- •Глава I
- •§ 1. Математические понятия
- •Введение
- •Объем и содержание понятия
- •Определение понятий
- •Требования к определению понятий
- •§ 2. Математические предложения
- •Элементарные и составные предложения
- •Высказывания. Смысл слов «и», «или», «не»
- •Высказывательные формы
- •Смысл слов «все» и «некоторые»
- •Правила построения отрицаний высказываний,
- •Отношения следования и равносильности между
- •Необходимые и достаточные условия
- •§ 3. Математические доказательства
- •Дедуктивные рассуждения
- •Простейшие схемы дедуктивных рассуждений
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение
- •Понятие текстовой задачи
- •Способы решения текстовых задач
- •Этапы решения задач арифметическими способами.
- •Приемы поиска плана решения задачи и его выполнение
- •Приемы проверки решения задачи
- •Решение задач алгебраическими способами
- •§ 5. Множества и операции над ними
- •Способы задания множеств
- •Отношения между множествами
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Множества и понятия
- •Пересечение множеств
- •Объединение множеств
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Законы пересечения и объединения множеств
- •Дополнение подмножества
- •Понятие разбиения множества на классы
- •Декартово умножение множеств
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Понятие отношения
- •Способы задания отношений
- •Отношение эквивалентности
- •Понятие соответствия
- •Соответствие, обратное данному
- •Взаимно однозначные соответствия
- •Равномощные множества
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Глава II
- •§ 7. Понятие числа
- •Порядковые и количественные натуральные числа. Счет
- •§ 8. Понятие действий над целыми
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Вычитание
- •Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Свойства множества целых неотрицательных чисел
- •§ 9. Смысл натурального числа и действий
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Натуральное число как значение длины отрезка
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 10. Запись целых неотрицательных чисел и алгоритмы действий над ними
- •О возникновении и развитии способов записи целых неотрицательных чисел
- •Вычитание многозначных чисел в десятичной системе счисления
- •Умножение многозначных чисел в десятичной системе счисления
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Свойства отношения делимости
- •Делимость суммы, разности и произведения целых неотрицательных чисел
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Признаки делимости на составные числа
- •Нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел способом разложения на простые множители
- •Глава III расширение понятия числа
- •§ 12. Положительные рациональные числа
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Понятие положительного рационального числа
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Умножение и деление
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Упорядоченность множества положительных
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 13. Действительные числа
- •Понятие положительного иррационального числа
- •Действия над положительными действительными числами
- •Отрицательные числа
- •Глава IV
- •§ 14. Числовые равенства и неравенства
- •Об алфавите математического языка
- •Числовые выражения и выражения с переменными
- •Тождественные преобразования выражений
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 15. Уравнения и неравенства
- •Равносильность уравнений
- •Неравенства с одной переменной.
- •§ 16. Функции
- •График функции
- •Прямая пропорциональность
- •Обратная пропорциональность
- •Понятие величины
- •Понятие измерения величины
- •Из истории развития системы единиц величин
- •Международная система единиц
- •§ 18. Длина, площадь, масса, время
- •Масса тела и ее измерение
- •Зависимости между величинами
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •1 Моисеев н. Н. Математика ставит эксперимент.— м., 1979.— с. 12.
- •1 11. Делимость целых неотрицательных чисел
- •2Понятие отношения делимости
Этапы решения задач арифметическими способами.
Приемы анализа содержания задачи
Решение текстовой задачи арифметическим способом — это сложная деятельность, содержание которой зависит как от конкретной задачи, так и от умений решающего. Тем не менее в ней можно выделить несколько этапов:
Восприятие и анализ содержания задачи.
Поиск ичеоставленне плана решения задачи.
Выполнение плана решения. Формулировка вывода о выполнении требования задачи (ответа на вопрос задачи).
Проверка решения и устранение ошибок, если они есть. Формулировка окончательного вывода о выполнении требования задачи или ответа на вопрос задачи.
Следует подчеркнуть, что в реальном процессе решения задачи отмеченные этапы не имеют четких границ и не всегда выполняются одинаково полно. Так, иногда уже при восприятии задачи решающий может обнаружить, что данная задача — известного ему вида и он знает, как ее решать. В этом случае поиск решения не вычленяется в отдельный этап и обоснование- каждого шага при выполнении первых трех этапов делает необязательной проверку после выполнения решения. Однако полное, логически завершенное решение обязательно содержит все этапы. А знание возможных приемов выполнения каждого из этапов делает процесс решения любой задачи осознанным и целенаправленным, а значит, и более успешным.
Основная цель первого этапа решения — понимание решающим в целом ситуации, описанной в задаче, понимание условия задачи, ее требования или вопроса, смысла всех терминов и знаков, имеющихся в тексте.
Известно несколько приемов, применение которых способствует пониманию содержания задачи.
Прочитайте, например, такую задачу;
По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2 км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4 км/ч, а скорость второго 5 км/ч, то второй нагоняет первого. С начала движения до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со средней скоростью 8 км/ч. От идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно
и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядом. Какое расстояние пробежит за все это время собака?
Разобраться в содержании этой задачи, вычленить условие и требование ее можно, если задать специальные вопросы по тексту и ответить на них. .з
О чем эта задача? (Задача о движении двух мальчиков и собаки. Это движение характеризуется для каждого его участника скоростью, временем и пройденным расстоянием.)
Что требуется найти в задаче? (В задаче требуется найти расстояние, которое пробежит собака за все это время.)
Что обозначают слова «за все это время»? (В задаче говорится, что собака бегает между мальчиками «с начала движения до того, как второй мальчик догонит первого». Поэтому слова «за все это время» означают «за все то время с начала движения, в течение которого второй мальчик догонит первого».)
Что в задаче известно о движении каждого из участников его? (В задаче известно, что: 1) мальчики идут в одном направлении; 2) до начала движения расстояние между мальчиками было 2 км; 3) скорость первого мальчика, идущего впереди, 4 км/ч; 4) скорость второго мальчика, идущего позади, 5 км/ч;
скорость бега собаки 8 км/ч; 6) время движения всех участников одинаково: это время от начала движения, когда расстояние между мальчиками было 2 км, до момента встречи мальчиков, т. е. до момента, когда расстояние между ними стало 0 км.)
Что в задаче неизвестно? (В задаче неизвестно, в течение какого времени второй мальчик догонит первого, т. е. неизвестно время движения всех его участников. Неизвестно также, с какой скоростью происходит сближение мальчиков. И неизвестно расстояние, которое пробежала собака,— это требуется узнать в задаче.)
Что является искомым: число, значение величины, вид некоторого отношения? (Искомым является значение величины — расстояния, которое пробежала собака за общее для всех участников время движения.)
Большую помощь в осмыслении содержания задачи и создании основы для поиска решения задачи оказывает переформулировка текста задачи — замена данного в нем описания ситуации другим, сохраняющим все отношения, связи и количественные характеристики, но более явно их выражающим. Особенно эффективно использование этого средства в сочетании с разбиением текста на смысловые части.
Направления переформулировки могут быть следующие: отбрасывание несущественной, излишней информации; замена описания некоторых понятий соответствующими терминами и, наоборот, замена некоторых терминов описанием смысла соответствующих понятий; переорганизация текста задачи в форму, удобную для поиска решения. Результатом переформулировки должно быть выделение основных ситуаций. Так, заметив, что речь в приведенной выше задаче идет о движении, ее можно переформулировать следующим образом:
«Скорость первого мальчика 4 км/ч, а скорость догоняющего его второго мальчика 5 км/ч (первая часть задачи). Расстояние, на которое мальчики сблизились, 2 км (вторая часть). Время ходьбы мальчиков — это время, в течение которого второй мальчик догонит первого, т. е. в течение которого второй мальчик пройдет на 2 км больше, чем первый (третья часть). Скорость бега собаки 8 км/ч. Время бега собаки равно времени ходьбы мальчиков до встречи. Требуется определить расстояние, которое пробежала собака». (
Рассмотрим еще такую задачу: «На двух полках книг было на 5 больше, чем на одной из них. Сколько книг было на другой полке?»
После первого прочтения текста кажется, что в задаче недостает информации о книгах на другой полке. Но попробуем переформулировать задачу, раскрыв смысл отношения «на 5 книг больше». Получим следующий текст: «На двух полках книг столько же, сколько на первой полке, и еще 5 книг. Сколько книг на другой полке?» Переформулируем текст еще раз, заменив в нем слова «на двух полках» словами «на первой и второй полках вместе»: «На первой и второй полках вместе книг столько, сколько на первой полке, и еще 5. Сколько книг на второй полке?» Возможно и дальнейшее уточнение: «Количество книг на первой и второй полках вместе — это количество книг на первой полке и еще 5 книг. Сколько книг на второй полке?»
Из этого текста уже ясно, что 5 книг — это и есть книги на другой полке. Таким образом, в данном случае переформулировка привела не только к пониманию содержания задачи, но и (после выполнения несложных логических рассуждений) позволила ответить на вопрос задачи.
Переформулированный текст часто бывает полезно записать схематически. Например, содержание первой задачи после формулировки можно записать в виде такой таблицы:
Скорость |
Время |
Расстояние |
!-й м. 4 км/ч 2-й м. 5 км/ч Соб. 8 км/ч |
?| Одинаковое |
? ? На 2 км больше ? |
Схематическая запись переформулированного текста может иметь и иной вид. Рассмотрим задачу: «Турист проехал 6 ч на поезде со скоростью 56 км/ч. После этого ему осталось ехать в 4 раза больше того, что он проехал. Сколько всего километров он должен был проехать?»
После переформулировки текст может иметь следующий вид:
«Турист ехал б ч по 56 км/ч, осталось проехать в 4 раза больше. Требуется узнать весь путь».
Схематическую запись этой задачи можно выполнить так: Проехал — 6 ч по 56 км/ч 1
Осталось проехать — ?, в 4 раза Дольше /
В приведенных записях отражены все ситуации, описанные в задаче, данные, известные, искомое и отношения между ними.
Важным средством анализа задачи является чертеж. Например, к последней задаче может быть выполнен такой чертеж (рис. 15):
46км/ч ? В 6 раза больше
—г
—
V
У
/
Рис.
15
Он наглядно отражает все связи и зависимости между величинами, что значительно облегчает поиск решения задачи.
Упражнения
Проанализируйте содержание нижеприведенных задач, задав специальные вопросы по тексту и ответив на них. Выполните их схематическую запись. Решите задачи:
На путь по течению реки теплоход затратил 18 ч. Сколько времени ему потребуется на обратный путь, если собственная скорость теплохода равна 26 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч?
Мальчики полили 8 яблонь и 4 сливы и принесли 140 ведер воды. Сколько ведер воды вылили под яблони и сколько под сливы, если на поливку одной яблони уходит воды в 3 раза больше, чем на поливку одной сливы?
Утром на току было 96,5 т пшеницы, к полудню на ток доставили пшеницу на трех машинах, по 4,5 т на каждой. Сколько
3
тонн пшеницы осталось на току, когда — всей пшеницы отпра-
О
вили на мельницу?
Разбейте текст задачи на смысловые части и переформулируйте его, выделив основные ситуации. Решите задачи:
Пионеры одной школы собрали 80 т металлолома, другой этого количества. Из всего собранного лома изготовили рельсы. Сколько получилось метров рельсов, если из каждых 10 т металлолома выходит 70 м рельсов?
В ящике 100 кг пшена. После того как из ящика насыпали 2 мешка, в нем осталось 10% всего пшена. Сколько пшена насыпали в каждый мешок, если в один из них насыпали в 2 раза меньше, чем в другой?
Выясните, какой способ записи переформулированного текста (краткая запись, таблица, схематический чертеж) наиболее эффективен для определения плана решения задачи:
С аэродрома вылетел вертолет со скоростью 210 км/ч. Через 2 ч с этого же аэродрома вылетел самолет, который через 3 ч после своего вылета перегнал вертолет на 840 км. Найдите скорость самолета.