63. О возникновении и развитии способов записи целых неотрицательных чисел

Как давно люди пользуются десятичной системой записи чисел? Историки считают, что десятичная система сложилась в Индии при­мерно в VI веке н. э. У индийцев ее заимствовали арабы, а в Европе десятичная система получила распространение в X—XIII веках.

А как записывали люди числа до возникновения десятичной системы счисления?

Понятие числа возникло в глубокой древности. Тогда же воз­никла необходимость в записи чисел. Еще до появления письмен­ности люди умели называть числа, вести счет. В этом им помогали различные приспособления, и прежде всего пальцы рук и ног. Упот­реблялся и такой вид инструментального счета, как деревянные палочки с зарубками, шнуры и веревки с узлами. Конечно, способ «записи» чисел при помощи зарубок или узлов был не слишком удоб­ным, поскольку для записи больших чисел приходилось делать много зарубок или узлов, что затрудняло не только запись, но и сравнение чисел друг с другом, трудно было выполнять и действия над числами. Поэтому возникли иные, более экономные способы записи чисел: счет стали вести группами, состоящими из одинако­вого числа элементов. Этому способствовало развитие счета при помощи пальцев рук и ног. Переход человека к пальцевому счету привел к созданию различных систем счисления: пятеричной, деся­тичной, двадцатеричной и др.

Вообще самой старой системой счисления считается двоичная. Она возникла, когда человек вел счет не по пальцам, а при помощи рук, т. е. когда единицей низшего разряда являлась одна рука, а единицей высшего — две руки. Следы этой системы сохранились и сегодня — они выражаются в стремлении считать парами.

Постепенно под влиянием растущих экономических потребностей человечество создавало методы счета. Процесс этот был стихийным и долгим. Начинался он в далекие времена, когда люди вырабаты­вали первые математические понятия, и в частности понятия нату­рального числа и счета.

Их дальнейшее развитие происходило в эпоху формирования древнейших государств — Вавилона, Египта, Китая и др., т. е. около пяти тысяч лет тому назад. В этот период были созданы новые способы записи чисел.

В Древнем Вавилоне считали группами по шестьдесят, т. е. сис­тема счисления здесь была шестидесятеричная. Например, число 137 вавилонский математик представлял себе так: 137 = 2*60+17.

Конечно, записывалось это число другими знаками — треугольными клиньями. Дело в том, что записи древние вавилоняне производили на глиняных табличках путем выдавливания из них треугольных клиньев. Потом эти таблички сушили и обжигали.

Для записи чисел использовались положения клина: вертикаль­ное — острием вниз и горизонтальное — острием влево. При этом знак * означал единицу и шестьдесят, знак ч — десяток. Другие числа изображались при помощи этих знаков и действия сложения. Например, число 5 изображалось так: V/

а число 137 так: »»ч»|5 . Последняя запись есть запись числа

в шестидесятеричной системе: 60 + 60+10 + 7 = 2*60+17.

Однако изобретенная в Древнем Вавилоне запись чисел имела недостатки: в ней трудно было изображать большие числа, не было специального знака для основания системы счисления — числа 60, что приводило к разночтению отдельных записей.

Почему в основу своей системы счисления вавилоняне положили число 60? Однозначно ответить на этот вопрос трудно. Отметим только, что древние вавилоняне располагали достаточно большим запасом знаний в различных областях: математике, астрономии. Существует предположение, что основой для создания шестидесяте­ричной системы счисления послужило деление окружности на 360 170 + .

1-1 . 10-Л, 100 -С, 1000-1

Рис. 118

равных частей, которое, в свою очередь, было произведено ими в соответствии с разделением года на 360 дней.

Остатки этой системы счисления сохранились и по сей день: к делению окружности на 360° можно добавить еще измерение углов градусами, минутами и секундами.

Древние египтяне считали десятками. Но специальные знаки у них были только для разрядов: единиц, десятков, сотен, тысяч "и т. д. Числа от одного до девяти записывались с помощью палочек (рис. 118). '■

Например, число 122 египтяне записывали так: (°ПП|| . а число 1314 имело вид Ю^ЛНИ •

Записи производились преимущественно красками на папирусе. Иногда же материалом для записи служили камень, дерево, кожа, холст, черепки. Текст записывался строками справа налево или столбцами сверху вниз.

Некоторые из египетских папирусов сохранились до наших дней. Один из них, так называемый «Московский математический па­пирус», хранится в Государственном музее изобразительных ис­кусств им. А. С. Пушкина в Москве и датируется 2000—1800 годами до н. э.

Интересно заметить, что действие умножения выполнялось егип­тянами путем удвоения. Например, чтобы умножить 15 на 17, надо было произвести следующие действия:

15-(1+ 2*2-2-2)= 15* 1 + 15-2.2-2-2 = 15-1+30-2-2-2 =

= 15 + 60-2-2 = 15+ 120-2= 15 + 240 = 255.

Действие деления рассматривалось как действие, обратное ум­ножению, т. е. подбиралось такое число, которое при умножении на делитель давало бы делимое.

Вообще древние египтяне и вавилоняне владели достаточно большим объемом математических знаний, но все они были преиму­щественно опытного характера. По существу, отсутствовали обобще­ния и доказательства, т. е. математическая наука только склады­валась.

Большой вклад в ее дальнейшее развитие внесли ученые Древней Греции: Фалес (624—547 гг. до н. э.), Пифагор (ок. 580—500 гг. до н. э.), Демокрит (ок. 460—370 гг. до н. э.), Платон (427—347 гг. до н. э.), Евклид (ок. 300 г. до и. э.), Архимед (ок. 287—212 гг. до н. э.), Эратосфен (ок. 276—194 гг. до н. э.) и др. Это целая эпоха в истории и развитии учения о числе¹

Мы отметим только, что в Древней Греции родилась еще одна

система записи чисел — алфавитная. В ней числа изображались буквами греческого алфавита. Первые девять букв алфавита изо­бражали числа от 1 до 9, следующие девять — десятки (10, 20,

30, ..., 90) и последние девять— сотни (100, 200 900). Для

того, чтобы отличить числа от записи слов,Лад числами ставилась черта. Например, в этой системе число 543 записывалось так:

<рру (ф — 500, р — 40, у —3). Для изображения чисел, больших тысячи, употреблялись дополнительные символы.

Две с небольшим тысячи лет тому назад почти все страны Западной Европы и многие страны Азин были покорены древними римлянами. Ориентация на захватнические войны привела к тому, что в Римской империи математика не развивалась, она использо­валась только для практических целей. Из того немногого, что оста­вил Древний Рим, это еще один способ записи чисел. В римской системе счисления так же, как и в древнеегипетской, есть узловые числа:

единица — I пятьдесят — Ь

пять — V сто — С

десять — X пятьсот — О

тысяча — М

Все другие числа получаются из узловых при помощи двух арифметических действий: сложения и вычитания. Вычитание про­изводится тогда, когда знак, соответствующий меньшему узловому числу, стоит перед знаком большего узлового числа. Например, IV — четыре (5—1=4), ХС — девяносто (100—10 = 90), ХБ— сорок (50 — 10 = 40).

Запишем несколько чисел в римской нумерации.

165 — это сто (С) плюс шестьдесят, т. е. пятьдесят плюс десять (БХ), плюс пять (V), следовательно, число 165 записывается как СЦ^.

374 — это триста- (ССС) плюс семьдесят, т. е. пятьдесят плюс 2 раза по десять (БХХ), плюс четыре (IV), следовательно, 374 записывается так: СССБХХ1У.

Числа четырех-, пяти- и шестизначные записываются с помощью буквы т (от лат. слова шШе — тысяча), слева от которой записы­ваются тысячи; а справа—сотни, десятки, единицы. Так, запись XXIX_т^СXXXV есть запись числа 29 635, а запись СХХХУП_тОССХБУ является записью числа 137 745.

В V—XII веках значительное развитие математики происходило в странах Востока: в Индии и на Ближнем Востоке.

В Индии и Китае математика зародилась примерно пять тысяч лет назад, т. е. тогда же, когда и в Египте. Ученые-историки отме­чают также, что индийская наука и наука греческая были взаимо­связаны. Но если у греков преимущественное развитие получила геометрия, то в Индии более существенные результаты были полу­чены в области арифметики, алгебры и тригонометрии. Особенно ценен вклад индийских ученых в арифметику — они изобрели десятичную систему счисления, т. е. тот способ записи и чтения чйсел, которым теперь пользуется все человечество. Датируется это событие VI в. н. э. В чем состояла это открытие? Ведь люди с древних времен вели запись чисел.

Дело в том, что при таком способе записи чисел, который при думали индийские математики, значение каждой цифры в записи числа зависит от ее места, позиции. Например, одна и та же цифра ' 7 в числе 703 обозначает 7 сотен, в числе 72 — семь десятков, а в числе 7230 — семь *гысяч. Оказалось, что при помощи десяти цифр можно записать любое число. Поэтому десятичную систему счисления называют позиционной. Кроме того, в Индии "впервые стал употребляться нуль для обозначения отсутствующих разряд­ных единиц, что тоже сыграло большую роль в усовершенствовании записи числа и упрощении вычислений.

Конечно, привычная для нас запись нуля появилась не сразу. Сначала, если в числе не было какого-нибудь разряда, индийцы вместо названия цифры говорили слово «пусто», а при записи на мес­те «пустого» разряда ставили точку. Позднее вместо точки стали ри­совать кружок, который назывался «сунья», что на языке хинди значит «пусто».

При переводе на арабский язык слово «сунья» превратилось в слово «сифр», которое на русском языке звучит как «цифра».

Цифрами мы называем все десять знаков, используемых для записи чисел: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Но еще двести лет назад цифрой назывался только один знак — 0.

Цифры, с помощью которых записываются числа в десятичной системе счисления, тоже были придуманы математиками Древней Индии. Хотя, конечно, их первоначальное написание значительно отличается от современного. Нынешняя форма цифр установилась только после изобретения книгопечатания — в XV веке.

Почему же цифры, изобретенные в Индии, часто называют арабскими? Дело в том, что возникшее в VII веке на Аравийском ролуострове государство арабов за двести лет подчинило себе Значительное число государств, стоящих на более высокой ступени развития. В состав Арабского халифата входили, например, Север­ная Индия, Египет, Средняя Азия, Месопотамия, Персия, Закав­казье, Северная Африка и другие государства. Столицей этого огром­ного государства был город Багдад, который стал центром арабской культуры'. Арабы понимали значение науки и тщательно собирали, изучали и переводили на свой язык труды ученых завоеванных стран, в том числе Греции, Индии, Средней Азии.

Однако арабские математики не только сохранили труды вы­дающихся ученых древности, но и внесли большой вклад в развитие математики.

Выдающимся ученым IX века был узбекский (хорезмский) математик Мухаммед бен Муса аль-Хорезми. Его книга «Китаб аль-Джебр», где изложены правила решения арифметических задач и уравнений, дала имя науке алгебре.

В другой своей книге аль-Хорезми описал индийскую арифме­тику, т. е. десятичную систему счислений, изобретенную в Индии. Триста лет спустя, т. е. в XII веке, ее перевели на латинский язык и она стала первым учебником арифметики для всех европейских народов. -3

Вследствие того что десятичную систему счисления в странах Европы изучали по книге, написанной автором, жившим в Арабском государстве, индийские цифры десятичной системы стали непра­вильно называться арабскими цифрами.

Начиная с XII века в Западной Европе после долгого застоя зарождается интерес к математике, чему способствует расширение торговли, которое повлекло за собой значительное усложнение счета.

Распространению десятичной системы счисления в Европе способствовала «Книга абака» Леонардо Фибоначчи, изданная в 1202 году. С XIII века начинается внедрение десятичной системы, и к XVI веку она стала повсеместно использоваться в странах Западной Европы.

Упражнения

!. Запишите в десятичной системе счисления: XXVII, XXI, ХБ1У, БХИ, БXXVIII, ХСУ, СОХХИ1, МСОУН, МСЭХ1Х, МОСССБХХБ

2. Запишите в римской системе счисления: 24, 49, 117, 204, 468, 1243, 1905, 1941, 1986, 2000.

63. О записи чисел в Древней Руси

Предки русского народа — славяне. У славян, как и других на­родов, первые математические представления родились в практи­ческой деятельности. Без умения считать и измерять нельзя было

вести торговлю, а славяне торговали и с греками, и с арабами, и с другими народами. В X веке — веке наибольшего расцвета и могущества древнерусского государства у славян появилась письменность.

Основа славянского алфавита была позаимствована у средне­вековых греков — византийцев. Поэтому и славянская нумерация по своей идее совпадает с греческой, т. е. числа в ней изобража­лись буквами алфавита, над которыми ставили особый знак — титло (рис. 119).

Числа' одиннадцать, двенадцать и т. д. до девятнадцати запи­сывались соответственно так: д I. В1....&1; числа

двадцать один, двадцать два и т. д. до двадцати девяти — к А. ,

«В КЛ- и т. д. Титло ставилось только над одной из цифр.

Порядок цифр при записи числа был такой же, как в его устном названии. Мы говорим, например, «двенадцать», называя сначала цифру единиц, потом десяток. Славяне так и писали: в| ,

Л аз	ы Б веди	К| г глаголь	Г-» А. добро	к» е есть	М д зело'	»-» 3. земля	И иже	гм А. фита
1	2	3	4	5	в	7	8	9
м 1	м К	►м А	* м	н	*—■ а	0	■м п	Ч
И	ка ко	ЛЮДИ	мыслете	наш	кси	ОН	покой	червь
10	20	30	40	50	60	70	80	90
р	С	т	ы У	ф	гм X	«м ♦	гм Ч)	»—■ Ц
рцы	СЛОВО	твердо ук		ферт	хер	пси	0	цы
100	200	300	. 400	500	600	700	800	900

Рис. 119

т. е. впереди писали цифру «два», а за нею цифру, обозначавшую десяток. Наоборот, в числе двадцать четыре мы справа называем десятки, потом единицы; у славян это отражалось в записи числа: они писали кд •

Славянская нумерация непозиционная, поскольку значение бук­вы в записи числа не менялось в зависимости от позиции, которую она занимала. Пользуясь этой нумерацией, можно было записы­вать большие числа.

Кроме того, эта система записи чисел позволяла выполнять арифметические действия «столбиком», т. е. почти так, как это про­исходит сейчас.

Названия чисел до тысячи в Древней Руси были почти такими же, как и сейчас, хотя имеются небольшие отличия в произно­шении: например, один назывался «един», двадцать — «двадесять».

О том, что математические знания наших предков-славян былц достаточно обширными, говорит факт использования букв алфавита для записи больших чисел без введения новых знаков. Так, знак >Г

обозначал тысячу, @ — число которое называли тьмой (сна­

чала это было 10\ потом 10⁶), знак А обозначал легеон, т. е. 10'², знак /л; —леодр, т. е. 10²⁴, :а: —ворон, т. е. 10⁴⁸,

2 — колода, т. е. 10⁴⁹. Про число «ворон» говорили, что «более

сего несть разумевати», а о колоде — «сего числа несть больше».

Страшный удар русской культуре и науке был нанесен в период трехсотлегнего монгольского ига. За это время наука Западной Европы сделала большой шаг вперед, овладев десятичной системой счисления и другими достижениями математики арабов и индийцев. Понадобилось несколько столетий, чтобы русская наука снова за­няла достойное место в мире.

В конце XVI века, при Иване Грозном, на Руси появляются первые печатные математические книги, цель которых — облегчить счет при решении различных практических задач. Запись чисел в них выполнялась в славянской системе счисления.

Важную роль в развитии русской науки сыграла книга «Ариф­метика, сиреч наука числительная», написанная Леонтием Филиппо­вичем Магницким. Она была издана при Петре I, в 1703 году, на славянском языке, но все вычисления в ней выполнялись в деся­тичной системе счисления. Долгое время эта книга была настольной для всех образованных людей, так как содержала не только мате­матический материал, но и сведения из астрономии, навигации и некоторых разделов других наук.

Леонтин Филиппович Магницкий (1669—1739) был первым рус­ским выдающимся педагогом-математиком. Родом он из Осташков­ской патриаршей слободы бывшей Тверской губернии. Историки считают, что происходил он из крестьян и что фамилия его отца была Телятин. Фамилия Магницкий была ему присвоена по указу Петра I, который высоко ценил огромные знания Магницкого и говорил, что он притягивает к себе знания, как магнит.

Книга Л. Ф. Магницкого способствовала распространению деся­тичной системы счисления в России, она оказала заметное влияние на развитие ее научной мысли.

63. Сложение многозначных чисел

в десятичной системе счисления

Выясним, как на практике выполняется сложение натуральных чисел.

Если числа а и Ь однозначные, то, чтобы найти сумму, достаточ­но сосчитать число элементов в объединении таких множеств А й В, что п (А) = а, п (В)=Ь н А (]В = 0. Но чтобы всякий раз, выполняя сложение таких чисел, не обращаться к множествам и счету, все суммы, которые получаются при сложении двух однозначных чи­сел, запоминают.

Все такие суммы записывают в особую таблицу, которая назы­вается таблицей сложения однозначных чисел.

Если числа а и Ь многозначные, то смысл действия сложе­ния сохраняется и здесь, но технически найти сумму путем пере­счета элементов в объединении непересекающихся множеств А и В, таких, что п(А) = а, п(В) = Ь, чаще всего не представляется воз­можным.

Как известно, многозначные числа складывают «столбиком». Но каковы теоретические положения, которые лежат в основе этого Правила?

Рассмотрим сумму 273 + 3526. Представим слагаемые в виде сумм степеней десяти с коэффициентами: 273+3526 = (2-10² + 7-10 + 3) + + (3 • 10³ + 5 - 10² + 2 • 10 + 6). Раскроем скобки в полученном выра­жении, поменяем местами слагаемые так, чтобы единицы оказались ;рядом с единицами, десятки — с десятками и т. д., и заключим их в скобки. Все это можно сделать на основании соответствующих законов сложения. Действительно, сочетательный закон разрешает записать выражение без скобок: 2-Ю² + 7-10 + 3 + 3-10³ + 5-10² + + 2-10 + 6. На основании переместительного закона поменяем ме- стами слагаемые: 3-10³ + 2-10² + 5-10²+7-10 + 2-10 + 3 + 6. Соглас­но сочетательному закону произведем группировку: 3-10³+(2- Ю² + + 5-10^ + (7-10 + 2-10) + (3 + 6). Вынесем за скобки в первой вы­деленной группе число 10 , а во второй — 10. Это можно сделать в соответствии с распределительным законом умножения относи­тельно сложения: 3- 10³ + (2 + 5)- 10² + (7 + 2)-10+(3 + 6). Видим, что сложение данных чисел 273 и 3526 свелось к сложению однознач­ных чисел, изображенных цнфрамд соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения: 3-10³ + 7• 10² + 9-10 + 9.

Полученное выражение есть десятичная запись числа 3799.

Вообще, известное правило сложения чисел «столбиком» основы­вается на:

способе записи чисел в десятичной системе счисления;

переместительном и сочетательном законах сложения;

распределительном законе умножения относительно сложения;

таблице сложения однозначных чисел.

Покажем, что и в том случае, когда сумма однозначных чисел становится равной или больше 10, в основе правила сложения ле­жат те же теоретические факты. Рассмотрим, например, сумму 248 + 936.

Представим слагаемые в виде сумм степеней десяти с коэффици­ентами:

(2 -10² + 4 -10 + 8) + (9 -10² + 3 -10 + 6). ;

Воспользуемся законами сложения, распределительным законом умножения относительно сложения и преобразуем данное выражение к такому виду: (2 + 9)-10² + (4 + 3)- 10 + (8 + 6).

Видим, что и в этом случае сложение данных чисел свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 2 + 9,' 8 + 6 превышают число 10, и поэтому полученное выражение не является десятичной записью какого-то числа. Необходимо сделать так, чтобы коэф­фициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8 + 6 представим в виде 10 + 4:

(2 + 9)-10² + (4 + 3)- 10 + П0 + 4).

Теперь, воспользовавшись законами сложения и умножения, при­ведем полученное выражение к виду

(2 + 9)-10² + (4 + 3 + 1). Ю + 4.

Суть последнего преобразования ясна: десяток, который получил­ся при сложении единиц, мы прибавили к десяткам данных чисел.

И наконец, представив сумму 2 + 9 в виде 1-10+1, получаем:

(1 • 10+ I)- Ю² + 8-10 + 4, откуда 1 • 10³ + 1 -10² + 8 -10 + 4.

Полученное выражение есть десятичная запись числа 1184. Сле­довательно, 248 + 936=1184.

В общем виде алгоритм сложения многозначных чисел, запи­санных в десятичной системе счисления, формулируется так:

1. Записываем второе слагаемое под первым так, чтобы соответ­ствующие разряды находились друг под другом.

2. Складываем цифры разряда единиц. Если сумма меньше десяти, ее записываем в разряд единиц ответа и переходим к следую­щему разряду (десятков).

3. Если сумма цифр единиц больше или равна-10, то представ­ляем ее в виде 10 + Со, где со — однозначное число; записываем Со в разряд единиц ответа и прибавляем 1 к цифре десятков первого слагаемого, после чего переходим к разряду десятков.

4. Повторяем те же действия с десятками, потом с сотнями и т. д. Процесс заканчиваем, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов.

В начальном курсе математики правило сложения многознач­ных чисел, по существу, формулируется при изучении письменного сложения трехзначных чисел. Этому правилу и записи сложения «столбиком» предшествует объяснение конкретного случая:

246 + 123 = (200 + 40 + 6) + (100 + 20 + 3)=(200 + 100)+(40 + 20)+

+ (6 + 3) = 300 + 60 + 9 = 369.

Обоснуем каждый шаг выполняемых преобразований.

Сначала числа 246 и 123 представляются в виде суммы разряд­ных слагаемых (т. е. используется, по существу, способ записи чисел в десятичной системе счисления). Следующий этап — к сотням при­бавляются сотни, к десяткам — десятки, к единицам — единицы, что возможно, если говорить школьным языком, на основании правила прибавления суммы к сумме, которое является следствием пере­местительного и сочетательного законов сложения. Затем находятся суммы в скобках. Поскольку слагаемые являются так называемыми круглыми числами, т. е. оканчиваются нулем, или однозначными числами, как в последней скобке, то их сложение происходит с опо­рой на таблицу сложения однозначных чисел. Выражение 300 + 60 + +9 есть сумма разрядных слагаемых (т. е. является десятичной записью числа), поэтому его можно записать в виде 369.

Таким образом, сложение данных чисел 246 и 123 свелось к по­разрядному сложению единиц, десятков и сотен, что удобно делать «столбиком»:

, 246 ⁺ 123 369

Упражнения

1. На примере сложения чисел 237 и 526 покажите, какие тео­ретические факты лежат в основе алгоритма сложения много­значных чисел. - ■

2. При изучении алгоритма сложения трехзначных чисел в на­чальной школе последовательно рассматриваются случаи сложения 231 +342, 425+135, 237 + 526, 529 + 299. Каковы особенности сло­жения в каждом из них?

3. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются сложе­нием, и решите их:

1. В колхозе 115 лошадей, 327 свиней и 276 коров. Сколько всего голов скота в колхозе?

2. Из двух городов вышли навстречу друг другу два поезда. Один из них прошел до встречи 266 км, другой 187 км. Найти расстояние между городами.

3. Магазин продал 308 тетрадей в клетку, что на 153 тетради меньше, чем в линейку. Сколько тетрадей в линейку продал магазин?

4. Вычислите устно значение выражения. Использованный прием обоснуйте:

1. 2746 + 7254 + 9876;

2. 7238 + 8978 + 2762;

3. (4729+ 8473)+ 5271;

4. 4232 + 7419 + 5768 + 2591;

5. (357 + 768 + 589) + (332 + 211+ 643).

б. Какая сумма больше: 4096 + 5267 + 2307 + 625 или 3805 + + 6341 + 1911+216?

6. Решение задачи запишите в виде числового выражения, а затем найдите его значение:

1. В одну школу привезли 298 парт, а в другую — на 123 парты больше. Сколько парт привезли в обе школы?

2. В июне в санатории было 158 рыбаков с Дальнего Востока, в июле — на 36 человек больше, а в августе — на 217 человек больше, чем в июле. Сколько всего рыбаков отдохнуло за эти три месяца?

3. Из двух городов вышли навстречу друг другу два поезда. Один из них прошел до встречи 227 км, это на 64 км меньше, чем прошел другой. Найти расстояние между городами.