- •Глава I
- •§ 1. Математические понятия
- •Введение
- •Объем и содержание понятия
- •Определение понятий
- •Требования к определению понятий
- •§ 2. Математические предложения
- •Элементарные и составные предложения
- •Высказывания. Смысл слов «и», «или», «не»
- •Высказывательные формы
- •Смысл слов «все» и «некоторые»
- •Правила построения отрицаний высказываний,
- •Отношения следования и равносильности между
- •Необходимые и достаточные условия
- •§ 3. Математические доказательства
- •Дедуктивные рассуждения
- •Простейшие схемы дедуктивных рассуждений
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение
- •Понятие текстовой задачи
- •Способы решения текстовых задач
- •Этапы решения задач арифметическими способами.
- •Приемы поиска плана решения задачи и его выполнение
- •Приемы проверки решения задачи
- •Решение задач алгебраическими способами
- •§ 5. Множества и операции над ними
- •Способы задания множеств
- •Отношения между множествами
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Множества и понятия
- •Пересечение множеств
- •Объединение множеств
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Законы пересечения и объединения множеств
- •Дополнение подмножества
- •Понятие разбиения множества на классы
- •Декартово умножение множеств
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Понятие отношения
- •Способы задания отношений
- •Отношение эквивалентности
- •Понятие соответствия
- •Соответствие, обратное данному
- •Взаимно однозначные соответствия
- •Равномощные множества
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Глава II
- •§ 7. Понятие числа
- •Порядковые и количественные натуральные числа. Счет
- •§ 8. Понятие действий над целыми
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Вычитание
- •Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Свойства множества целых неотрицательных чисел
- •§ 9. Смысл натурального числа и действий
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Натуральное число как значение длины отрезка
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 10. Запись целых неотрицательных чисел и алгоритмы действий над ними
- •О возникновении и развитии способов записи целых неотрицательных чисел
- •Вычитание многозначных чисел в десятичной системе счисления
- •Умножение многозначных чисел в десятичной системе счисления
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Свойства отношения делимости
- •Делимость суммы, разности и произведения целых неотрицательных чисел
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Признаки делимости на составные числа
- •Нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел способом разложения на простые множители
- •Глава III расширение понятия числа
- •§ 12. Положительные рациональные числа
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Понятие положительного рационального числа
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Умножение и деление
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Упорядоченность множества положительных
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 13. Действительные числа
- •Понятие положительного иррационального числа
- •Действия над положительными действительными числами
- •Отрицательные числа
- •Глава IV
- •§ 14. Числовые равенства и неравенства
- •Об алфавите математического языка
- •Числовые выражения и выражения с переменными
- •Тождественные преобразования выражений
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 15. Уравнения и неравенства
- •Равносильность уравнений
- •Неравенства с одной переменной.
- •§ 16. Функции
- •График функции
- •Прямая пропорциональность
- •Обратная пропорциональность
- •Понятие величины
- •Понятие измерения величины
- •Из истории развития системы единиц величин
- •Международная система единиц
- •§ 18. Длина, площадь, масса, время
- •Масса тела и ее измерение
- •Зависимости между величинами
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •1 Моисеев н. Н. Математика ставит эксперимент.— м., 1979.— с. 12.
- •1 11. Делимость целых неотрицательных чисел
- •2Понятие отношения делимости
Приемы поиска плана решения задачи и его выполнение
Одним из наиболее распространенных приемов поиска плана решения задачи арифметическими способами является разбор задачи по тексту (заданному или переформулированному).
Разбор задачи по тексту задачи проводится в виде цепочки рассуждений, которая может начинаться как от данных задачи, так и от ее вопросов.
При разборе задачи от данных к вопросу нужно выделить в тексте задачи два данных и на основе знания связи между ними (такие знания должны быть получены при выполнении первого этапа решения) определить, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого арифметического действия. Считая это неизвестное данным, надо вновь выделить два взаимосвязанных данных, определить неизвестное, которое может быть найдено по ним, а также соответствующее арифметическое действие и т. д., пока не будет выяснено действие, выполнение которого приводит к получению искомого.
Проведем такой разбор по тексту задачи, рассмотренной в п. 19: «Турист ехал 6 ч по 56 км/ч. Осталось проехать в 4 раза больше, чем проехал. Требуется узнать весь путь».
Рассуждения ведем от данных к вопросу: «Известно, что турист ехал 6 ч по 56 км/ч. По этим данным можно узнать расстояние, которое проехал турист за 6 ч. Для этого достаточно скорость умножить на время. Зная пройденное расстояние и то, что оставшееся расстояние в 4 раза больше, можно найти, чему равно оставшееся расстояние. Для этого пройденное расстояние нужно умножить на 4 (увеличить в 4 раза). Зная, сколько километров турист проехал и сколько ему осталось ехать, можем найти весь путь, выполнив сложение найденных отрезков пути. Итак, первым действием будем находить расстояние, которое турист проехал на поезде; вторым действием — расстояние, которое ему осталось проехать; третьим — весь путь».
При разборе задачи от вопроса к данным нужно обратить внимание на вопрос задачи и установить (на основе информации, полученной при анализе текста задачи), что достаточно узнать
_>ч_
для ответа на вопрос задачи. Обратиться к условию и выяснить, есть ли для этого необ
ходимые данные. Если таких Рис- 16 данных знет или есть только
одно данное, то установить, что нужно знать, чтобы найти недостающее данное (недостающие данные), и т. д. Потом составляется план. Рассуждения при этом проводятся в обратном порядке.
Проведем такой разбор той же задачи, строя цепочку рассуждений от вопроса к данным:
«В задаче требуется узнать весь путь. Мы установили, что
весь путь состоит из двух частей. Значит, для выполнения тре
бования задачи достаточно знать, сколько километров турист проехал и сколько километров осталось проехать. И то и другое неизвестно. Чтобы найти пройденный путь, достаточно знать время и скорость, с которой ехал турист. Это в задаче известно. Умножив скорость на время, узнаем пройденный путь. Оставшийся путь можно найти, увеличив пройденный путь в 4 раза (умножив на 4). Итак, вначале можно узнать пройденный путь, затем оставшийся, после чего сложением найти весь путь».
Поиск решения задачи может проводиться по чертежу и по схематической записи, составленным на первом этапе.
Покажем, как можно осуществить поиск решения по чертежу. Рассмотрим задачу: «В бидоне было молоко. Сначала из него отлили половину и еще 5 л, а затем -^-оставшегося молока. После
этого в бидоне осталось 10 л. Сколько литров молока было в бидоне?»
Пусть отрезок АВ (рис. 16) изображает искомое. По чертежу видно, что этот отрезок разделен на две равные части: АО = ОВ. Отрезок АО состоит из нескольких частей. Причем видно, что отрезок, изображающий 10 л, содержит две из трех равных частей. Тогда один из них будет обозначать (10:2) л, т. е. 5 л. Теперь видно, что эта половина всего отрезка состоит из четырех равных частей, каждая из которых изображает 5 л. Тогда для ответа на вопрос задачи достаточно умножить 5 на 4 и на 2. Выполняя намеченный план, получим 10:2 = 5 (л), 5-4-2 = 40 (л).
План решения следующей задачи легко отыскивается после записи текста задачи при помощи таблицы.
Задача. Сколько деталей получится из 36 кг металла, если из 12 кг получается 8 деталей?
А го
Масса |
Количество |
Масса |
I детали |
деталей |
всех деталей |
|
8 |
12 кг |
Одинаковая |
|
|
|
|
|
|
? |
36 кг |
В графы таблицы занесены значения трех величин. По известным значениям двух из них, записанных в первой строке, можно найти значение третьей величины, т. е. массу одной детали. В результате во второй строке появляются значения двух величин, по которым можно найти искомое количество деталей.
Третьим этапом решения является реализация намеченного плана. Выполнение плана может проводиться как в устной форме, так и в письменной. Известны следующие формы записи решения задачи.
Составление по условию задачи выражения. Запись решения в этой форме осуществляется поэтапно. Сначала записываются отдельные шаги, приводящие в итоге к выражению, после чего находится значение выражения и запись приобретает вид равенства, в левой части которого — выражение, составленное по условию задачи, а в правой — его значение, оно-то и позволяет сделать вывод о выполнении требования задачи (дать ответ на вопрос задачи).
Ниже показаны образцы записей в этой форме:
56-6 (км) — расстояние, которое проехал турист на поезде за 6 ч. 56-6-4 (км) —путь, который осталось проехать туристу. 56-6-1-56-6-4 (км) —должен был проехать турист.
56-6 + 56-6-4=1680 (км).
Ответ: 1680 км.
Пояснения к действиям можно не записывать, а давать их в устной форме. Тогда запись решения примет вид:
56-6 + 56-6-4 = 1680 (км).
Ответ: 1680 км.
Запись по действиям с пояснением к каждому выполненному действию. Например:
56-6 = 336 (км) —турист проехал на поезде за 6 ч.
336-4=1344 (км) —осталось проехать туристу.
336+ 1344=1680 (км) —должен был проехать турист.
Если пояснения даются в устной форме, то запись решения будет следующей:
56-6 = 336 (км)
336-4 = 1344 (км)
336+1344=1680 (км)
Ответ: 1680 км.
Запись каждого пункта плана с соответствующими арифметическими действия- м и. Найдем расстояние, которое проехал турист за 6 ч:
56-6 = 336 (км).
Найдем расстояние, которое осталось проехать туристу:
Найдем расстояние, которое должен был проехать турист: 336+1344=1680 (км).
Ответ: 1680 км.
Запись вопросов и соответствующих действий.
Сколько километров проехал турист на поезде?
56-6 = 336 (км).
Сколько километров осталось проехать туристу?
336-4=1344 (км).
Сколько километров турист должен был проехать?
336+1344 = 1680 (км).
Ответ: 1680 км.
Упражнения
Проанализируйте содержание задачи, проведите ее разбор и запишите решение в форме вопросов и соответствующих действий:
«Капитан теплохода получил задание пройти 540 км за 16 ч. 180 км теплоход проплыл со скоростью 30 км/ч. С какой скоростью теплоход должен проплыть остальное расстояние, чтобы выполнить задание в положенное время?»
Найдите два арифметических способа решения задачи, запишите одно решение по действиям, а другое — составив выражение:
«Из поселка в город, до которого 27 км, выехал велосипедист. Проехав у- пути, он вернулся в поселок, пробыл там полчаса и после этого снова поехал в город. Сколько времени затратил велосипедист, пока доехал до города, если скорость движения была равна 15 км/ч?»
Можно ли решить эту задачу алгебраическим способом?
Решите задачу арифметическим способом:
«На крыше дома сидело несколько голубей. Когда на крышу село еще 15 голубей, а улетело 18 голубей, то на крыше осталось 16 голубей. Сколько голубей было на крыше первоначально?»
Решение запишите по действиям с пояснением к каждому выполняемому действию.
Дана задача: «Два плотника заработали вместе 140 р. Один из них работал 14 дней по 7 часов в день, а другой — 7 дней по 6 часов. Сколько денег заработал каждый плотник, если почасовая оплата была одинакова?»
Запишите кратко условие задачи.
Выясните, какой способ разбора данной задачи является наиболее целесообразным.
Решите задачу арифметическим способом.
Какой способ разбора данной задачи наиболее целесообразен:
«В одном бидоне 36 л молока. Когда из него перелили в другой 4 л, то в бидонах молока стало поровну. Сколько литров молока было в другом бидоне?»
Дана задача: «Два велосипедиста выехали навстречу друг другу из двух поселков, расстояние между которыми 76 км. Через 2 ч они встретились. Какова скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость одного из них на 3 км/ч меньше другого?»
Сравните разные способы ее решения.
I
Способ
76:2 = 38 (км)
38-3 = 35 (км/ч)
35:2=17,5 (км/ч)
3-2 = 6 (км)
76-6 = 70 (км)
70:2 = 35 (км)
17,5 + 3 = 20,5 (км/ч) 4) 35:2=17,5 (км/ч)
5) 17,5 + 3 = 20,5 (км/ч)
При каком способе рассуждения проще?