63. Умножение многозначных чисел в десятичной системе счисления

Если числа а и Ь однозначные, то, чтобы найти их произведение, достаточно сосчитать число элементов в декартовом произведении таких множеств А и В, что п (А) = а, п (В)=Ь. Но чтобы всякий раз, выполняя умножение таких чисел, не обращаться к множествам и счету, все произведения, которые получаются при умножении двух однозначных чисел, запоминают.

Все такие произведения записывают в особую таблицу, которая называется таблицей умножения однозначных чисел.

Если числа а и Ь многозначные, то, как известно, их умножают «столбиком». Выясним, каковы теоретические основы этого умножения.

Умножим, например, число 426 на 123.

У 426 Видим, что для получения результата нам пришлось

^Л 123 число 426 умножить на 3, 2, 1, т. е. умножать много-

1278 значное число на однозначное; но, умножив на 2, мы

4-852 результат записали по-особому, поместив единицы числа

426 852 под десятками числа 1278,—$то потому, что му, по

52398 сути дела, умножали на 2 десятка; третье слагаемое

426 — это результат умножения на 1 сотню. Кроме того, нам при­шлось найти сумму многозначных чисел.

Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на мно­гозначное, необходимо уметь:

умножать многозначное число на однозначное;

умножат!» многозначное число на степень 10;

складывать многозначные числа.

Поскольку сложение многозначных чисел нами изучено, выясним, каковы теоретические основы умножения многозначного числа на однозначное и на степень десяти.

Рассмотрим процесс умножения числа 426 на 3. Согласно пра­вилу записи чисел в десятичной.системе счисления число 426 можно представить в виде.

4-10²4-2-10 + 6, и тогда 426-3 = (4-10²4-2-Ю-{-6)-3.

На основании распределительного закона умножения относи­тельно сложения преобразуем последнюю запись, раскрыв скобки:

(4 • 10²) • 3 4- (2 • 10) • 3 4- 6 • 3.

Переместительный и сочетательный законы умножения позво­ляют-слагаемые в этой сумме записать так: (4*3)-10²4-(2-3)-104-

(6-3).

Произведения в скобках могут быть найдены по таблице умно­жения однозначных чисел: 12-10²4-6-104-18.

Видим, что умножение многозначного числа на однозначное

свелось к умножению однозначных чисел.

Но полученное выражение не является десятичной записью чис­ла— коэффициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Поэтому представим 12 в виде 104-2, а число 18 в виде 104-8:

(104-2)-10² 4-6-104-004-8).

Раскроем скобки: 10³-|-2-10²4-б-104-104-8.

Воспользуемся сочетательным законом сложения и распредели­тельным законом умножения относительно сложения: 1 -10³4-

4-2-10²4-(64- 1)-10 + 8. Сумма 64-1 есть сумма однозначных чисел и легко находится по таблице сложения: 1 -10³4-2-10²4-7* 104-8.

Полученное выражение есть десятичная запись числа 1278. Таким образом, 426-3=1278.

Вообще агоритм умножения числа х=а_па_п-\ ... Ц|Оо на одно­значное число у можно сформулировать так:

1. Записываем второе число Под первым.

2. Умножаем цифры разряда единиц на число у. Если произве- 184 ,0 дение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и пере­ходим к следующему разряду (десятков).

!3. Если произведение цифры единиц "на число у больше или >авно 10, то представляем его в виде 10-71 + 00, где Со— однознач- юе число; записываем Со в разряд единиц ответа и запоминаем 71 — геренос в следующий разряд.

4. Умножаем цифру разряда десятков на число у, прибавляем { полученному произведению число 71 и повторяем процесс, опи­санный в п. 2 и 3.

5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умножен­ной цифра старшего разряда.

Как известно, умножение числа х на число вида 10* сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа к нулей. Дейст­вительно, если х = а„-10^я + а_л_| • 10^л-1+ ... + 01 • 10 + ао, то х-10* = =(а„-Ю'^, + а_я_1 • Ю”^-1 + ... + 01 • 10 + а₀)-10*. Применив распреде­лительный закон умножения относительно сложения и другие за­коны умножения, получаем:

а„- 10'¹⁺* + а_л-| • 10'¹⁺*~^| + ... + а| • 10*⁺¹ +а₀-10*.

Это выражение является десятичной записью числа

а_ла„_| ... а|О₀0 ... 0.

к нулей

так как а„-Ю"⁺* + а_л_1- 10"⁺*-‘ + - + ао* 10* = а„-Ю'^,+* + а_я_,Х X 10'¹⁺*~^| + ... + а₀-10*+ 0-10*^_| + ...+ 0.

Например, 534-10³ = (5- Ю² + 3-10 + 4)-10³ = 5- Ю⁵ + 3- 10⁴ + 4Х X I О³ = 534 000.

Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся к примеру, с которого начинали, т. е. к произведению 426-123. Представим число 123 в виде суммы сте­пеней десяти с коэффициентами: 123= 1 • 10² + 2-10 + 3 — и запи? шем произведение 426-(1 • 10² + 2• 10 + 3). Оно согласно распре­делительном закону умножения относительно сложения равно 426-(I • 10²)+426-(2-10) + 426-3. Откуда на основании сочетательно­го закона умножения получаем:

(426- 1)-10²+ (426-2)-10 + 426-3.

Таким образом, умножение многозначного числа на многознач­ное свелось к умножению многозначного числа на однозначное.

Вообще алгоритм умножения числа х = а„а_п-\ — оцао на число у=ЬкЬь-1 ... Ь^Ьо можно сформулировать так:

1. Записываем множитель х и под ним второй множитель у.

2. Умножаем число х на младший разряд Ьо числа у и запи­сываем произведение хЬо под числом у.

3. Умножаем число х на следующий разряд Ь\ числа у и запи­сываем произведение хЬ\, но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению хЬ\ на 10.

4. Продолжаем процесс вычисления произведений до вычис­ления хЬк.

5. Полученные /г 4-1 произведение складываем.

В начальном курсе математики обучение умножению состоит из нескольких этапов, включающих таблицуумножения однозначных чисел; умножение двузначных чисел, оканчивающихся нулем; умно­жение многозначных чисел на однозначное, двузначное и трех­значное число.

Изучение алгоритма умножения «столбиком» начинается с ум­ножения трехзначного числа на однозначное. Ему предшествует объяснение:

426 • 3 = (400 + 20 + 6) • 3 = 400 • 3 + 20 ■ 3 + 6 • 3 =

= 1200 + 60+18=1278.

Оно говорит о том, что умножение трехзначных чисел на одно­значные основывается на:

записи числа в десятичной системе счисления (в школе это связывается с представлением числа в виде суммы разрядных сла­гаемых) ;

распределительном законе умножения относительно сложения (в школьной терминологии — правила умножения суммы на число);

умножении круглых чисел на однозначное, т. е. таблице умноже­ния однозначных чисел;

сложении многозначных чисел.

Затем на конкретных примерах показывается, что умножение многозначного числа на многозначное сводится к умножению многозначного числа на однозначное и сложению многозначных чисел. Например, 46-38 = 46-(30 + 8) = 46-30 + 46-8.

Упражнения

1. На примере умножения чисел 397 и 6 покажите, какие тео­ретические факты лежат в основе алгоритма умножения трехзнач­ного числа на однозначное.

2. Произведение 96*77 можно преобразовать так:

96*77 = 96>(70+ 7)=96-70+ 96*7. Как найти 96-7 и 96-70?

3. Покажите, что умножение 524 на 168 сводится к умножению многозначного числа на однозначное и сложению многозначных чисел, а затем найдите произведение этих чисел «столбиком».

4. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются при помощи действия умножения, и решите их:

1. При обращении Земли вокруг Солнца Земля за сутки про­ходит примерно 2 505 624 км. Какой путь Земля проходит за 365 дней?

2. Диаметр Земли равен приближенно 12 740 км. Луна находит­ся от Земли на расстоянии в 30 раз больше, чем диаметр Земли. Каково расстояние от Земли до Луны?

5. Решение задачи запишите в виде числового выражения, а атем найдите его значение:

1. Швейная фабрика за первые 6 дней изготовляла по 485 йатьев. Сколько всего платьев изготовила фабрика за эти дни?

I- 2) На элеватор отвезли 472 т овса, ржи на 236 т больше, чем аса, а пшеницы в 4 раза больше, чем овса и ржи вместе. Сколько тонн пшеницы отвезли на элеватор?

3. На одном участке посеяли 30 т пшеницы, а на другом — Йа 3 т больше. С первого участка собрали в 21 раз больше, чем посеяли, а со второго — в 24 раза больше, чем посеяли. Сколько пшеницы собрали с двух участков?

4. На колхозной ферме 326 коров и 118 телят. Колхоз заготовил для них силос из расчета 5 т 40 кг на. корову и 2 т 80 кг на теленка. Сколько всего силоса заготовил колхоз для коров и телят?

6. Вычислите рациональным способом значение выражения:

1. (420-394).405-25-405-300;

2. 105-209-(963-859)-209-400;

3. 1987-19 861 986— 1986- 19 871 987.

7. Найдите значения произведений 13.11, 27-11, 35-11, 43-11, 54-11 и обоснуйте правило: чтобы умножить двузначное число (сумма цифр которого меньше 10) на 11, достаточно между циф­рами числа нарисать сумму его цифр.

| 8. Вычислите 29-11, 37-11, 47-11, 85-11, 97-11 и обоснуйте

Гправило: чтобы умножить двузначное число (сумма цифр которого равна или больше 10) на 11, достаточно между цифрой десятков, увеличенной на 1, и цифрой единиц написать разность между суммой его цифр и числом 10.

I

63. Деление многозначных чисел

в десятичной системе счисления

Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком. Вспомним опреде­ление: разделить с остатком целое неотрицательное число а на натуральное число Ь — это значит найти такие целые неотрицатель­ные числа ^ н г, что а = Ьд-\-г, причем 0<+<6, а число (/ на­зывают неполным частным.

При делении однозначных чисел и двузначных (не превышаю­щих 89) на однозначное используется таблица умножения однознач­ных чисел.

Пусть, например, надо разделить 54 на 9. Ищем в 9-м столбце (9-й строке) число 54. Оно находится в 6-й строке (6-м столбце). Значит, 54:9 = 6.

Разделим теперь 51 на 9. В 9-м столбце нет числа 51. Поэтому возьмем в этом столбце ближайшее к нему меньшее число 45. Так как 45 находится в 5-й строке, то неполное частное равно 5. Чтобы найти остаток, вычтем из 51 число 45: 51—45 = 6. Таким образом, 51=9-5 + 6, или в школьной символике 51:9 = 5 (ост. 6).'

Выясним теперь, как осуществляется деление многозначного числа на однозначное. Пусть требуется разделить 238 на 4. Это значит надо найти такие неполное частное 7 и остаток г, что 238 = 4^ +г, 0<г<4.

Заметим, что требование к леполномулчастному <7 чисел 238 и 4 можно записать в таком виде: 4у<238<4(7 + 1).

Выясним сначала, сколько цифр будет содержаться в записи числа 7. Однозначным число 7 быть не может, так как произведе­ние числа 4 на однозначное число плюс остаток не равно 238. Если число 7 двузначное, т. е. если Ю<7< 100, то тогда число 238 заклю­чено между числами 40 и 400, что верно. Значит, частное чисел 238 и 4'— число двузначное.

Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последователь­но делимое 4 на 20, 30, 40 и т. д. Поскольку 4-50 = 200, 4-60 = 240 и 200 <238 <240, то неполное частное заключено между числами 50 и 60, т. е. 7 = 50 + 70. Но тогда о числе 238 можно сказать, что 4 • (50 + 70) < 238 < 4 • (50 + 70 + 1), откуда

200 + 470<238<200+ 4 (70+1) и 47₀<238<4 (70+ 1).

Число 70 (цифру единиц частного), удовлетворякрщее данному неравенству, можно найти, воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что 7о = 9, и, следовательно, неполное частное 7 = 50 + 9 = = 59. Остаток находится вычитанием: 238-4-59 = 2.

Итак, при делении числа 238 на 4 получается неполное частное 59 и остаток 2: 238 = 4-59 + 2.

Описанный процесс деления лежит в основе так называемого деления уголком:

_238 [4 20 59

38 36

Аналогично выполняется деление многозначного числа на много­значное. Разделим, например, 5658 на 46. Выполнить это деление — значит найти такие целые неотрицательные числа 7 и г, что 5658 = = 467 +г, 0<г<46. Отсюда имеем, что 46-7< 5658<46 (7+1).

Установим число цифр в частном Очевидно, частное 7 за­ключено между числами 100 и 1000 (т. е. оно трехзначное), так как

4600 <5658 <46 000.

Чтобы найти цифру сотен частного, умножим последовательно делимое 46 на 100, 200, 300 и т. д. Поскольку 46-100 = 4600, а 46-200 = 9200 и 4600<5658<9200, то неполное частное заклю­чено между числами 100 и 200, т. е. 7=100 + 71, где 71 — двузначное число. Но тогда будут справедливы неравенства

46-(100 + 71X5658 <46-(100+ 7, + 1).

Раскрыв скобки и вычтя число 4600, придем к неравенству

46<7,< Ю58<46-(7, + 1).

Число <71 двузначное. Потому, чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делимое 46 на 10, 20, 30

и т. д. Так как 46-20 = 920, а 46-30=1380 и 920< 1058< 1380, !то 20<<7< <30 и число <71 можно представить в виде <71 = 20 +<70- Но тогда о числе 1058 можно сказать, что

46-(20 + <7оКЮ58<46-(20 + <7о+1), т. е.

46•20 + 46•70 <1058 < 46 • 20 + 46 • (<70 + 1), 46<7о<138<46-(<7о+1).

Число 70 (цифру единиц частного), удовлетворяющее последне­му неравенству, находим перебором, последовательно умножая 46 на 1, 2, 3, ..., 9. Получаем, что 46-3=138, т. е. имеем случай,

когда остаток равен нулю. Значит, 5658:46=123.

Приведенные выше рассуждения лежат в основе деления уголком:

5658 146 ^—46 1^3

_ 105

92 _ 138 138

Для полноты представления о делении многозначных чисел рас­смотрим тот случай, когда в частном появляются нули. Разделим, например, 7549 на 37, т. е. найдем такие числа <7 и г, что 7549 = = 37-<7 + г, 0<г<37 и 37<7<7549<37(<7+1).

Частное 7 чисел 7549 и 37 заключено между числами 100 и 1000 (т. е. оно трехзначное), поскольку 3300< 7549 <37 000.

Умножением числа 37 на 100, 200 и т. д. устанавливаем; что 37-200<7549 <37-300. Значит, <7 = 200 + 71, где 71—двузначное число и 37 -(200 + 71Х 7549 <37 -(200 + 71 + 1).

После преобразований приходим к неравенству

377, < 149<37-(7, + 1).

Так как число 71 двузначное, то цифру десятков в его записи находят, умножая 37 па 10, 20, 30 и т. д. Но в нашем случае оказывается, что ни одно из этих чисел неравенству не удовлетворяет. Это значит, что цифра десятков в числе 71 равна 0, т. е. 71=6 + 70. Неполное частное 7 имеет вид:

7 = 200 + 0 + 7о, где 70 — число единиц и 70 = 71.

Из последнего неравенства находим, что 71=4. Значит, искомое частное есть число 200 + 0 + 4 = 204, а остаток равен 1, так как 7549 - 37-204=1.

7549

74

Л49

148

—т

Обобщением различных случаев деления целого неотрицатель­ного числа а на натуральное число Ь является следующий алгоритм деления уголком.

1. Если а = Ь, то частное <7=1, остаток г = 0.

И. Если а>Ь и число разрядов в числах а н Ь одинаково, то частное находим перебором, последовательно умножая Ь на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, так как а<10д.

III. Если а>() и число разрядов в числе а больше, чем в числе Ь, то записываем делимое а и справа от него делитель Ь, который отделяем от а уголком, и ведем поиск частного и остатка в такой п осл едов ател ьн ост и:

1. Выделяем в числе а столько старших разрядов, сколько раз­рядов в числе Ь, или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовали число й\, большее или равное Ь. Перебором находим частное <71 чисел </| и Ь, последовательно ум­ножая Ь на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Записываем <71 под уголком (ниже Ь).

2. Умножаем Ь на <71 и записываем произведение под числом а так, чтобы младший разряд числа Ьс71 был записан под младшим разрядом выделенного числа й\.

3. Проводим черту под 6| и находим разность

Г| = <*, — б?,.

4. Записываем разность г\ под числом Ь<71, приписываем справа к г| старший разряд из неиспользованных разрядов делимого а и сравниваем полученное число с числом Ь.

5. Если полученное число йг больше или равно Ь, то относи­тельно его поступаем согласно п. I или II. Частное <72 записываем после <71.

6. Если полученное число Аг меньше Ь, то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получи­лось пёрвое число </3, большее или равное Ь. В этом случае запи­сываем после <71 такое же количество нулей. Затем относительно </з поступаем согласно п. I или II. Частное <72 записываем после нулей.. Если при использовании младшего разряда числа а окажется, что Лэ<Ь, то тогда частное чисел с/з и Ь равно нулю, и этот нуль записы­ваем последним разрядом к частному, а остаток г = с1₃.

Так как выполнение деления связано со многими математичес­кими умениями, и в частности умением умножать и вычитать многозначные числа, овладение ими в начальных классах идет посте­пенно. Сначала учащиеся осваивают табличное деление и деление 190 . ' -!•- -

чисел, оканчивающихся нулем, затем деление двузначного числа на Однозначное и двузначное (с опорой на правила деления суммы ка число и таблицу умножения), далее рассматривают деление с остатком и, наконец, переходят к делению многозначного'числа на ^однозначное, двузначное и трехзиачное.

Упражнения

1. На примере деления числа 867 на 3 покажите, какие теоре­тические факты лежат в основе алгоритма деления трехзначного числа на однозначное.

2. Не выполняя деления, определите число цифр частного чисел:

1) 368 и 7; 2) 4368 и 39; 3) 83 622 и 27 874; 4) 2184 и 318.

3. Обоснуйте процесс деления а на 6, если:

1) а=1899, 6 = 6; 2) а = 432, 6 = 4; 3)а=1242, 6 = 54;

4. а= 1254, 6 = 38.

4. Как, не вычисляя, можно установить, что деление в следую­щих примерах выполнено неправильно:

1) 51054:127 = 42; 2) 405 945:135 = 307?

5. Выполните деление уголком:

1) 11 455:145; 2) 261 960:740; 3) 105 754:253;

4. 213 664:352!

6. Заполните пропуски:

ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 4

Законы сложения и умножения 8

Правила вычитания и деления 12

основы 20

ПРЕДИСЛОВИЕ 3

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ 3

2. Объем и содержание понятия 6

3. Определение понятий 9

4. Требования к определению понятий 14

Упражнения 17

6. Высказывания. Смысл слов «и», «или», «не» 20

8. Смысл слов «все» и «некоторые» 24