89. Отрицательные числа

Возьмем координатную прямую ОХ. Все точки, изображающие положительные действительные числа, располагаются справа от точки О. Например, точка А соответствует действительному чис­лу 4, точка В — числу 5,5, точка С — числу д/2 (рис. 133).

Отложим единичный отрезок от точки О 4 раза в направлении, противоположном заданному. Получим точку А', симметричную точке А относительно начала отсчета. Координату точки А' обозна­чим — 4, т. е. А' (— 4). Аналогично координатой точки В', симмет­ричной точке В (рис. 133), считают число —5,5, а координатой

точки С', симметричной точке С на том же рисунке, считают число — д/2. Числа 4 и —4, 5,5 и —5,5, д/2 и —д/2 называют противополож­ными. Числа, расположенные на координатной прямой в заданном направлении, называют положительными, а числа, расположенные на координатной прямой в направлении, противоположном задан­ному,— отрицательными. Число 0 не считается ни положительным, ни отрицательным.

Объединение множества отрицательных действительных чисел

В' А' С' С А В

• I • I I Ч I I» * ¹ 4 • I » ■

О

Рис. 133

с множеством положительных действительных чисел и нулем есть множество действительных чисел. Его обозначают буквой

Множество К действительных чисел и множество точек коор­динатной прямой находятся во взаимно однозначном соответствии: каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой и каждая точка координатной прямой соот­ветствует единственному действительному числу.

Расстояние от начала отсчета до точки, координатой которой

является число х, называется модулем числа и обозначается |х|.

т . . / х, если х^О,

Таким образом, |_Х| ={__{х если А}._<()

Например, |-7|=7, |5,5|=5,5, |0|=0.

Действительные числа сравнивают, определяя отношения «мень­ше» и «больше» так: число а меньше числа Ь (а<Ь), если оно рас­положено левее на координатной прямой; число а больше числа Ь (а>Ъ), если оно расположено правее на координатной прямой. Из этого определения вытекает, что любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное число меньше нуля. Кроме того, исходя из определении «меньше» и «больше» можно получить утверждение: а<.Ь тогда и только тогда, когда разность а — Ь есть отрицательное число; а>Ь тогда и только тогда, когда разность а — Ь есть положительное число.

Для любых заданных действительных чисел а и Ь истинно одно и только одно из положений: а<.Ь, а>Ь, а = Ь.

Действия над действительными числами выполняются по сле­дующим правилам.

Суммой двух действительных чисел называется число, которое удовлетворяет условиям:

1. сумма двух положительных чисел есть число положитель­ное и находится по правилам, определенным в множестве положи­тельных действительных чисел;

2. сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное; чтобы найти модуль суммы, надо сложить модули слагаемых;

3. сумма двух чисел, имеющих разные знаки, есть число, ко­торое имеет тот же знак, что и слагаемое с большим модулем; что­бы найти модуль суммы, надо из большего модуля вычесть мень­ший.

Произведением двух действительных чисел называется число, которое удовлетворяет условиям:

1. произведение двух положительных чисел есть число поло­жительное и находится по правилам, определенным в множестве положительных действительных чисел;

2. произведение двух отрицательных чисел есть число поло­жительное; произведение двух чисел, имеющих разные знаки, есть число отрицательное; чтобы найти модуль произведения, надо пе­ремножить модули этих чисел.

Вычитание и деление действительных чисел определяются как действия, обратные соответственно сложению и умножению. Вычи­тание в множестве действительных чисел выполняется всегда, так же как и деление, за исключением случая деления на нуль.

Упражнения

1. Изобразите на луче (рис. 134) числа а + 3 и а —5.

а-1 а о+1

Рис. 134

2. Докажите или опровергните высказывания:

1. Всякое число, большее числа 35, положительно.

2. Всякое число, меньшее 19, положительно.

3. Существует положительное число, меньшее 19.

4. Всегда можно указать целое положительное число, меньшее любого положительного числа.

5. Любое число, меньшее какого-либо отрицательного числа, является числом отрицательным.

6. Всякое число, не большее нуля, есть число отрицательное.

3. При каких условиях предложение «Если модуль числа а боль­ше модуля числа Ь, то число а больше числа 6» является истин­ным высказыванием?

4. Где на координатной прямой лежит точка с координатой х, если:

1) х = 2: 2) |х-II =2; 3) И <5; 4) И >2; 5) |дс— 11 <3?

5. Используя геометрическое понятие модуля, решите:

1. уравнение |х — 3|=2;

2. неравенство' 1 х — 21 <3;

3. неравенство |х—1|>3.