Глава IV

УРАВНЕНИЯ. НЕРАВЕНСТВА. ФУНКЦИИ

§ 14. Числовые равенства и неравенства

89. Об алфавите математического языка

Изучая математику, мы пользуемся как предложениями русско­го языка, так и предложениями, образованными из математических знаков (символов), т. е. предложениями собственно математиче­ского языка. Так, 2дг-(-3 = 5, 2*+ 7>5* являются предложениями, записанными с помощью математических символов.

Но, как известно, любое предложение образуется из слов, а слова — из букв некоторого алфавита. Следовательно, должен су- 242

шествовать и алфавит математического языка. Чтобы составить о нем представление, вспомним, какие знаки встречались в симво­лических записях, используемых в математике. Например, запись чисел в десятичной системе счисления осуществляется с помощью десяти цифр (знаков): 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для обозначения пе­ременных, множеств и их элементов используются буквы латинско­го алфавита: а, Ь, с, ..., г. А, В, С,... , 2. Для записи действий применяются знаки: + , —, *, :, у/^-, П. II и ДР- Чтобы записать предложение, нужны знаки отношений (между числами, множест­вами, их элементами): =, >, <, Ц, _1_, • и др. Кроме* того, в символических записях встречаются скобки (круглые и фигурные), запятая.

Все перечисленные знаки входят в алфавит математического языка, языка искусственного, возникшего в связи с необходимостью в точных, сжатых и однозначно понимаемых формулировках ма­тематических законов, правил, доказательств.

Из знаков математического алфавита по определенным прави­лам конструируются слова и предложения. При этом слово в ма­тематике понимается так же как и в русском языке, т. е. это такая конечная последовательность (набор) букв алфавита этого языка, которая имеет смысл. Например, запись 7—:8 + смысла не имеет, и, значит, словом ее назвать нельзя.

Следует заметить, что мы познакомились с формальным подхо­дом к математическому языку. Исторически символика математики создавалась веками при участии многих выдающихся ученых. Так, считают, что обозначение неизвестных величин буквами использо­вал еще Диофант (111 в.), широкое применение прописных букв ла­тинского алфавита в алгебре началось с Виета (XVI в.). Строч­ные буквы этого алфавита ввел для обозначения Р. Декарт (XVII в.). Знак равенства ( = ) впервые появился в работах английского уче­ного Р. Рекорда (XVI в.), но стал он общеупотребительным толь­ко в XVIII веке. Знаки неравенства (<С, >) появились в начале XVII столетня, ввел их английский математик Гариот. И хотя знаки « = », «>». «о появились не так давно, сами понятия равенства и неравенства возникли в глубокой древности.

Упражнения

1. 4) -/Гб— 12:4,

   Г.) а² —2а6-7; б) \1\6-:аЬ-2с.

   Установите, какие из следующих записей можно считать сло­вами математического языка:

1. 2 + 3-4;

2. 7+ 12-;

3. 2. Среди следующих

   (17 + 3)-2а— 18:2;

записей укажите предложения:

1. 4. (2а —76) —8;

   5. х||у;

   6. 172:4.

   2<3;

2. х² — Здг + 4 = 0;

3. Ъу-у — Зх+ =;

3. Образуйте из знаков математического алфавита два слова и два предложения.

4. Приведите примеры символических записей, встречающихся в начальном курсе математики, и объясните их смысл.