§ 3. Математические доказательства 35

13. Дедуктивные рассуждения 35

14. Простейшие схемы дедуктивных рассуждений 41

15. Неполная индукция ’³ 44

16. Способы доказательства истинности высказываний 47

§ 4. Текстовые задачи и их решение 51

17. Понятие текстовой задачи 51

18. Способы решения текстовых задач 53

111111111111111111111III1111 ^>мъ° 56

(л п пс=л п(в п с). (Л1)В)ис=Л11(вис). 79

2) С=((а, (Ь, <Г), (а, с)); 96

□ □ □ о о о о 137

"^{еотрииатель}' ОООООКН8В2 145

«О О О О 141

^□□□□□□000 «О О О О О О 139

□ □□□□□□□□□□□ 158

& . 226

I „ 295

есть запись дробной части числа -Шг~ ■ Эту дробную часть при­

Сумма 4-10 + 3 является записью целого числа 43, а сумма +

\ Г ППЛ^ШПЛ нол>п

10*

запятой: -+-=43,62.

нято записывать без знаменателя, отделяя от целой части числа 4362 10*

Как вы знаете, сравнение десятичных дробей и выполнение действий над ними сводится, по существу, к сравнению и дейст­виям над натуральными числами. Например, 0,3472<0,3480, так как при равенстве числа десятых и сотых долей число тысячных долей у первого числа меньше, чем у второго (7<8).

Простота сравнения и выполнения действий над десятичными

дробями приводит к вопросу: любую ли дробь вида — (ш, п^N) можно записать в виде десятичной дроби?

8 3 8

Возьмем, например, дроби — и —. Дробь равна дроби

32 8 3

—, значит, 25-=0,32. Но для дроби — нельзя найти равную ей

дробь со знаменателем, представляющим степень 10. Почему? От­вет на этот вопрос дает следующая теорема (ее мы примем без доказательства):

Для того чтобы несократимая дробь — была равна десятичной

дроби, необходимо и достаточно, чтобы в разложение е<? знамена­теля на простые множители входили лишь числа 2 или 5.

19

Так, дробь — можно записать в виде десятичной, поскольку

она несократимая и в разложении знаменателя на простые мно­жители содержатся только числа 2 и 5: 80 = 2¹-5.

Дробь нельзя записать в виде десятичной дроби, в разло-

I О

женин се знаменателя па простые множители содержится число 3: 15 = 3-5.

Среди десятичных дробей выделяют и часто используют дробь 0,01. Ее называют процентом и обозначают 1%. На практике в про­центах выражают части величины. Так, говорят, что цены на то­вары снижены на 20%, сахарный тростник содержит 15% саха­ра. Зная это, можно найти, например, сколько сахара содержит­ся в 10 т тростника. Для этого нужно дробь 0,15 умножить на 10: 0,15-10 т = 1,5 т. Следовательно, 15% от 10 т составля­ет 1,5 т.

Упражнения

1. Учащемуся было предложено установить, можно лн дробь

195

2^- записать в виде десятичной. Разложив знаменатель этой

дроби на простые множители, он получил, что 260 = 2²-5-13, и

195

сделал вывод, что дробь ^ нельзя записать в виде десятич­ной дроби. Учитель оцепил ответ учащегося как неправильный. Почему?

21 192 15 13

2. Какие из дробен ^-, можно записать в виде

десятичной дроби?

3. Даны записи чисел: 0,40; щ-; 0,4; -|-; 5; 0,6; .

Сколько различных чисел написано? Сколько среди этих чисел дробных?

4. Найдите и обоснуйте наиболее рациональный способ нахож­дения значения выражения:

1. 8,3 + 3,85 + 9,7 + 5,15 + 2,25 + 0.125;

2. 8,7-7 + 7-7,3.

5. Вычислите наиболее рациональным способом:

ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 4

Законы сложения и умножения 8

Правила вычитания и деления 12

основы 20

ПРЕДИСЛОВИЕ 3

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ 3

2. Объем и содержание понятия 6

3. Определение понятий 9

4. Требования к определению понятий 14

Упражнения 17

6. Высказывания. Смысл слов «и», «или», «не» 20

8. Смысл слов «все» и «некоторые» 24