- •Глава I
- •§ 1. Математические понятия
- •Введение
- •Объем и содержание понятия
- •Определение понятий
- •Требования к определению понятий
- •§ 2. Математические предложения
- •Элементарные и составные предложения
- •Высказывания. Смысл слов «и», «или», «не»
- •Высказывательные формы
- •Смысл слов «все» и «некоторые»
- •Правила построения отрицаний высказываний,
- •Отношения следования и равносильности между
- •Необходимые и достаточные условия
- •§ 3. Математические доказательства
- •Дедуктивные рассуждения
- •Простейшие схемы дедуктивных рассуждений
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение
- •Понятие текстовой задачи
- •Способы решения текстовых задач
- •Этапы решения задач арифметическими способами.
- •Приемы поиска плана решения задачи и его выполнение
- •Приемы проверки решения задачи
- •Решение задач алгебраическими способами
- •§ 5. Множества и операции над ними
- •Способы задания множеств
- •Отношения между множествами
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Множества и понятия
- •Пересечение множеств
- •Объединение множеств
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Законы пересечения и объединения множеств
- •Дополнение подмножества
- •Понятие разбиения множества на классы
- •Декартово умножение множеств
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Понятие отношения
- •Способы задания отношений
- •Отношение эквивалентности
- •Понятие соответствия
- •Соответствие, обратное данному
- •Взаимно однозначные соответствия
- •Равномощные множества
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Глава II
- •§ 7. Понятие числа
- •Порядковые и количественные натуральные числа. Счет
- •§ 8. Понятие действий над целыми
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Вычитание
- •Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Свойства множества целых неотрицательных чисел
- •§ 9. Смысл натурального числа и действий
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Натуральное число как значение длины отрезка
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 10. Запись целых неотрицательных чисел и алгоритмы действий над ними
- •О возникновении и развитии способов записи целых неотрицательных чисел
- •Вычитание многозначных чисел в десятичной системе счисления
- •Умножение многозначных чисел в десятичной системе счисления
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Свойства отношения делимости
- •Делимость суммы, разности и произведения целых неотрицательных чисел
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Признаки делимости на составные числа
- •Нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел способом разложения на простые множители
- •Глава III расширение понятия числа
- •§ 12. Положительные рациональные числа
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Понятие положительного рационального числа
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Умножение и деление
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Упорядоченность множества положительных
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 13. Действительные числа
- •Понятие положительного иррационального числа
- •Действия над положительными действительными числами
- •Отрицательные числа
- •Глава IV
- •§ 14. Числовые равенства и неравенства
- •Об алфавите математического языка
- •Числовые выражения и выражения с переменными
- •Тождественные преобразования выражений
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 15. Уравнения и неравенства
- •Равносильность уравнений
- •Неравенства с одной переменной.
- •§ 16. Функции
- •График функции
- •Прямая пропорциональность
- •Обратная пропорциональность
- •Понятие величины
- •Понятие измерения величины
- •Из истории развития системы единиц величин
- •Международная система единиц
- •§ 18. Длина, площадь, масса, время
- •Масса тела и ее измерение
- •Зависимости между величинами
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •§ 3. Математические доказательства 35
- •§ 4. Текстовые задачи и их решение 51
- •1 Моисеев н. Н. Математика ставит эксперимент.— м., 1979.— с. 12.
- •1 11. Делимость целых неотрицательных чисел
- •2Понятие отношения делимости
§ 4. Текстовые задачи и их решение
Понятие текстовой задачи
В начальном обучении математике велика роль текстовых задач. Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи сРособствуют развитию их логического мышления. Большое значение имеет решение задач и в воспитании личности учащегося. Поэтому важно, чтобы учитель имел глубокие представления о текстовой задаче, о ее структуре, умел решать такие задачи различными способами.
Текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения.
Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса).
В условии сообщаются сведения об объектах и некоторых ве
личинах, характеризующих данные объекты, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними.
Требование задачи — это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной (Найти площадь прямоугольника) или вопросительной форме (Чему равна площадь прямоугольника?).
Рассмотрим задачу: «На тракторе «Кировец» колхозное поле можно вспахать за 10 дней, а на тракторе «Казахстан» — за 15 дней. На вспашку поставлены оба трактора. За сколько дней будет вспахано это поле?»
Условие этой задачи. «На тракторе «Кировец» колхозное поле можно вспахать за 10 дней, а на тракторе «Казахстан» — за 15 дней. На вспашку поставлены оба трактора». В нем описываются отношения между тремя величинами: объемом работы, производительностью труда и временем выполнения работы, причем в трех различных ситуациях.
Первая ситуация. Некоторый объем работы выполняется только на тракторе «Кировец» с определенной производительностью. Известно значение одной величины, а именно время работы — 10 дней. Значения других величин неизвестны.
Вторая ситуация. Тот же объем работы выполняется только на тракторе «Казахстан» с определенной производительностью. Известно время работы — 15 дней. Значения других величин неизвестны.
Третья ситуация. Тот же объем работы выполняется двумя тракторами с соответствующей каждому производительностью. Значения всех трех величин неизвестны.
Требование (вопрос) задачи: «За сколько дней будет вспахано это поле?» В нем указывается, что нужно найти одно из неизвестных значений величин, а именно время совместной работы. Это же требование может быть сформулировано в повелительной форме: «Найти число дней, которое потребуется для вспашки поля двумя тракторами при совместной работе».
В данной задаче пять неизвестных значений величин, одно из которых заключено в требовании задачи. Это значение величины назовем искомым.
Иногда задачи формулируются таким образом, что часть условия или все условие включены в одно предложение с требованием задачи. Например, приведенная выше задача может быть дана в такой формулировке: «На тракторе «Кировец» колхозное поле можно вспахать за 10 дней, а на тракторе «Казахстан» — за 15 дней. За сколько дней можно вспахать это поле, если будут работать оба трактора?» В ней часть условия («будут работать оба трактора») помещена в предложение с требованием задачи. В следующем тексте все условие дается в одном предложении с вопросом: «За сколько дней вспашут поле тракторы «Кировец» и «Казахстан», работая вместе, если на одном из них поле может быть вспахано за 10 дней, а па другом —за 15 диен?»
В реальной жизни довольно часто возникают самые разнообразные заданные ситуации. Сформулированные па их основе задачи могут содержать избыточную информацию, т. е. такую, которая не нужна для выполнения требования задачи. Например, в рассмотренной выше задаче для выполнения ее требования не имеют значения названия марок тракторов. Здесь важно лишь, что в задаче речь идет о двух тракторах с разной производительностью.
В задаче «Девочка нашла 10 белых грибов и 5 подберезовиков, а мальчик 7 белых грибов. Сколько белых грибов нашли дети?» содержится избыточная информация о подберезовиках. Данное «5 подберезовиков» оказывается лишним.
На основе возникающих в жизни заданных ситуаций могут быть сформулированы и задачи, в которых недостаточно информации для выполнения требований. Так, в задаче «Найти длину и ширину участка прямоугольной формы, если известно, что длина больше ширины на 3 м» недостаточно данных для ответа на се вопрос. Чтобы можно было решить эту задачу, необходимо ее дополнить недостающими данными. Такими данными можег быть значение площади или некоторые данные, по которым можно было бы определить одну из искомых сторон.
Одна и та же задача может рассматриваться как задача с избыточными (недостающими) данными и как задача с достаточным числом данных в зависимости от имеющихся у решающего знаний. Например, ученик, не имеющий знаний о дробях и действиях над ними, воспримет приведенную выше задачу о вспашке поля как задачу с недостающей информацией. Решить се он сможет, если в эту задачу ввести, например, значение площади вспахиваемого поля. При наличии знаний о дробях и действиях с ними ответить на вопрос задачи можно и не зная площади поля.
Упражнения
В следующих задачах выделите условие и требование:
Два автобуса отправились одновременно из города в пионерский лагерь, расстояние до которого 72 км. Первый автобус прибыл в лагерь на 15 мин раньше второго. С какой скоростью шел каждый автобус, если скорость одного из них на 4 км/ч больше скорости другого? 2) Найдите стороны прямоугольника, если известно, что одна из них на 14 см больше другой, а диагональ его равна 34 см.
Приведенные выше задачи сформулируйте таким образом, чтобы предложение, содержащее требование, не содержало элементов условия.
В тех же задачах повелительную форму требования замените вопросительной и наоборот.
Решите задачи из упражнения I.