7. Высказывательные формы

В математике часто встречаются предложения, содержащие одну или несколько переменных. Например: х<3; х + 1/ = 8. Эти предложения не являются высказываниями, так как относи­тельно их не имеет смысла вопрос, истинны они или ложны. Но при подстановке значений переменных эти предложения обращаются в высказывания (истинные или ложные). Так, если в предложение х<3 подставить х = 2, получим истинное высказы­вание 2<3, а при х = 4 оно обращается в ложное высказывание 4<3.

Предложения такого вида называют высказывательнымм формами. Каждая высказывательная форма порождает высказы­вания одной и той же формы. Например, предложение х<3 по­зволяет получить высказывания вида КЗ, 2<3, 5<3, 10<3 и т. д.

Высказывательная форма х<3 содержит одну переменную.

Такие высказывательные формы называют одноместными. Пред­ложение х-\-у = 8, содержащее две переменные, есть двухместная высказывательная форма.

Итак, высказывательная форма — это предложение с одной или несколькими переменными, которое обращается в высказы­вание при подстановке в него конкретных значений переменных.

Понятие высказывательной формы можно рассматривать как обобщение известных понятии: уравнения с одной, двумя и т. д. переменными, неравенства с переменными и др.

Относительно высказывательной формы возникает вопрос: при каких значениях переменных эта форма обращается в истинное высказывание? Если высказывательная форма — уравнение (или неравенство с переменной), то, чтобы дать ответ на этот вопрос, надо уравнение (или неравенство) решить.

Пример. Найдем, при каком значении переменной х выска­зывательная форма Зх— 4 = 5 обращается в истинное высказы­вание.

Решим уравнение Зх — 4 = 5. Имеем 3* = 9, х=3.

Следовательно, данное уравнение обращается в истинное вы­сказывание 3-3 —4=5 при х = 3.

Так же как и высказывания, высказывательные формы бывают элементарными и составными. Составные образуются из элемен­тарных при помощи логических связок «и», «или», частицы «не».

Упражнения

1. Среди следующих предложений укажите высказывательные формы: 1) х² — 5х + 4 = 0; 2) 2* —3<7; 3) 2-4 —3<7; 4) любое число является решением неравенства 2х— 3<7; 5) некоторые числа являются решением неравенства 2х — 3<7.

2. Из высказывательной формы х² — 5х = 0 получите 3 выска­зывания. При каких значениях х данная высказывательная фор­ма обращается в истинное высказывание?

3. Найдите, при каких значениях переменной у следующие высказывательные формы обращаются в истинные высказыва­ния: 1) 2у — Ъ = 7 — у\ 2) 2у — 3<7.

4. Даны числа: 21, 52, 409, 248, 30, 2094, 322, 22, 371, 142, 2, 222, 14, 20.

1. Выпишите все числа, в записи которых две цифры и есть цифра 2. 2) Выпишите все числа, в записи которых две цифры или есть цифра 2.

8. Смысл слов «все» и «некоторые»

Про числа 0, 1,2, 3. 4, 5, 0, 7, 8, 9 можно сказать:

а) псе данные числа однозначные;

б) некоторые из данных чисел четные.

Так как относительно этих предложений можно сказать, что они истинны или ложны, то полученные предложения — высказы­вания.

Выясним, как устроены такие предложения.

Если из предложения «а» убрать слово «все», то получим предложение «Данные числа однозначные». Это высказыватель­ная форма (хотя переменной в явном виде предложение не содер­жит), так как вопрос «Истинно это предложение или ложно?» смысла не имеет. Значит, слово «все», поставленное перед данной высказывательной формой, обращает ее в высказывание.

Предложение «б» устроено аналогично, только высказыватель- ную форму «Данные числа четные» обращает в высказывание слово «некоторые».

Слова «все» и «некоторые» называют кванторами. Слово «квантор» латинского происхождения и означает «сколько», т. е. квантор показывает, о скольких (всех или некоторых) объектах говорится в том или ином предложении.

Различают кванторы общности и существования.

Кванторы общности — это слова «любой», «всякий», «каж­дый», «все».

Кванторы существования — это слова «существует», «неко­торые», «найдется», «хотя бы один».

Таким образом, если перед одноместной высказывательной формой поставить какой-либо квантор (т. е. слово «любой», «вся­кий», «существует» и т. д.), то получаем высказывание. Значит, получить из одноместной высказывательной формы высказыва­ние можно не только подставляя в нее конкретные значения переменной, но и поставив перед высказывательной формой кван­тор (общности или существования).

Форму высказывания с квантором имеют многие математи­ческие предложения, например:

все квадраты являются прямоугольниками;

некоторые четные числа делятся на 4;

в любом прямоугольнике сумма внутренних углов рав­на 360°.

Часто в высказываниях квантор опускается; например, пере­местительный закон сложения чисел записывают в виде равенства а + Ь = Ь-\-а, которое означает, что для любых чисел а и Ь справедливо равенство а-\-Ь = Ь + а, т. е. переместительный закон сложения есть высказывание с квантором общности.

Как устанавливают значение истинности высказываний с кван­тором?

Рассмотрим высказывания:

1. Любое число 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 является решением неравенства х-\-2>х.

2. Сумма любых трех последовательных натуральных чисел делится на 3.

3. Любой прямоугольник является квадратом.

Как устроены данные высказывания? Все они содержат кван­тор общности, выраженный словом «любой». Истинны или ложны эти высказывания?

Обратимся к первому предложению. Чтобы убедиться в том,

что любое из чисел 0, 1,2 9 является решением неравенства

х + 2>»л:, рассмотрим случаи:

При х = 0 имеем 0-|-2>-0, т. е. истинное числовое неравенство.

При х=\ имеем 1-+-2>1, т. е. истинное числовое неравенство.

При х = 2 имеем 2-|-2>2, т. е. истинное числовое неравенство.

При х = 9 имеем 9+ 2>9, т. е. истинное числовое неравенство.

Действительно, любое число из совокупности 0, 1, 2, ..., 9 является решением неравенства х-\-2>х, т. е. высказывание «Любое число 0, 1, 2, ..., 9 является решением неравенства

х-\-2>хъ — истинное высказывание. Каким образом мы устано­вили это? Доказали, рассмотрев все частные и возможные случаи. Способ доказательства, который был использован нами, называет­ся полной индукцией.

Обратимся теперь ко второму предложению. Доказательство, аналогичное тому, что использовалось для первого предложения, здесь неприемлемо, поскольку мы не имеем возможности рас­смотреть все случаи. Нужен другой способ доказательства.

Обозначим последовательные натуральные числа через х, х-\-1 и дс + 2 и докажем, что при любом х сумма х4-(*4- 1)-Ь(* + 2) делится на 3.

Выражение *-(-(* + 1)-)-(*+2) можно преобразовать к виду * + *+ 1 + * + 2 = Зх + 3 = 3 1). Так как 3 делится на 3, то и

произведение 3(х+1) делится на 3. Следовательно, и сумма любых трех последовательных натуральных чисел делится на 3.

Рассмотрим третье предложение. Это — ложное высказывание. Чтобы убедиться в этом, достаточно начертить прямоугольник, не являющийся квадратом. Мы опровергли данное высказыва­ние, приведя контрпример.

Подведем итоги. Нами установлено, что первое и второе пред­ложения — истинные высказывания. Сделали мы это путем до­казательства. Третье предложение ложное. Убедились мы в этом, приведя контрпример.

Вообще, истинность высказываний с квантором общности устанавливается путем доказательства. Чтобы убедиться в лож­ности таких высказываний (опровергнуть их), достаточно при­вести контрпример.

Выясним, как устанавливают значение истинности высказыва­ния с квантором существования. Рассмотрим высказывания:

1. Существуют натуральные числа, кратные 3.

2. Существуют прямоугольные равносторонние треугольники.

Первое высказывание истинное. Чтобы обосновать этот вывод,

достаточно привести пример. Так, 9 — число натуральное и делится на 3.

Второе высказывание ложное. Действительно, в прямоуголь­ном треугольнике один угол обязательно содержит 90°, а в равно­стороннем треугольнике величина всех углов 60°. Значит, среди прямоугольных треугольников равносторонних нет.

Таким образом, чтобы обосновать вывод во втором случае, нам пришлось провести доказательство.

Вообще истинность высказывания с квантором существова­ния устанавливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в ложности такого высказывания, необходимо провести доказательство.

В начальном курсе математики высказывания с кванторами встречаются часто. По существу, все высказывания общего харак­тера являются высказываниями с квантором общности. Такими являются, например, высказывания:

а-\-Ь = Ь-\-а 0 + а = а аЬ = Ьа

0• а = 0 1*а = а о:1=а и др.

Действительно, для любых натуральных чисел Ь и а имеет место переместительное свойство сложения и умножения; для лю­бого натурального числа а справедливы равенства 0 + а = а, 0-а = 0 и др.

Упражнения

1. Проанализируйте структуру следующих предложений:

1. некоторые нечетные числа делятся на 9; 2) во всяком прямо­угольнике диагонали равны; 3) хотя бы одно из чисел первого десятка составное; 4) произведение двух любых последователь­ных натуральных чисел кратно 2.

2. Истинность каких предложений, данных в упражнении 1, можно установить, проведя доказательство?

3. Докажите или опровергните следующие высказывания:

1. в любом четырехугольнике диагонали равны; 2) некоторые нечетные числа делятся на 4; 3) существуют четные числа, крат­ные 7; 4) все прямоугольники являются многоугольниками.

4. Докажите, используя полную индукцию, истинность выска­зывания: 1) все однозначные натуральные числа являются реше­нием уравнения 2* (х + 3) = 6 + 2х; 2) каждое четное натуральное число, большее 4, но меньшее 20, представимо в виде суммы двух простых чисел.

5. Какие из следующих высказываний истинны: 1) всякий квадрат является параллелограммом; 2) всякий ромб является квадратом; 3) во всяком ромбе диагонали в точке пересечения делятся пополам?

6. В какие из нижеприведенных предложении можно добавить слово «всякий» или «существует», чтобы предложение стало ис­тинным высказыванием: 1) диагонали делят углы ромба пополам;

2. противоположные углы параллелограмма в сумме состав­ляют 180°; 3) диагонали четырехугольника взаимно перпендику­лярны?