75. Делимость суммы, разности и произведения целых неотрицательных чисел

Часто в практике возникает вопрос: как, не производя вычис­лений, определить, делится сумма (разность, произведение) на дан­ное число или нет? Ответ на него предполагает знание следующих теорем.

Теорема о делимости суммы. Если каждое слагаемое делится на натуральное число п, то и их сумма делится на это Число.

Доказательство. Пусть числа а и Ь делятся на п. Докажем, что тогда число а-\-Ь тоже делится на п. Так как а\ п, то существует такое целое неотрицательное число <7, Что а = л<7. Так как Ь\п, то существует такое целое неотрицательное число р, что Ь = пр. Подставим в сумму а-\-Ь вместо а произведение л<7 и вместо Ь произведение пр. Получим а + Ь = пу-\-пр. Вынесем за скобки общий множитель п и получившееся в скобках целое неотрицательное число :'<7 + Р обозначим буквой /. Получим а + Ь = пу-\-пр = п (<7+•}?)=пб Нам удалось сумму а-\-Ь представить в виде произведения числа п Т» некоторого целого неотрицательного числа I. А это значит, что число а-\-Ь делится на п.

Мы провели доказательство теоремы для случая двух слагаемых. Аналогично можно доказать ее для суммы, состоящей из ш сла­гаемых.

П р и м е р. Не производя вычислений, можно сказать, что сумма 114 + 348 + 908 делится на 2, так как на 2 делится каждое слагае­мое этой суммы.

Теорема о делимости разности. Если числа а и Ъ делятся на п и а^Ь, то а —Ь делится на п.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоре­мы о делимости суммы.

Теорема о делимости произведения. Если один из множителей произведения делится на натуральное число п, то и все произведение делится на п.

Доказательство. Его мы проведем для произведения, со­стоящего из двух целых неотрицательных множителей а и Ь. Пусть один из них, например а, делится на п. Гак как а\ п, то существует такое целое неотрицательное число <7, что а = т7. Умножим обе части этого равенства на Ь: а-Ь=(пу)-Ь, откуда а-Ь = л(<7-6), но Ц'Ь — целое неотрицательное число, следовательно, аЬ \ п.

Аналогично проводится доказательство и для произведения, в ко­тором т множителей.

Например, произведение 24-976-305 разделится на 12, так как на 12 делится множитель 24.

Рассмотрим еще две теоремы, связанные с делимостью произве­дения и суммы, которые часто используются в решении задач на дел нм ость.

Теорема. Если в произведении аЬ множитель а делится на натуральное число ш, а множитель Ь делится на натуральное число п, то произведение аЬ делится на произведение тп.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о делимости произведения.

Например, произведение 24-36 разделится на 108=12-9, по­скольку 24 делится на 12, а 36 делится на 9.

201

,*.» Л

Теорема. Если в сумме одно слагаемое не делится на число тп, а все остальные слагаемые делятся па число ш, то вся сумма на число ш не делится.

Доказательство. Пусть_5==а|+ а2 + ... + а_л + с и извест­но, что а\\т, аг: т, •••> о„\т, но с\т. -з Докажем, что тогда в-т.

Предположим противное, т. е. пусть 5\т. Преобразуем сумму 5 к виду с = 5—(а|+а2 + ... + а_п). Так как з\т по предположению, (а| + яг + ... + а_л):т на основании теоремы о делимости суммы, то согласно теореме о делимости разности 5-т. Пришли к про­тиворечию с тем, что дано. Таким образом, 5| т.

Например, сумма 34 4-125 + 376-1-1024 на 2 не делится, так как 34;2, 376| 2, 102412, но 125-2.

Рассмотренные теоремы являются основой решения задач, свя­занных с делимостью чисел.

Задача. Доказать, что произведение любых двух последо­вательных натуральных чисел делится на 2.

Регаени е. Запишем условие задачи, используя символы. Если одно натуральное число обозначить буквой п, то Число следующее за ним л + 1. Значит, нам надо доказать, что п (я + 1) - 2 для любого на­турального п.

Как известно, множество целых неотрицательных чисел можно разбить на 2 класса: четные числа (т. е. числа вида 2*7) и нечетные (т. е. числа вида 2*7+1).

Если /г = 2*7, то п (л+1) = 2<7 (2*7 +1). Так как в произведе­нии 2*7 (2*7+ 1) есть множитель, который делится на 2, то и согласно теореме о делимости произведения все произведение делится на 2. Значит, л(« + 1)| 2.

Если « = 2*7+ 1, то п (л + 1) = (2*7 + 1) (2*7 + 2). Так как в получен­ном произведении есть множитель 2*74-2, который делится на 2 (каждое слагаемое суммы делится на 2), то и все произведение делится на 2. Значит, я(л + 1)|2 и в этом случае.

Итак, утверждение л(я+1)-2 справедливо для всех четных и нечетных натуральных чисел, следовательно, оно справедливо для любого натурального числа.

Конечно, доказательство данного утверждения можно было бы провести проще, использовав тот факт, что из двух последователь­ных натуральных чисел одно обязательно четное, но приведенное доказательство ценно тем, что оно является иллюстрацией одного из способов доказательства утверждений о делимости чисел. Этот способ — полная индукция, при котором истинность утверждения выводится из истинности его во всех частных случаях.

Упражнения

1. В доказательстве теоремы о делимости суммы есть такое преобразование: а + 6 = п*7 + лр = п (<7 + р). Объясните: 1) на основа­нии какого теоретического факта оказалось возможным вынести 202 число п за скобки; 2) почему сумма <7 + р является целым неотрицательным числом.

2. Докажите теорему о делимости суммы для: 1) трех слагае­мых; 2) т слагаемых.

3. Докажите теорему о делимости разности целых неотрица­тельных чисел на натуральное число.

4. Докажите, что: I) если а\т и Ь\п, то аЬ\тп\ 2) если а\т и Ь \ т,. то аЬ \ т².

5. Известно, что а не кратно п и Ь не кратно п. Верно ли, что: 1) а + 6 не кратно п\ 2) а -Ь не кратно л?

6. Не выполняя сложения, установите, делится ли значение выражения на 3: 1) 180+144; 2) 720 + 308; 3) 103 + 370.

7. Не производя вычитания, укажите выражения, значения которых делятся на 5: 1) 535 — 413; 2) 1215 — 470; 3) 20 147—1307.

8. Не производя вычислении, установите, будет произведение 75-32-27 делиться на 5, 8, 9, 10, 18, 45.

9. Если к двузначному числу прибавить число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то сумма будет кратна 11.

Докажите это.

10. Докажите или опровергните следующие высказывания:

1. Для того чтобы сумма двух натуральных чисел была четным числом, необходимо, чтобы каждое слагаемое было четным числом

2. Из того, что сумма двух натуральных чисел четна, следует, что оба слагаемые тоже четные. 3) Из того, что числа а н Ь нечет­ные, следует, что их сумма а + 6 — число четное. 4) Для того чтобы сумма двух натуральных чисел была нечетным числом, достаточно, чтобы одно из них было четным, а другое — нечетным.

11. Известно, что а — четное натуральное число, Ь — нечетное и а>Ь. Каким числом будет разность чисел а и Ь? Высказанное предположение докажите.

12. Кратна ли числу 4 сумма двух последовательных: 1) четных чисел; 2) нечетных чисел?

13. Докажите способом полной индукции, что произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 3.

14. Докажите, что квадрат нечетного натурального числа при делении на 8 дает остаток 1.

15. Докажите, что сумма квадратов двух последовательных нату­ральных чисел при делении на 4 дает остаток 1.

16. Докажите, что произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.

75. Признаки делимости чисел

в десятичной системе счисления

Вам известны признаки делимости на 2, 3, 4, 5 и др. Все они пред­назначены для чисел, записанных в десятичной системе счисления. Наша задача — обосновать эти признаки, опираясь на введенное определение отношения делимости и способ записи чисел в деся­тичной системе счисления.

Признак делимости на 2. Для того чтобы число х де­лилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная за­пись оканчивалась одной из цифр 0, 2, 4, б, 8.

Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т. е. х = а„• 10^п + а_я-| -ЬО"^-1 + ... + СЦ. 10 + ао (1), где а„, а„_|, а\, ао принимают значения 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а„=^о и ао принимает значения 0, 2, 4, 6, 8. Докажем, что тогда

X; 2

Так как 10-2, то 10²• 2, 10³; 2, .... 10"• 2, и, значит, (а„-10"4- + а_п-| • 10"^-1 + • 10); 2. По условию ао тоже делится на 2,

и поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 2. Следовательно, согласно теореме о делимости суммы и само число х делится на 2.

Докажем теперь обратное: если число х делится на 2, то его де­сятичная запись оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Запишем равенство (1) в таком виде: а₀ — х — (а„- 10" +

4-а„_|• 10"^_| + ... + а|• 10). Но тогда по теореме о делимости раз­ности а₀;2, поскольку х\2 и (а„- 10" + а_я_| • Ю"^-1 + ... + аг 10); 2. Чтобы однозначное число ао делилось на 2, оно должно принимать значения 0, 2, 4, 6, 8.

Признак делимости на 5. Для того чтобы число х

делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная

запись оканчивалась цифрой 0 или 5.

Доказательство этого признака аналогично доказательству приз­нака делимости на 2.

Признак делимости на 4. Для того чтобы число х

делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось

двузначное число, образованное последними двумя цифрами де­сятичной записи числа х.

Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т. е. х = а„-Ю" + а_п_1 • 10"^_| + ... + а2-10³ + + а|-10 + ао, где а„, а_п-\, ..., ао принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и две последние цифры образуют число,

которое делится на 4. Докажем, что тогда х\4.

Так как 100:4, то (а„-Ю" + а„_1 • 10"~‘ + ... + а₂-Ю²)| 4. По условию а|* 10 + ао (это и есть запись двузначного числа) также делится на 4. Поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 4. Следова­тельно, согласно теореме о делимости суммы и само число х де­лится на 4.

Докажем обратное, т. е. если число х делится на 4, то двузнач­ное число, образованное последними цифрами его десятичной за­писи, тоже делится на 4.

Запишем равенство (1) в таком виде: й| • 10-(-ао = л:—(а„-10"4- -1-ал_г 10"^-1 + ...4-а2* 10²). Так как х\4 и (а„- 10"-Га_л_|-10"^-,4- Ч-...Ц-а2-10²) • 4, то по теореме о делимости разности (а| -10-Н 4-ао):4. Но выражение а^Ю + ао есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х.

Признак делимости на 9. Для того чтобы число х де­лилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 9.

Доказательство. Докажем сначала, что числа вида 10"— 1 делятся на 9. Действительно, 10"—1 =(9-Ю"^-'+ 10"^-1)—1 = Ь- (9-10"-'+ 9-10"-²+10"-²)- 1 = (9-10""¹+9-10"~² +... + 10) —

1 =9-10"“¹ +9* 10'^1-2... + 9. Каждое слагаемое полученной суммы делится на 9, значит, и число 10"—1 делится на 9.

Пусть число х записано в десятичной системе счисления, цТ- е. х = а_л- 10" + а„_1 • 10"^-1 +... + а, • Ю + а₀, где а_п,а_л_|, ..., а_и во принимают значения 0, I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и (ол + Оп-п+ ...+ 4- ао) • 9. Докажем, что тогда х-9.

Преобразуем сумму а„- 10"4-Ял-|- 10"^_, + ... + ао, прибавив и вычтя из нее выражение а„ + а_я-1-{-... + ао и записав результат в таком виде: х = (а_л-10" — а_я)4-(Ял-1 • 10"^_| — 0,-1) + ... + («!• Ю —

'<— 0|) 4* (ао — Оо) 4* (а_я 4“ Ял — 1 +...+ Я| 4“ ^а0) ⁼ ( I 0" — 1 ) 4" Ял — I X

X (10^я-1 — 1)4-... 4-Д1 (10 — 1)4*(а_л 4-14-... 4~яо).

В последней сумме каждое слагаемое делится на 9:

а„-(10"—1)| 9, так как (10" — 1); 9,

Ял_ 1 (10"^_| — 1); 9, так как (10^я — 1); 9,

а| (10 — 1): 9, так как (10— 1)* 9, (Ол4"Ял-14----4-яо); 9 по условию. Следовательно, х-9.

Докажем обратное, т. е. если число х делится на 9, то сумма цифр его десятичной записи делится на 9.

Запишем равенство (1) в таком виде: ал4-Ял-|4-- -4-яо = = дг — (ол-(10^я— 1)4-Ял-|(10"^_| — 1)4-..-4-Я| (10 — 1)). Так как х|9 п (Ол(10"— 1)4-Ял-1(10"^-1 — 1)4“• • ■ 4”я 1 (10 — 1)) • 9, то по теореме о де­лимости разности (а„4-я_л-| 4-... + яо) • 9. Но выражение я_п4-я_я-14~

4. ...4-а₀ есть сумма цифр десятичной записи числа х.

Признак делимости на 3. Для того чтобы число х делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 3.

Доказательство этого признака аналогично доказательству признака делимости на 9.

Делимость.целых неотрицательных чисел в начальном курсе ма­тематики специально не изучается. Но использование правил де­ления суммы на число и числа на произведение требует предва­рительного ответа на вопрос: делится одно число на другое или нет? Отвечая на этот вопрос, учащиеся начальных классов руко­водствуются таблицей умножения, а не признаками делимости. Поэтому и задания в учебниках математики содержатся такие, ко­торые позволяют обходиться только таблицей. Например, чтобы из выражений (62 4~ 18):8, (364-27):9, (404-16):7 выбрать то, в кото­ром каждое слагаемое суммы делится иа указанное число, уча­щийся должен хорошо знать, что на 9 делится и 36, и 27, а,

например, числа 62 и 18 на 8 не делятся. Аналогично, чтобы найти значение выражения 720:(9-5) таким способом: (720:9) :5, учащийся должен знать, что 720 делится на 9, а 80 делится на 5, т. е. знать еще и отдельные случаи внетабличиого деления. ,_а

Упражнения

1. Напишите:

ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 4

Законы сложения и умножения 8

Правила вычитания и деления 12

основы 20

ПРЕДИСЛОВИЕ 3

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ 3

2. Объем и содержание понятия 6

3. Определение понятий 9

4. Требования к определению понятий 14

Упражнения 17

6. Высказывания. Смысл слов «и», «или», «не» 20

8. Смысл слов «все» и «некоторые» 24