39. Равномощные множества

Два множества могут находиться в различных отношениях: они могут пересекаться, могут не пересекаться, могут быть равными, одно может быть подмножеством другого.

Понятие взаимно однозначного соответствия между множест­вами позволяет ввести еще одно отношение между множествами — отношение равномощности.

Множества X и V считают равномощными, если между ними существует взаимно однозначное соответствие.

Предложение «Множество X равномощно множеству У» запи­сывают кратко: Х~У.

Например, если Х = [а, Ь, с, й, е}, а У = {х, у, г, /, р}, то У, так как между множествами X и У можно установить взаимно однозначное соответствие.

Отношение равномощности множеств обладает рядом свойств.

1. Оно рефлексивно, т. е. каждое множество равномощно са­мому себе: Х~Х.

2. Оно симметрично, т. е. Х~У=$-У~Х.

3. Оно транзитивно, т. е. Х~У и У'~2=>2~2.

Так как отношение равномощности множеств рефлексивно, сим­метрично и транзитивно, то оно является отношением эквива­лентности.

Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные множества.

Если множества X и У конечны и между ними установлено взаимно однозначное соответствие, то говорят, что данные множест­ва содержат поровну элементов, или что они равночисленны, или что в множестве X столько же элементов, сколько их в множестве У.

Рассмотрим два бесконечных множества: множество /V натураль­ных чисел и множество У четных натуральных чисел. Поставим в соответствие натуральному числу п четное число 2п (рис. 87). Это соответствие взаимно однознач­ное: каждому натуральному числу соответствует единственное четное

ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 4

Законы сложения и умножения 8

Правила вычитания и деления 12

основы 20

ПРЕДИСЛОВИЕ 3

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ 3

2. Объем и содержание понятия 6

3. Определение понятий 9

4. Требования к определению понятий 14

Упражнения 17

6. Высказывания. Смысл слов «и», «или», «не» 20

8. Смысл слов «все» и «некоторые» 24

§ 3. Математические доказательства 35

13. Дедуктивные рассуждения 35

14. Простейшие схемы дедуктивных рассуждений 41

15. Неполная индукция ’³ 44

16. Способы доказательства истинности высказываний 47

§ 4. Текстовые задачи и их решение 51

17. Понятие текстовой задачи 51

18. Способы решения текстовых задач 53

111111111111111111111III1111 ^>мъ° 56

(л п пс=л п(в п с). (Л1)В)ис=Л11(вис). 79

2) С=((а, (Ь, <Г), (а, с)); 96

□ □ □ о о о о 137

"^{еотрииатель}' ОООООКН8В2 145

«О О О О 141

^□□□□□□000 «О О О О О О 139

□ □□□□□□□□□□□ 158

& . 226

I „ 295

Полученные факты отражают особые свойства бесконечных множеств. В мире бесконечного изменяются привычные отно­шения целого и часФи. Здесь, оказывается, часть множества может быть рав.чомощна всему множеству.

Чтобы еще раз в этом убедиться, до- кажем, что множество точек отрезка АВ

равномощно множеству точек отрезка СО

(рис. 88). Отрезки АВ и СО имеют раз­

личную длину.

Через точки Л и С, В и О проведем прямые до пересечения их в точке 5. Соответствие между множест­вами точек отрезков АВ и СО установим следующим образом: точке М отрезка АВ поставим в соответствие такую точку М\ отрезка СО, которая лежит с точкой М на прямой 5М. Нетрудно убедиться в том, что установленное соответствие взаимно одно­значное. Значит, множество точек отрезка СО равномощно множест­ву точек отрезка А В.

Не надо думать, что все бесконечные множества равномощны

между собой. Например, не равномощны множество натуральных

чисел и множество точек на прямой¹.

Упражнения

1. Приведите примеры трех множеств, равномощных множеству АГ = {а, Ь, с].

2. Докажите, что: 1) Х~Х; 2) Х-У^У-Х; 3) Х~У и У~2=^Х~2.

3. Сформулируйте свойства отношения равенства множеств. Является ли оно отношением эквивалентности?

4. Какими свойствами обладает отношение включения для мно­жеств? Верно ли, что оно является отношением порядка?

5. Докажите, что множество четных натуральных чисел и мно­жество нечетных натуральных чисел равномощны.

6. Равномощно ли множество натуральных чисел, кратных 5, множеству N натуральных чисел?

7. Выделите из множества N натуральных чисел три подмноже­ства, равномощных множеству N.

8. Докажите, что множества, о которых идет речь в следующих задачах, равномощны: 1) Запиши все двузначные числа, которые меньше чем 20. Увеличь каждое из них в 5 раз. 2) Запиши все четные однозначные числа и увеличь каждое из них в 3 раза. Какие получились числа: четные или нечетные?

9. Покажите с помощью рисунка, что решение каждой из задач связано с выделением равномощных множеств: 1) В одном цехе

10 станков, а в другом — на 4 станка больше. Сколько станков в другом цехе? 2) У Маши 9 маков, а у Риты на 2 меньше. Сколько маков у Риты? 3) Юннаты вырастили 15 цыплят, а утят в 3 раза меньше. Сколько утят они вырастили? 4) Для детского сада купили 4 зеленых мяча, а красных в 3 раза больше, чем зеленых. Сколько красных мячей купили детям?