§ 2. Математические предложения

5. Элементарные и составные предложения

Познавая окружающий мир, человек устанавливает различные взаимосвязи между объектами, между объектами и их свойствами и др. В языке эти связи выражаются с помощью предложений,

15

Которые образуются из понятий. Например: «В равностороннем Треугольнике все углы равны», «Число 28 делится на 7».

Каждое математическое предложение характеризуется содер­жанием и логической структурой. Наше внимание будет обращено в основном на структуру предложений.

В математике различают элементарные и составные предложе­ния. Предложение «Число 28 делится на 7» элементарное. Со­ставными предложениями являются, например, следующие:

1. число 28 четное и делится на 7;

2. число х меньше или равно 8;

3. если треугольник равнобедренный, то углы в нем при осно­вании равны;

4. число 14 не делится на 4.

Составные предложения образуются из элементарных с по­мощью слов «и», «или», частицы «не» н некоторых других. Эти слова в математике называют логическими связками.

Выявить логическую структуру составного предложения — значит установить:

1. из каких элементарных предложений образовано данное составное предложение;

2. с помощью каких логических связок оно образовано.

Раскроем, например, логическую структуру предложения

«Число 28 четное и делится на 7». Оно состоит из двух элемен­тарных предложений: предложения Л—«Число 28 четное» и предложения В — «Число 28 делится на 7». Соединены они в одно составное предложение с помощью логической связки «и». Исполь­зуя введенные обозначения элементарных предложений, можно сказать, что данное составное предложение имеет логическую структуру (форму) «Л и В».

Второе предложение устроено иначе. Если обозначить через А предложение «Число х меньше 8», а через В предложение «Число л: равно 8», то тогда о предложении «Число х меньше или равно 8» можно сказать, что оно имеет структуру «А или В».

Предложение «Если треугольник равнобедренный, то углы в нем при основании равны» имеет структуру «Если А, то В», где буквой А обозначено предложение «Треугольник равнобедрен­ный», а буквой В — предложение «Углы в треугольнике при основании равны».

Чтобы раскрыть структуру последнего предложения, обозна­чим через А предложение «Число 14 делится на 4». Тогда про предложение «Число 14 не делится на 4» можно сказать, что оно имеет форму «Не А» или «Неверно, что Л».

Упражнения

1. Какие из следующих предложений элементарные, а какие составные: 1) в равнобедренном треугольнике ЛВС (рис. 7) бис­сектриса ВО является медианой и высотой; 2) в прямоугольном

треугольнике АВй квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов; 3) площадь .треуголь­ника ЛВС равна половине произведения основа­ния АС на высоту ВО; 4) если треугольник АВС равнобедренный, то углы в нем при основа­нии равны; 5) в треугольнике АВй катет ВО длин­нее катета ЛО или равен ему?

2. 

   Раскройте логическую структуру каждо­го высказывания: 1) число 12 четное и делит­ся на 6; 2) если углы вертикальные, то они А равны; 3) число д/З является рациональным или иррациональным; 4) треугольник АВС не является равносторонним; 5) если число це­лое и положительное, то оно натуральное.

3. Завершите предложения и раскройте их логическую струк­туру: 1) средняя линия треугольника параллельна основанию и 2) если а-6 = 0, то а = 0 или ... .

4. Приведите примеры математических предложений, имею­щих структуру: 1) Л и В; 2) Л или В; 3) если Л, то В.