§ 3. Математические доказательства 35

13. Дедуктивные рассуждения 35

14. Простейшие схемы дедуктивных рассуждений 41

15. Неполная индукция ’³ 44

16. Способы доказательства истинности высказываний 47

§ 4. Текстовые задачи и их решение 51

17. Понятие текстовой задачи 51

18. Способы решения текстовых задач 53

111111111111111111111III1111 ^>мъ° 56

(л п пс=л п(в п с). (Л1)В)ис=Л11(вис). 79

2) С=((а, (Ь, <Г), (а, с)); 96

□ □ □ о о о о 137

"^{еотрииатель}' ОООООКН8В2 145

«О О О О 141

^□□□□□□000 «О О О О О О 139

□ □□□□□□□□□□□ 158

& . 226

I „ 295

2. Известно, что запись числа не оканчивается цифрой 5. Делится ли это число на 5?

3. Делится ли на 9 число 10²⁶-|-8?

4. Какие из следующих чисел можно представить в виде 9</:

1) 333; 2) 8021; 3) 10 800?

5. Не выполняя действия сложения, установите, делится ли зна­чение выражения на 4:

1. 284 + 1440+113; 3) 284 + 1441 + 113;

2. 284 + 1440 + 792 224; 4) 284+1441 + 113+164.

6. Не выполняя вычитания, установите, делится ли разность на 9:

1) 360-144; 2) 946-540; 3) 30 240-9720; 4) 321-248.

7. В каком из случаев (см. упр. 7) разность делится на 4?

на 5?

8. Докажите, что число 9 является делителем произведения 2043-402.

9. Докажите, что разность любого четырехзначного числа и четырехзначного числа, записанного теми же цифрами, но в обрат­ном порядке, делится на 9.

10. Докажите, что если число а при делении на 5 дает в остатке 3, то число а²+1 делится на 5.

11. Приведите примеры заданий из учебников по математике для начальных классов, выполнение которых требует проверки де­лимости чисел на данное число.

75. Наибольший общий делитель

и наименьшее общее кратное

Возьмем два числа 12 и 8 и выпишем их делители.

Число 12 делится на 1,2, 3, 4, 6, 12.

Число 8 делится на 1,2, 4, 8.

У чисел 12 и 8 есть общие делители. Это числа 1, 2 и 4. Среди них есть наибольшее число 4. Его называют наибольшим общим делителем чисел 12 и 8.

Дадим определения этим понятиям.

Определение. Общим делителем натуральных чисел а и Ь называется всякое натуральное число, которое является делителем каждого из данных чисел.

Определение. Наибольшим общим делителем натуральных чисел а и Ь называется наибольшее число из всех общих делителей данных чисел.

Наибольший общий делитель чисел а и Ь обозначают О (а, Ь). Так, 0(12, 8) = 4.

Назовем некоторые свойства наибольшего общего делителя, приняв их без доказательства.

1. Наибольший общий делитель натуральных чисел а и Ь всегда существует и является единственным.

2. Наибольший общий делитель чисел а и Ь не превосходит меньшего из данных чисел, т. е. если а<сЬ, то О (а, 6)^а.

3. Наибольший общий делитель натуральных чисел а и Ь делится на любой общий делитель этих чисел.

Например, общими делителями чисел 12 и 8 являются 1, 2, 4. Число 4— наибольший общий делитель чисел 12 и 8. Видим, что он делится и на 1, и на 2.

Возьмем опять два числа 12 и 8 и выпишем несколько чи­сел кратных 12 и 8. Числа, кратные 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ...; числа, кратные 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 72, ... .

У чисел 12 и 8 есть общие кратные. Это числа 24, 48, 72, ... . Среди них есть наименьшее число 24. Его называют наименьшим общим кратным чисел 12 и 8. Дадим определение этим понятиям.

Определение. Общим кратным натуральных чисел а и Ь на­зывается всякое натуральное число, которое кратно каждому из данных чисел.

Определение. Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и & называется наименьшее число из всех общих кратных данных чисел.

Наименьшее общее кратное чисел а и Ь обозначается К(а,.Ь). Так, /((12, 8) = 24.

Назовем некоторые свойства наименьшего общего кратного двух чисел, приняв их без доказательства.

1. Наименьшее общее кратное натуральных чисел а и Ь всегда существует и является единственным.

2. Наименьшее общее кратное чисел а и & не меньше большего из данных чисел, т. е. если а>Ь, то К (а, Ь)~^а.

3. Любое общее кратное двух натуральных чисел а и Ь делит­ся на наименьшее общее кратное этих чисел.

Например, общие кратные чисел 12 и 8 делятся на их наименьшее общее кратное 24: 48:24, 72:24 и т. д.

Наименьшее общее кратное чисел а и Ь и их наибольший общий делитель взаимосвязаны.

Ранее мы установили, что /((12, 8) = 24, а 0(12, 8) = 4. Умножим наименьшее общее кратное чисел 12 и 8 на их наиболь­

ший общий делитель: /С(12. 8)-Д(12, 8) = 24-4 = 96. Найдем теперь произведение данных чисел: 12>8 —96. Случайно ли совпадение рассматриваемых произведений?

Оказывается, для любых натуральных чисел а и 6 справедливо утверждение: произведение их наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя равно произведению чисел а и 6, т. е. имеет место равенство

К (а, 6)-Д (а, Ь) = аЬ.

Это равенство позволяет, зная наибольший общий делитель чисел а и 6, находить их наименьшее общее кратное:

В частности, если числа а и 6 таковы, что их наибольший общий делитель равен 1, то наименьшее общее кратное таких чисел равно произведению аЬ.

Например, если а = 17, 6 = 5, то другого общего делителя, кро­ме 1, они не имеют, а значит, О (17, 5)= 1. Тогда К (17, 5)= 17*5 = 85.

Упражнения

1. Выпишите все делители каждого из чисел 36 и 24 и укажите их общие делители. Чему равен наибольший общий делитель этих чисел?

2. Назовите 6 чисел, кратных числу 36, и 6 чисел, кратных числу 24. Укажите среди них общие кратные. Чему равно наименьшее общее кратное чисел 36 и 24?

3. Верны ли следующие равенства: 1) Л) (32, 8) = 8; 2) К(32,8) = = 32?

4. Учащийся нашел, что 0(136, 225)= 17, а /((136, 225) = 2040. Как проверить правильность полученных результатов?

5. Найдите наименьшее общее кратное чисел а и 6, если из­вестно, что: 1) 0(315, 385) = 35; 2) 0(47, 105)= 1.