§ 4. Текстовые задачи и их решение 51

17. Понятие текстовой задачи 51

18. Способы решения текстовых задач 53

111111111111111111111III1111 ^>мъ° 56

(л п пс=л п(в п с). (Л1)В)ис=Л11(вис). 79

2) С=((а, (Ь, <Г), (а, с)); 96

□ □ □ о о о о 137

"^{еотрииатель}' ОООООКН8В2 145

«О О О О 141

^□□□□□□000 «О О О О О О 139

□ □□□□□□□□□□□ 158

& . 226

I „ 295

а и Ь (рис. 109).

Очевидно, для того чтобы существовала разность отрезков'а и Ь, необходимо и достаточно, чтобы отрезок Ь был меньше отрезка а.

Действия над отрезками обладают рядом свойств. Назовем не­которые из них, не приводя доказательств.

1. Для любых отрезков а и Ь справедливо равенство а 4- Ь = Ь + а, т. е. сложение отрезков подчиняется переместительному закону.

2. Для любых отрезков а, Ь, с справедливо равенство (а + &)+с = = а+(6-(-с), т. е. сложение отрезков подчиняется сочетательному закону.

3. Для любых отрезков а и 6 имеем, что а-\-Ьфа.

4. Для-любых отрезков а, Ь и с: если а<Ь, то а + с<6 + с.

Упражнения

1. Начертите прямоугольник и проведите в нем диагональ. Требуется сравнить в нем стороны и диагональ. Как вы это сдел аете?

2. Начертите четырехугольник. Требуется указать его стороны в порядке возрастания. Как вы это сделаете?

3. Начертите такие отрезки а и Ь, что а<Ь. Постройте их сумму и разность.

4. Начертите разносторонний треугольник. Установите, какая сторона в нем самая большая. Отложите на ней последователь­но, начиная от вершины, две другие его стороны. Сделайте вы­воды.

• 5. Точки А, В и С лежат на одной прямой, и АВ>ВС. Можно ли утверждать, что АС>ВС?

\' 6, Докажите, что отношение «меньше» на множестве отрезков

транзитивно.

7. Докажите, что сложение отрезков подчиняется перемести­тельному закону.

59. Натуральное число как значение длины отрезка

Вспомним, как происходит измерение длин отрезков. Прежде всего из множества отрезков выбирают некоторый отрезок е и на­зывают его единичным отрезком или единицей длины. Затем сравни­вают данный отрезок а с единичным отрезком е. Если отрезок а слагается из п отрезков, равных единичному отрезку е, то пишут:

• ' 159

а = е+е + ... + е=пе — и натуральное число п на- ч ;

у

л слагаемых

_м «-ест зывают численным значением длины отрезка а е, при единице длины е. ^л

' I о - е, Например, численным значением длины от­

резка а, изображенного на рисунке 110, при единице длины е является число 8. Можно за- Рнс. по писать: а = 8е.

Если в качестве единицы длины выбрать другой отрезок, то числовое значение длины отрезка а изменится. Так, если в качестве единицы длины выбрать отрезок (рис. 110), то численное значение длины отрезка а будет равно 4:а = 4е|.

Важно заметить, что для каждого натурального числа п су­ществует отрезок, длина которого выражается этим числом. Чтобы построить такой отрезок, достаточно единицу длины е отложить одну за другой п раз.

Таким образом, натуральное число как численное значение длины отрезка а показывает, из скольких выбранных единичных от­резков е слагается отрезок а. При выбранной единице длины е это число единственное.

Выясним теперь, какой смысл имеют для таких чисел отношения «равно» и «меньше».

Пусть натуральное число п — численное значение длины отрезка а, натуральное число т — численное значение длины отрезка Ь и по­лучены эти числа при одной и той же единице длины е. Тогда:

если отрезки а и Ь равны, то равны и численные значения их длин, т. е. п—т; справедливо и обратное утверждение;

если отрезок а меньше отрезка Ь, то численное значение длины отрезка а меньше численного значения длины отрезка Ь, т. е. п<т\ справедливо и обратное утверждение.

Установленная взаимосвязь между отрезками и численными значениями их длин позволяет сравнение длин отрезков сводить к сравнению их соответствующих численных значений и наоборот.

Например, 5 см > 3 см, так как 5>3.

Мы установили, что представляет собой натуральное число как результат измерения длины отрезка. Аналогично можно истолковать смысл натурального числа и отношений между числами и в связи с измерением других величин, таких, как площадь, масса, стоимость, время.

Упражнения

1. Постройте на одной прямой три равных отрезка МР, Р1, 2С?. Пусть единицей длины является отрезок МР. Чему тогда равны длины отрезков, получившихся на этой прямой? Чему равны их же длины, если за единицу длины будет принят отрезок М2? МС3?

2. Измерив два отрезка некоторой единицей длины, получили, что один из них длиннее;,другого в 2 раза. После этого единицу

.160 ' * • ...

* ‘ ' .. ^%Г - . . • •-

ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 4

Законы сложения и умножения 8

Правила вычитания и деления 12

основы 20

ПРЕДИСЛОВИЕ 3

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ 3

2. Объем и содержание понятия 6

3. Определение понятий 9

4. Требования к определению понятий 14

Упражнения 17

6. Высказывания. Смысл слов «и», «или», «не» 20

8. Смысл слов «все» и «некоторые» 24