20. Пересечение множеств

Из элементов двух и более множеств можно образовать новые множества. Считают, что эти новые множества являются результа­том операций над множествами, которые, в свою очередь, следует рассматривать как обобщение операций, выполняемых над раз­личными совокупностями. В частности, таких, как нахождение об­щих элементов двух и более множеств, объединение двух и более совокупностей в одну, удаление из совокупности ее части в другие.

Пусть даны два множества: А = {2, 4, 6, 8} и В = {5, б, 7, 8, 9). Образуем множество С, в которое включим общие элементы мно­жеств А и В: С = |6, 8}. Так, полученное множество С называют пересечением множеств А и В.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принад­лежат множеству А и множеству В.

Пересечение множеств А и В обозначают Л("|В. Если изобра­зить множества А к В при помощи кругов Эйлера, то пересе­чение данных множеств изобразится заштрихованной областью (рис. 28). В том случае, когда множества Л и в не имеют общих элементов, говорят, что их пересечение пусто и пишут: ЛПВ=0.

Операция, при помощи которой находят пересечение множеств, называется также пересечением.

Как находят пересечение множеств в конкретных случаях? Прежде чем рассматривать примеры, заметим, что согласно опре­делению пересечения

х^А[\В о х^А и х^В

Если элементы множеств Л и В перечислены, то, чтобы найти ЛПб, достаточно перечислить элементы, которые принадлежат Л и В, т. е. их общие элементы.

А как быть, если множества заданы при помощи характери­стических свойств их элементов?

Из определения следует, что характеристическое свойство множе­ства А{]В составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».

Найдем, например, пересечение множества Л — четных натураль­ных чисел и множества В — двузначных натуральных чисел. Харак­теристическое свойство элементов мно­жества Л — «быть четным натураль­ным числом*, характеристическое свой­ство элементов множества В —

«быть двузначным натуральным чис­лом». Тогда, согласно определению, элементы пересечения данных мно­жеств должны обладать свойством «быть четным и двузначным натураль­ным числом». Таким образом, множест-

во А[\В состоит из четных двузначных чи­сел (союз «и» в данном случае можно опус­тить). Полученное множество не пусто. Например, 246ЛПВ, поскольку число 24 четное и двузначное»

Выясним теперь, что представляет собой пересечение множества А — четных нату­ральных чисел и множества В — натураль­ных чисел, кратных 4. Данные множества А и В бесконечные, и множество В — подмно­жество множества А. Поэтому элементами, принадлежащими множеству А и множеству множества В (рис. 29). Следовательно,

Рис. 29

В, будут элементы А[\В = В.

Упражнения

1. Сформулируйте условия, при которых истинны следующие высказывания: 1) 5(МПВ; 2) 7^А(]В.

2. Известно, что х^А. Следует ли отсюда, что х^А[\В7

3. Известно, что х^А(]В. Следует ли отсюда, что х^Л?

4. Л — множество точек окружности, В — множество точек пря­мой /. Из скольких элементов может состоять пересечение данных множеств? Может ли оно быть пустым? Изобразите возможные слу­чаи на чертеже.

5. Запишите множество 5 чисел, являющихся однозначными и четными. Пересечением каких множеств оно является?

6. Изобразите при помощи кругов Эйлера пересечение мно­жеств Л и В, если: 1) ЛсгВ; 2) Вс=Л; 3) АПВ=0.

7. Найдите пересечение множеств Л и В, если:

1. Л ={а, Ь, с, а, е, /); В = \Ь, е, /, к, /];

2. Л =(26. 39, 5, 58, 17, 81|; В = {17, 26, 58);

3. Л =(26, 39. 5, 58, 17, 81); В = (2, 6, 3, 9. 1, 7).

8. Из каких элементов состоит пересечение множества букв в слове «математика» и множества букв в слове «геометрия»?

9. М — множество однозначных натуральных чисел, Р — мно­жество нечетных натуральных чисел. Какие числа войдут в пе­ресечение данных множеств М и В? Содержатся ли в нем числа 1,5 и 17? Ответ запишите, используя символы ^ и

10. Найдите пересечение множеств решений неравенств, в ко­торых переменная — действительное число: 1) х> — 2 и х>0;

2. х> — 3,7 и х<4; 3) х^5 и х< —7,5; 4) — 2<х<4 и х^ — 1;

5. —7<х<5 и — 6<*<2.

11. Начертите два треугольника так, чтобы их пересечением:

1. был треугольник; 2) был отрезок; 3) была точка; 4) был многоугольник.

12. Какая фигура может получиться в пересечении треуголь­ника и четырехугольника? Рассмотрите несколько случаев.

13. Сколько точек может оказаться в пересечении: 1) пря­мой и окружности; 2) отрезка и окружности; 3) двух окружно­стей?

14. Начертите две фигуры, принадлежащие пересечению мно­жеств С и О, при условии, что:

1. С — множество квадратов, О — множество прямоугольников;

2. С — множество ромбов, О — множество прямоугольников.

15. А — множество решений уравнения 3*-}-у=15, В — множе­ство решений уравнения 2лг + у=11. Найдите множество точек С решений системы этих уравнений. Верно ли, что С — -4["|Д?