82. Упорядоченность множества положительных

рациональных чисел

Если рациональные числа представлены равными дробями, то они равны. Например, если рациональное число а представлено 3 3

дробью — (а=-^-). а рациональное число Ь представлено дробью

6 /, 6 \ , 3 6

— то а = Ь, поскольку —=—.

Но как узнать, какое из рациональных чисел а и Ь меньше (больше) ?

Определение. Пусть а н Ь — положительные рациональ­ные числа. Тогда а меньше Ь (а<Ь), если существует такое поло­жительное рациональное число с, что а-\-с = Ь.

В этом же случае говорят, что Ь больше а(Ь>а).

Данное определение позволяет сформулировать необходимое и достаточное условия существования разности в множестве поло­жительных рациональных чисел.

Для того чтобы разность положительных рациональных чисел а и Ь существовала, необходимо и достаточно, чтобы Ь<а.

Доказательство этого условия аналогично доказательству тео­ремы о существовании разности в множестве натуральных чи­сел.

Из введенного определения отношения «меньше» можно вы­вести практические приемы установления этого отношения.

1. Если а=—, !>=—, то а<Ь тогда и только тогда, когда

П П

пкр

3 9

Например, если а = —, Ь = — , то а<5, так как 3<9.

2. Если а = —, Ь = — , то а<.Ь тогда и только тогда, когда

п <]

т<7 < пр.

Действительно, приведем дроби ■— и у-зк общему знаменателю:

т та р рп _п , „

“ результате сравнение данных дробей све­лось к сравнению их числителей: если ту>рп, то а>Ь\ если пи/ <рп, то а<сЬ.

Например, если а = ~, й = то Ь<Са, поскольку 7-13 = 91,

8-11=88 и 8• 11 <7-13.

Можно показать, что так определенное отношение «меньше» транзитивно и антисимметрично, т. е. является отношением поряд­ка на множестве положительных рациональных чисел, а само это множество является упорядоченным множеством.

Заметим, что отношение порядка в множестве положительных рациональных чисел обладает свойствами, которые отличают его от отношения порядка в множестве натуральных чисел. Как известно, в множестве N есть наименьшее число — единица и множество N дискретно — между натуральными числами нет других натуральньГх чисел. В множестве положительных рацио­нальных чисел:

1. нет наименьшего числа;

2. между любыми двумя различными положительными ра­циональными числами заключено бесконечно много чисел мно­жества <? + .

Докажем, что в множестве (}+ нет наименьшего числа. Пред-

т

положим, что число — наименьшее в множестве положительных

п

рациональных чисел. Образуем число —-. Легко убедиться в том, что (тл<тл + ш), т. е. нашлось такое положи-

П 1 П

тельное рациональное число, которое меньше —. Следовательно,

наше предположение неверное. В множестве положительных ра­циональных чисел наименьшего числа нет.

Второе свойство проиллюстрируем на примере. Возьмем два

рациональных числа у- и у-. Существует ли такое рациональное

1 2

число, которое больше -= и меньше -=? Существует. Для этого

/1

достаточно найти среднее арифметическое данных чисел (у—(-

которое находилось бы между у и — ? Есть. Чтобы его найти, достаточно найти среднее арифметическое чисел у и у: —|-

4-у):2 = у. Таким образом у—С-|у<-тт-<-|— - Ясно, что описан­ный процесс можно продолжать: между любыми двумя различ­ными числами из (?+ заключено бесконечно много чисел того же множества. Это свойство множества <называют свойством плотности.

Упражнения

1. 'Установите различными способами, какое из чисел больше:

ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 4

Законы сложения и умножения 8

Правила вычитания и деления 12

основы 20

ПРЕДИСЛОВИЕ 3

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ 3

2. Объем и содержание понятия 6

3. Определение понятий 9

4. Требования к определению понятий 14

Упражнения 17

6. Высказывания. Смысл слов «и», «или», «не» 20

8. Смысл слов «все» и «некоторые» 24