равенство 3 + 2 = 7 — 3, которое ложно. Таким образом, с логи­ческой точки зрения числовое равенство — это высказывание, ис­тинное или ложное.

Числовое равенство истинно, если значения числовых выра­жений, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают. Напомним некоторые свойства истинных числовых равенств.

1. Если к обеим частям истинного числового равенства а = Ь прибавить одно и то же числовое выражение с, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство а-\-с = Ь-\-с.

а = Ь=>а-\-с = Ь-\-с.

2. Если обе части истинного числового равенства а = Ь умно­жить на одно и то же числовое выражение с, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство ас — Ьс.

а = Ь =ъ- ас = Ьс.

Пусть а и Ь — два числовых выражения. Соединим их зна­ком «>» (или <). Получим предложение а>Ь (или а<Ь), ко­торое называют числовым неравенством.

Например, если соединить выражения 6 + 2 и 13 — 7 знаком «>», то получим числовое неравенство 6 + 2>13 —7. Это пред­ложение истинное. Если соединить те же выражения знаком «О, то получим ложное числовое неравенство 6 + 2 < 13 — 7. Таким обра­зом, с логической точки зрения числовое неравенство — это выс­казывание, истинное или ложное.

Напомним некоторые свойства истинных числовых неравенств:

1. Если к обеим частям истинного числового неравенства а>Ь прибавить одно и то же числовое выражение с, имею­щее смысл, то получим также истинное числовое неравенство а + с>й + с.

2. Если обе части истинного числового неравенства а>Ь умно­жить иа одно и то же числовое выражение с, имеющее смысл и принимающее положительное значение, то получим также истинное числовое неравенство ас>Ьс.

3. Если обе части истинного числового неравенства а>Ь умно­жить на одно и то же числовое выражение с, имеющее смысл и принимающее отрицательное значение, то, чтобы получить истинное числовое неравенство, необходимо знак неравенства по­менять на противоположный, т. е. получить неравенство ас<Ьс.

Упражнения

1. Установите, какие из следующих числовых равенств и не­равенств истинны:

1. 10² + 1 1² + 12² = 13² + ! 4²;

2. З³ + 4³ + 5³ = 6³;

³> (тг-т)^;<-³>-+(-+)>(⁷-+)-²т-'^5:(т- ^-т)^;

4. 1,0905:0,025 - 6,84 • 3,07 + 2,38:100 < 4,8: (0,04 • 0,006).

2. Сформулируйте условия, при которых неравенство а^Ь:

1. истинно; 2) ложно.

3. Дано неравенство 5>3. Умножьте обе его части на 7; 0,1;

з

2,6; —. Можно ли на основании полученных результатов утверж­дать, что для любого положительного числа а неравенство 5а>3а истинно?

4. В одной корзине было 68 яблок, а в другой корзине — на 9 яблок меньше. В каждую корзину положили еще по 10 яблок. В какой корзине яблок больше и на сколько?

5. Известно, что х>у— истинное неравенство. Будут ли ис­тинными следующие неравенства:

1. 2х>2у\ 3) 2х —7<2у —7;

2. -|-< 4) —2х — 7 < — 2у — 7?

6. Известно, что а<6— истинное неравенство. Поставьте вместо * знак «>» либо «<» так, чтобы получилось истинное неравенство:

а) —3,7а* — 3,76; г) —

б) 0,12а* 0,126; д) — 2 (а+ 5) * —2 (6 + 5);

в) е) ~(а— 1)*у-(6 — I).

7. Как трактуются в начальном курсе математики понятия числового равенства и числового неравенства, если учащимся предлагаются задания:

1. Запиши два верных равенства и два верных неравенства, используя выражения: 9-3, 30 — 6, 3*9, 30 — 3.

2. Расставь скобки так, чтобы равенства были верными:

4 + 2-3=18, 31-10-3 = 24, 54—12 + 8 = 34.

3. Поставь знаки действия так, чтобы получились верные ра­венства: 3*6*2 = 9, 9*3*6=18.