§ 13. Действительные числа

89. Понятие положительного иррационального числа

Как известно, действия над положительными рациональными числами удобно производить, если они представлены десятичными дробями. Поэтому целесообразно и результаты измерения величин, в частности длин отрезков, представлять в виде десятичной дроби.

Как это можно сделать?

Пусть а — отрезок, длину которого надо измерить, отрезок е — единица длины. И пусть отрезок а состоит из п отрезков, рав­ных е, и отрезка он, который короче отрезка е (рис. 129), т. е.

пе <.а<.(п-{-1) е. Числа п и « + 1 есть приближенные значения длины отрезка а при единице длины е с не­достатком и с избытком с точностью до единицы.

Чтобы получить ответ с большей точ­ностью, возьмем отрезок е\ — десятичную _р

часть отрезка е и будем укладывать его в 1 г

отрезке а\. При этом возможны два случая: Рис. 120

1. Отрезок *?| уложился в отрезке а\ точно п\ раз. Тогда дли­на отрезка а выражается конечной десятичной дробью: а —

=(^п+7^ е = п,п\е. Например, а — ЗАе.

2. Отрезок О) оказывается состоящим из гц отрезков, равных ей и отрезка а₂, который короче е\. Тогда п,п\е<а<п,п[е, где п,п| и п,п( — приближенные значения длины отрезка а с недостат­ком и с избытком с точностью до 0,1.

Ясно, что в случае 2 процесс десятичного измерения длины отрезка а можно продолжать, взяв новый единичный отрезок

На практике этот процесс десятичного измерения длины отрез­ка на каком-то этапе закончится. И следовательно, в этой ситуа­ции результатом измерения длины отрезка будет либо натуральное число, либо конечная десятичная дробь.

Если же представить процесс десятичного измерения длины отрезка в идеале (как и делают в математике), то возможны два исхода:

1. На некотором к-м шагу процесс измерения окончится. Тог­да длина отрезка а выразится конечной десятичной дробью вида

П,П\П2...П_к.

2. Описанный процесс измерения длины отрезка бесконечен. Отчет о нем будет представляться символом п,П\Пг...Пь..., который называют бесконечной десятичной дробью.

Как убедиться в возможности такого исхода? Для этого доста­точно произвести десятичное измерение длины такого отрезка, для которого известно, что его длина выражена, например, рациональ- 2

иым числом 5 —. Если бы оказалось, что в результате десятич­ного измерения длины такого отрезка получается конечная деся-

2

тичиая дробь, то это означало бы, что число 5 —- можно предста-

_г 2

вить в виде конечной десятичной дроои, что невозможно: 5-^= = 5,666....

Итак, в процессе десятичного измерения длин отрезков могут получаться бесконечные десятичные дроби. Но всегда ли эти дроби периодические? Ответ на этот вопрос отрицателен: существуют отрезки, длины которых нельзя выразить бесконечной десятичной периодической дробью (т. е. положительным рациональным чис­лом) при выбранной единице длины.

Покажем, что если за единицу длины взять сторону квадрата, то длина диагонали этого квадрата не может быть выражена по­ложительным рациональным числом.

Предположим противное, т. е. что длина диагонали а квадра­та со стороной е (рис. 130) выражается несократимой дробью

2

■^-:а = -^-е. По теореме Пифагора е²-\-е²=(^~ е^ , или 2е² = 236

е², или ) = 2. Отсюда т² = 2п², т. е. т — четное число, на­пример т = 26. Тогда 4/г = 2/г, или 2к² = п². Значит, п — четное чис­ло, например п = 2р. Получаем, что п числитель, и знаменатель дроби

— числа четные. Но это протиноречит тому, что дробь не­сократима.

Установленное противоречие доказывает существование отрез­ков, длины которых нельзя выразить положительным рациональным числом, или, другими словами, выразить в виде бесконечной де­сятичной периодической дроби.

Итак, при десятичном измерении длин отрезков могут полу­чаться бесконечные десятичные непериодические дроби, они яв­ляются записью новых чисел — положительных иррациональных чисел. Так как часто понятия числа и его записи отождествляют, то говорят, что бесконечные десятичные непериодические дроби — это и есть иррациональные числа.

Мы пришли к понятию иррационального чиста через процесс десятичного измерения длин отрезков. Но иррациональные числа можно получить и при извлечении корней из некоторых рациональ­ных чисел. Так, V2, V?. ^{— это} иррациональные числа. Ирра­

циональными являются также 1^5, зт 31°, числа л = 3,14... и е = 2.7828... .

Множество положительных иррациональных чисел обозначают символом 1₊.

Упражнения

1. Опишите процесс десятичного измерения длины отрезка, если отчет о нем представляется дробью: I) 3,46; 2) 3,(7),

3. 3.12311223... .

2. Докажите, что не существует положительного рационального числа, квадрат которого равен 3.

3. Является ли треугольник АВС, изображенный на рисунке 131, равносторонним?

4. Седьмая часть единицы длины укладывается в отрезке АВ 13 раз. Конечной или бесконечной дробью выразится длина этого отрезка? Периодической или непериодической?

5. Докажите, что сумма рационального числа ц и иррациональ­ного числа а всегда будет число иррациональное.

Указание. Доказательство ведите способом от противного.

6. Сравните значения выражений: 1) 6л/2 и 0,5д/Тб2; 2) тр/б

7. Упростите выражения: 1) 1 Од/5 — \/48 — д/75; 2) {5-^2—л/18)ХдД;

3. (3-д/2)¹-л/32: 4) (д/3 — 2)² + д/27.