§ 8. Понятие действий над целыми

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ

39. Сложение

Рассмотрим задачу, которую решают первоклассники: «Петя нашел 4 гриба, а Нина — 3. Сколько всего грибов нашли ребята?» Задача решается при помощи действия сложения: 4 + 3 = 7. Но как объяснить, почему использовано сложение, а не другое действие?

Представим условие задачи наглядно, изобразив каждый гриб, который нашел Петя, кружком, а каждый гриб, найденный Ниной, квадратом (рис. 89). Чтобы ответить на вопрос задачи, надо к грибам Пети добавить (присоединить) грибы Нины, т. е. объединить два множества грибов (рис. 90), и сосчитать, сколько в этом объединении оказалось элементов. Видим, что сложение целых неотрицательных чисел оказывается тесно связанным с операцией объединения множеств.

Рассмотрим еще одну задачу. Найдем число элементов в объ­единении множеств А = (а, Ь, с, й) и В —[с, х, у}. Нетрудно установить, что п(А)=4, п{В) — 3, А[]В = {а, Ь, с, к, х, у], но п (Л Ч В)+=4 + 3. Почему так?

Дело в том, что множества А и В в этой задаче пересекаются, и, значит, число элементов в их объединении не совпадает с суммой п(Л) + я(В).

Поэтому сумму целых неотрицательных чисел определяют че­рез объединение непересекающихся множеств.

Определение. Суммой целых неотрицательных чисел а и 6 называют число элементов в объединении непересекающихся мно­жеств А и В, таких, что п (А)=^а, п (В) = Ь:

а + Ь — п (А Л В), где п(А) = а, п(В) = Ь и Л Л В = 0

□ □□

Пример. Объясним, пользуясь данным определением, что 5 + 2 = 7. 5 — это число элементов некоторого множества А, 2 — число элементов некоторого множества В, причем их пересече-

О О О О

□ □ □ о о о о

тние должно быть пусто. Возьмем, например, множества А=\х, у, г, I, р), б = {а, Ь]. Объединим их: А{]В*={х, у, г, I, р, а, 6(. Путем пересчета устанавливаем, что п(А[]В) = 7. Следовательно, 5 + 2 = 7.

*, В связи с рассмотренным примером может возникнуть вопрос: а не зависит ли сумма чисел 5 и 2 от выбора непересекающихся множеств Л и В, таких, что л(А) = 5, п(В) = 2? Иными словами, если взять другие непересекающиеся множества А\ и В\, но удовлетворяющие условию л(Л|) = 5 и п(В\) = 2, то не изменится ли сумма 5 + 2? По всей видимости, нет.

Вообще сумма а + 6 не зависит от выбора непересек&ющихся множеств Л и В, таких, что п (А) = а, п (В) = Ь. Это общее утвержде­ние мы примем без доказательства.

Кроме того, сумма целых неотрицательных чисел всегда суще­ствует и единственна. Другими словами, какие бы два целых неотри­цательных числа а и Ь мы ни взяли, всегда можно найти их сум­му — целое неотрицательное число с, оно будет единственным для • данных чисел а и Ь. Существование и единственность суммы выте­кают из существования и единственности объединения двух мно­жеств.

Действие, при помощи которого находят сумму, называют сло­жением, а числа, которые складывают, называют слагаемыми.

Выше нами было дано определение суммы двух слагаемых. А как определн+ь сумму нескольких слагаемых?

Пусть сумма двух слагаемых определена и определена сумма п слагаемых. Тогда сумма, состоящая из /г+1 слагаемого, т. е. сумма а! + а₂+ ...+ а_п + а„+!. равна (а|+а₂+ ... +а_п>+а_{л + 1}.

Например, чтобы найти сумму 2 + 7+15+19 согласно этому определению, надо выполнить следующие преобразования:

2 + 7+15+19 = (2+ 7+ 15)+19 = ((2 +7)+15)+19 =

=(9+ 15)+ 19 = 24+ 19=43.

В начальном курсе математики сложение целых неотрицатель­ных чисел вводится на основе практических упражнений, связанных с объединением двух множеств предметов (теоретико-множественная терминология и символика при этом не используются). Главным средством раскрытия теоретико-множественного смысла сложения является решение простых¹ арифметических задач. Суть решения одной такой задачи проанализирована в начале пункта.

Упражнения

1. Объясните, используя определение суммы целых неотрицатель­ных чисел, что:

1. 4+1=5; 2) 2 + 7 = 9; 3) 1+5 = 6; 4) 3 + 0 = 3.

2. Как вы понимаете утверждение: «Сумма целых неотрицатель­ных чисел существует и единственна»?

3. Учащимся дается задание: «Составьте две задачи, которые ре­шаются так: 16 + 4 = 20». Можно ли составить три задачи по этому условию? пять задач? На основании какого теоретического положе­ния это возможно? _л

4. Запишите число 1 в виде суммы двух целых неотрицатель­ных чисел двумя способами.'

5. Сколькими способами можно записать число 2 в виде суммы двух целых неотрицательных чисел?

6. Какие два числа можно сложить, чтобы получить в сумме число 3? Запишите все возможные случаи.

7. Как можно распределить 6 тетрадей между двумя учени­ками?

8. Как можно распределить 6 тетрадей между двумя учениками, если каждый из них должен получить хотя бы одну тетрадь? Чем отличается эта задача от задачи 7?

9. Используя определение суммы нескольких слагаемых, найдите значение выражения: 1) 13+6+18 + 34 + 29; 2) 15 + 28 + 4 + 17 + + 36 + 1.

10. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются сложе­нием:

1. По тропинке идут 4 утки и 6 гусей. Сколько всех птиц идет по тропинке?

2. В пакет положили 3 груши и 8 яблок. Сколько фруктов поло­жили в пакет?

39. Законы сложения

Изложенный в предыдущем пункте подход к сложению целых неотрицательных чисел позволяет обосновать известные законы сложения: переместительный и сочетательный.

Докажем сначала переместительный закон, т. е. докажем, что для любых целых неотрицательных чисел а и Ь выполняется равен­ство а + 6 = 6 + а.

Пусть а — число элементов в множестве А, Ь — число элементов в множестве В и А(]В=0. Тогда по определению суммы целых неотрицательных чисел а + 6 есть число элементов объединения множеств А и В: а+6 = л (ЛуВ). Но множество А[]В равно множе­ству В[]А согласно переместительному свойству объединения мно­жеств, и, значит, л(ЛиВ)=л(В1|Л). По определению суммы п(В[)А) = ЬА-а> поэтому а + 6 = 6 + а для любых целых неотри­цательных чисел а и Ь.

Докажем теперь сочетательный закон, т. е. докажем, что для любых целых неотрицательных чисел а, Ь, с выполняется равенство (а + б)+с = а + (6 + с).

Пусть а = п (А), Ь — п (В), с = п (С), причем А^\В— 0, В П С = 0. Тогда по определению суммы двух чисел можно записать (а + 6) +

+с=л(лив)+«(С)=п((лив)ис).

Так как объединение множеств подчиняется сочетательному

закону, то п ((Л ив)1_|С) = п (/^(ВиС)). Откуда по определению суммы двух чисел имеем п (Л ()(ВиС)) = п (Л) + я (ВиС) = а + (6 + с). Следовательно, (а + 6) + с = а + (Л + с) для любых целых неотри­цательных чисел а, б и с.

Каково назначение сочетательного закона сложения? Он объ­ясняет, как можно находить сумму трех слагаемых: для этого доста­точно сложить первое слагаемое со вторым и к полученному числу прибавить третье слагаемое или прибавить первое слагаемое к сумме второго и третьего. Заметим, что сочетательный закон не предполагает перестановки слагаемых. ?•

И переместительный и сочетательный законы сложения могут быть обобщены на любое число слагаемых. При этом переместитель­ный закон будет означать, что сумма не изменяется при любой перестановке слагаемых, а сочетательный — что сумма не изменяется при любой группировке слагаемых (без изменения их порядка).

Из переместительного и сочетательного законов сложения выте­кает, что сумма нескольких слагаемых не изменится, если их переставить любым способом и если любую их группу заключить в скобки.

Вычислим, используя законы сложения, значение выражения 109 + 36+191 +64 + 27.

На основании переместительного закона переставим слагаемые 36 и 191. Тогда 109 + 36+ 191 +64 + 27 = 109+ 191 +36 + 64 + 27.

Воспользуемся сочетательным законом, сгруппировав слагаемые, а затем найдем суммы в скобках: 109 + 191 + 36 + 64 + 27 = (109 + + 191) + (36 + 64)+27 = 300+ 100 + 27.

Применим еще раз сочетательный закон, заключив в скобки сумму чисел 300 и 100: 300+100+ 27 = (300+100)+ 27.

Произведем вычисления: (300+ 100) + 27 = 400 + 27 = 427.

С переместительным свойством сложения учащиеся начальных классов знакомятся при изучении чисел первого десятка. Сначала оно используется при составлении таблицы сложения однозначных чисел, а затем для рационализации различных вычислений.

Сочетательный закон сложения в начальном курсе математики в явном виде не изучается, но постоянно используется. Так, он является основой приема прибавления числа по частям: 3 + 2 = 3 + +(1 + 1)=(3+ 1)+ 1 =4+ 1 =5. Кроме того, в тех случаях, когда на­до прибавить число к сумме, сумму к числу, сумму к сумме, сочета­тельный закон используется в сочетании с переместительным. Напри­мер, прибавлять сумму 2+1 к числу 4 предлагается следующими способами:

1. 4 + (2 + I)=4 + 3 = 7;

2. 4 + Г2+ 1) = 6+ 1 = 7;

3. 4 + (2 + 1) == 5 + 2 = 7.

Проанализируем эти способы. В случае 1 вычисления выпол­нены в соответствии с указанным порядком действий. В случае 2 применено сочетательное свойство сложения. Вычисления же в по­следнем случае опираются на переместительный и сочетательный законы сложения, причем промежуточные преобразования опущены. Они таковы. Сначала на основании переместительного закона пере­ставили местами слагаемые 1 и 2: 4 + (2+1) = 4 + (1 +2). Затем вос­пользовались сочетательным законом: 4+(1 + 2) = (4 + 1) + 2.И,на­конец, произвели вычисления согласно порядку действий (4 + 1)+ + 2 = 5 + 2 = 7.

Упражнения

1. Выражение (4+ 5)+ 6 преобразуйте к виду 5+ (4+ 6), используя законы сложения. Каждый шаг в преобразованиях обоснуйте.

2. Выражение (7+ 2)+ (3 + 8) преобразуйте к виду (7 + 3) + (2 + 8), используя законы сложения.

3. Вычислите рациональным способом значение выражения и объясните, какие законы сложения были при этом использованы:

1. (30 + 7) + (10 + 4);

2. (16 + 9) + 21 + 14;

3. 1809 + 393 + 678+191 + 1607.

4. Найдите значение суммы двумя способами: сначала используя определение суммы нескольких слагаемых, а затем законы сложе­ния:

1. 273+1227+154 + 446;

2. 372 + 4356 + 22 + 544;

3. 871+2475 + 89 + 325.

5. Проанализируйте содержание темы «Перестановка слагаемых» в учебнике по математике в начальных классах. На какой теоре­тической основе рассматривается здесь переместительное свойство сложения?

6. Является ли доказательством переместительного закона сложе­ния такое рассуждение:

«2 +1 = 1+ 2, 3 + 7 = 7 + 3, 15 + 2 = 2+15, следовательно, от пе­ремены мест слагаемых сумма не изменяется»?

7. Решите задачу различными способами:

1. В колхозе было 8 грузовых машин и 2 легковые. Колхоз ку­пил еще 2 машины. Сколько всего машин стало в колхозе?

2. У малышей детского сада было 20 красных мячей и 10 зеле­ных. Им подарили еще 8 мячей. Сколько мячей стало у малышей?

39. Отношения «равно» и «меньше»

Выясним, на какой теоретической основе происходит сравнение чисел.

Пусть даны два целых неотрицательных числа а и Ь. С теорети­ко-множественной точки зрения они представляют собой число элементов конечных множеств А и В: а = п(А), Ь = п(В). Если эти множества равномощны, то им соответствует одно и то же число, т. е. а = Ь. Приходим к определению:

Числа а и Ь равны, если они определяются равномощными множествами:

а = ЬоА ~ В, где п(А) = а, п(В) = Ь

Если множества А и В неравномощны, то числа, определяе­мые ими, различны.

В том случае, если множество А равномощно собственному подмножеству множества В и п (А) = а, п (В)=Ь, говорят; что чис­ло а меньше числа б, и пишут: а<Ь. В этой же ситуации говорят, что Ь больше а, и пишут: Ь>а,

а<ЬоА~ В\, где В)С:В и В\ФВ, В\Ф0

Из приведенных определений отношений «равно» и «меньше» исходят в начальной школе когда объясняют, что 2 = 2, 3 = 3, 2<3, 3<4 и т. д. Например, при введении записи 3 = 3 рассматривают два равномощных множества квадратов и кругов (рис. 91). При изучении отношения 3<4 проводятся'рассуждения: возьмем три розовых кружка и 4 синих и каждый розовый наложим на си­ний, видим, что синий кружок остался незакрытым, значит, ро­зовых кружков меньше, чем синих, поэтому можно записать: 3<4.

Отметим еще, что если числа а и Ь определяются соответственно множествами Л и В (кружков, квадратов, палочек и т. д.) и а<Ь, то выделение в множестве В собственного подмножества, равно- мощного множеству А, на практике происходит самыми различ­ными способами: наложением, приложением, путем образования пар и т. д. Это возможно, так как отношение а<Ь (так же как и отно­шение а = Ь) не зависит от выбора множеств Л и В, таких, что л(Л)=а, п (В) = Ь, .важно только, чтобы Л было равномощно соб­ственному Подмножеству множества В (а в случае равенства чисел Л равномощно В).

Изложенный подход к определению отношения «меньше» имеет ограниченное применение, он может быть использован для сравне­ния чисел в пределах 20, поскольку связан с непосредственным сравнением двух групп предметов.

Как же можно еще сравнивать целые неотрицательные числа? Пусть а<.Ь в смысле данного выше определения.

ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 4

Законы сложения и умножения 8

Правила вычитания и деления 12

основы 20

ПРЕДИСЛОВИЕ 3

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ 3

2. Объем и содержание понятия 6

3. Определение понятий 9

4. Требования к определению понятий 14

Упражнения 17

6. Высказывания. Смысл слов «и», «или», «не» 20

8. Смысл слов «все» и «некоторые» 24