75. Нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел способом разложения на простые множители

Представление числа в виде произведения простых чисел на­зывается разложением этого числа на простые множители.

Например, запись 110 = 2-5-11 говорит о том, что число 110 разложено на простые множители 2, 5 и 11.

Вообще разложить па простые множители можно всякое состав­ное число, причем при любом способе получается одно и то же раз­ложение, если не учитывать порядка множителей. Поэтому пред­ставление числа 110 в виде произведения 2-5-11 или произведе­ния 5-2-11 есть, по существу, одно и то же разложение числа 110 на простые множители.

Раскладывая числа на простые множители, используют призна­ки деления на 2, 3, 5 и др. Вспомним способ записи разложения чисел на простые множители. Разложим, например, на простые множители число 720. Число 720 делится на 2. Значит, 2 есть один из простых множителей в разложении числа 720. Разделим 720 на

2. Число 2 пишем справа от знака равенства, а частное 360— под числом 720. Число 360 делим на 2, получаем 180. Делим 180 на 2, получаем 90, делим 90 на 2, получаем 45, делим 45 на 3, получаем 15, делим 15 на 3, получаем 5. Число 5 простое, при делении его на 5 получаем 1. Разложение на множители закончено.

720 = 2.2.2.2.3. 360 180 90 45 15 5 1

Произведение одинаковых множителей принято заменять сте­пенью: 720 = 2⁴"3²*5. Такое представление числа 720 называют каноническим видом этого числа.

Разложение чисел на простые множители используется при на­хождении их наибольшего общего делителя и наименьшего обще­го кратного.

Найдем, например, наибольший общин делитель и наименьшее общее кратное чисел 3600 и 288.

Представим каждое из данных чисел в каноническом виде.

3600 = 2-2-2.2.3-3.5.5 = 2⁴.3²-5²; 288 = 2 . 2 . 2-2 - 2 . 3.3 = 2⁵.3²

1800	144
900	72
450	36
225	18
75	9
25	3
5	1
1 В разложение на	простые множители г

лителя чисел 3600 и 288 должны войти все общие простые множи­тели, которые содержатся в разложениях данных чисел, причем каждый из них нужно взять с наименьшим показателем, с каким он входит в оба разложения. Поэтому в разложение наибольшего общего делителя чисел 3600 и 288 войдут множители 2⁴ и З². Зна­чит, 0(36 00, 288) = 2⁴ * 3²= 144.

В разложение на простые множители наименьшего общего крат­ного чисел 3600 и 288 должны пойти все простые множители, кото­рые содержатся хотя бы в одном из разложений чисел 3600 и 288, причем каждый из них нужно взять с наибольшим показателем, вхо­дящим в оба разложения данных чисел. Поэтому в разложение наименьшего общего кратного чисел 3600 и 288 войдут множители 2⁵, З², 5. Значит,

/((3600, 288) = 2⁵ • З² • 5 = 7200.

Вообще чтобы найти наибольший общий делитель данных чисел:

1. представляем каждое данное число в каноническом виде;

2. образуем произведение общих для всех данных чисел про­стых множителей, причем каждый из них берем с наименьшим показателем, с каким он входит во все разложения данных чисел;

3. находим значение этого произведения — оно и будет наи­большим общим делителем данных чисел. ■з

Чтобы найти наименьшее общее кратное данных чисел:

1. представляем каждое данное число в каноническом виде;

2. образуем произведение из всех простых множителей, нахо­дящихся в разложениях данных чисел, причем каждый берем с наи­большим показателем, с каким он входит во все разложения дан­ных чисел;

3. находим значение этого произведения — оно и будет наи­меньшим общим кратным данных чисел.

Рассмотрим несколько примеров.

П р и м е р 1, Найдем наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 60, 252 и 264.

Представим каждое число в каноническом виде: 60 = 2²-3-5, 252 = 2²-3²'-7, 264 = 2³ • 3 • 11.

Чтобы найти наибольший общий делитель данных чисел, обра­зуем произведение общих для всех данных разложений простых множителей, причем каждый из них возьмем с наименьшим пока­зателем, с каким он входит во все разложения данных чисел: 0(60, 252, 264)=2²-3= 12.

Чтобы найти наименьшее общее кратное данных чисел, обра­зуем произведение из всех простых множителей, находящихся в разложениях данных чисел, причем каждый из них возьмем с наи­большим показателем, с каким он входит во все разложения дан­ных чисел:

/((60, 252, 264) = 2³ • З² • 5 • 7 • 11 = 27 720.

П р и м е р 2. Найдем наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 48 и 245. Представим каждое число в кано­ническом виде: 48 = 2’-3, 245 = 5-7².

Так как разложения данных чисел не содержат общих простых множителей, то 0(48, 245)= 1, а /((48, 245) = 48-245= 10 760.

Упражнения

1. Разложите на простые множители числа: 124, 588, 2700, 3780.

Т. Какое число имеет разложение:

1) 2³-3²-7-13; 2) 2²-3-5³?

2. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел:

1. 175 и 245; 2) 540 и 558; 3) 120, 80 и 280; 4) 675 и 154.

2. Найдите наименьшее общее кратное всех однозначных чет­ных чисел. ' *•

3. Наибольший общий делитель двух чисел, одно из которых 600, равен 120. Наименьшее общее кратное этих же чисел равно 4800. Найдите другое число.

4. Мимо станции железной дороги проходят один за другим три поезда: в первом —418 пассажиров, во втором —494 и в треть­ем —456. Сколько пассажирских вагонов в каждом поезде, если известно, что в каждом вагоне находится по одинаковому числу пассажиров и их число наибольшее из всех возможных?

75. Алгоритм Евклида

Нахождение наибольшего общего делителя чисел способом раз­ложения их на простые множители иногда сопряжено с рядом труд­ностей. Например, раскладывая число 6815 на простые множители и найдя первый делитель 5, мы получаем число 1363, наименьшим простым делителем которого является число 29, но, чтобы его найти, надо проверить делимость числа 1363 на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29—лишь на 29 число 1373 делится нацело.

Существует способ, который позволяет с меньшими трудностями находить наибольший общий делитель данных чисел.

Но прежде обратим внимание на одно важное свойство общих делителей двух чисел. Возьмем, например, числа 525 и 231 и раз­делим с остатком 525 на 231. Получим: 525 = 231-2 + 63.

Обозначим через А множество общих делителей чисел 525 и 231, а через В множество общих делителей чисел 231 и 63 и дока­жем, что А = В.

Докажем сначала, что любой общий делитель чисел 525 и 231 является общим делителем чисел 231 и 63. Действительно, если 525-й и 231-й, то согласно теореме о делимости разности по­лучаем, что и 63-й. В этом легко убедиться, если равенство 525 = = 231-2 + 63 записать в таком виде: 63 = 525 — 231-2. Таким обра­зом, любой общий делитель чисел 525 и 231 является общим де­лителем чисел 231 и 63, т. е. А с. В.

Обратно: если ( — общий делитель чисел 231 и 63, т. е. 231 •/ и 63-/, то согласно теореме о делимости суммы 525‘?/. Следова­тельно, любой общий делитель чисел 231 и 63 является и общим делителем чисел 525 и 231, т. е. ВаА.

На основании определения равных множеств имеем, что А = В. Но если множества общих делителей данных пар чисел совпадают, то равны их наибольшие общие делители, т. е.

0(525, 231) = (231, 63).

Вообще если а и Ь — натуральные числа и а = Ь<7 +г, где г<.Ь, то О (а, 6) = О (Ь, г).

Доказательство этой теоремы проводится так же, как и дока­зательство частного случая, проведенного выше.

В чем важность этого свойства? Оно дает возможность при

нахождении наибольшего общего делителя чисел а и Ь заменить эти числа меньшими, что, конечно, упрощает вычисления. Причем такую замену можно производить неоднократно. Так, разделив с остат­ком 525 на 231, получаем в остатке 63. Значит, О (525, 231) = = 0(231, 63). Разделим с остатком 231 на 63:3231=63-3-1-42, т. е. О (231, 63) = 0(63, 42). Разделим с остатком 63 на 42: 63 = 42-1 + 21, значит, 0(63, 42) = О (42, 21). При делении с остатком 42 на 21 в остатке получаем 0, т. е. 0(42, 21) = О (21, 0). Наибольший общий делитель чисел 21 и 0 равен 21. Следовательно, число 21 является и наибольшим общим делителем чисел 525 и 231, так как мы уста­новили, что 0(525, 231) = О (231, 63) = 0(63, 42) = 0(42, 21) = = О (21,0) = 21.

Вычисления, проведенные нами, часто располагают так:

525 = 231 -2 + 63 231=63-3 + 42 63 = 42-1+21 42 = 21 -2 + 0

525

462

_ 231 163 189 3

63 [_42 42 1

42 |_21 42 2 О

0(525, 231)=21

Рассмотренный способ нахождения наибольшего общего делителя основан на делении с остатком. Он впервые был описан древнегре­ческим математиком Евклидом (III в. до н. э.) и поэтому носит название алгоритма Евклида.

В общем виде алгоритм Евклида можно сформулировать так:

Пусть а и Ь — натуральные числа и а>Ь. Если разделить с остатком число а на число Ь, затем разделить с остатком число Ь на полученный остаток, а затем разделить с остатком первый остаток на второй остаток и т. д., то последний, отличный от нуля остаток, есть наибольший общий делитель чисел а и Ь.

Упражнения

1. Докажите, что 0(576, 252) = 0(252, 72).

2. Найдите с помощью алгоритма Евклида наибольший общий делитель чисел:

1. 375 и 645;

2. 960 и 1200;

3. 12 345 и 7565;

4. 36 354 и 30 295.

3. Докажите, что 0(6025, 1728)= 1.

1* ^ _

4. Во сколько раз 0(6855, 10 005) больше, чем 0(1679, 2231)?

5. Найдите наименьшее общее кратное чисел 4565 и 960, вы­числив наибольший общий делитель этих чисел с помощью алгоритма Евклида.