13. Простейшие схемы дедуктивных рассуждений

Считают, что в основе каждого дедуктивного рассуждения лежит определенное правило вывода. Мы рассмотрим только три ос­новных таких правила, приняв их без доказательства.

1. Правило заключения: (А=>В и А (а)) =>В (а), где А=>В — общая посылка, А (а) — частная посылка, В (а) — заключение.

¹ 2. Правило отрицания: (А=>В и В(а))=ь-А (а).

3. Правило силлогизма: (Л=*-В и В=>С) => {А=>С).

Применение этих правил гарантирует, что рассуждение будет ''дедуктивным, т. е. позволяет из истинных посылок выводить истин­ное заключение.

Покажем, как используются данные правила для проверки пра­вильности рассуждения.

Задача. Являются ли следующие рассуждения дедуктивными:

1. Все числа, запись которых оканчивается нулей, делятся на 5; число не делится на 5, следовательно, его запись не окан­чивается нулем.

2. Если натуральное число кратно 8, то оно кратно 4; если натуральное число кратно 4, то оно кратно 2; следовательно, если число кратно 8, то оно кратно 2.

3. Если запись числа оканчивается нулем, то оно делится на 5; число не оканчивается нулем, следовательно, оно не делится на 5.

Решение. 1) Определим схему приведенного рассуждения. Сначала сформулируем общую посылку в виде условного предложе­ния: «Если запись числа оканчивается нулем, то оно делится на 5». Затем обозначим буквой А предложение «Запись числа оканчива­ется нулем», а буквой В предложение «Число делится на 5». Тогда общая_посылка примет вид А^>В, частная — это В, а заключе­ние— А, т. е. имеем рассуждение по схеме:

(А=>В и В) =>- Л.

Это правило отрицания, гарантирующее истинность заключения. Следовательно, данное рассуждение дедуктивное.

2. Если обозначить через А предложение «Натуральное число кратно 8», через В предложение «Натуральное число кратно 4», через С предложение «Натуральное число кратно 2», то схема дан­ного рассуждения примет вид:

(А=>В и В=>С) =>(А=>С).

Такая схема — это правило силлогизма — гарантирует при истин­ности посылок истинность заключения. Значит, данное рассуждение дедуктивное.

3. Обозначим буквой А предложение «Запись числа оканчива­ется нулем», буквой В предложение «Число делится на 5». Тох- да схема данного рассуждения будет иметь вид (Л=г»8 и А)=>В. Она приводит к ложному выводу: например, число 15 не оканчи­вается нулем, но оно делится на 5. Вообще эта схема рассужде­ния не гарантирует истинности заключения — она может привести как к истинному, так и к ложному заключению.

Рассуждение по схеме, приводящей в одном случае к истинно- 2* 33

му заключению, а в другом — к ложному, считают недедуктив­ным. Следовательно, данное рассуждение недедуктивное.

Целесообразно запомнить две схемы недедуктнвных рассуждений:

1. {А=>В и В) =>/4; 2) {А=>В и А)=>В.

Эти схемы не гарантируют истинности^ заключения при истин­ности посылок.

Заметим, что полное дедуктивное рассуждение по приведен­ным схемам требует указания двух посылок. Однако в процессе рассуждений эти схемы иногда сокращают, опуская, например, об­щую посылку.

В математике давно заметили, что использование схем, не гарантирующих истинность заключения, а также невыполнение ус- ) ловнй применимости теорем и формул, применение ошибочного чертежа приводят к неверному выводу, ложному заключению. И математики стали придумывать умышленно неправильные рассуж­дения, но имеющие видимость правильного. Такие рассуждения по- улучили названия софизмов.

Разбор софизмов не только формирует умение правильно рассуждать, но и помогает усваивать многие математические факты.

Рассмотрим пример софизма.

Докажем, что 5=1.

Из чисел 5 и 1 вычтем одно и то же число 3. Получим 5 — 3 = 2, 1—3=—2. Возведем числа 2 и —2 в квадрат. Ре­зультатом этого явятся равные числа: 2^г = 4, (— 2)² = 4. Зна­чит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1. Итак, 5=1.

Ясно, что заключение в проведенном рассуждении ложно. Но где допущена ошибка?

Проанализируем проведенное рассуждение. Оно состоит из трех шагов, причем воспроизведенных в сокращенном виде. Мы же восстановим обе посылки каждого шага.

1. й шаг (вычитание из 5 и 1 целого числа 3).

Общая посылка: «Разность любых целых чисел существует».

Частная посылка: «Числа 5, 1 и 3 целые».

Заключение: «Разность 5 — 3, 1—3 существует, и 5 — 3 = 2, 1 —3= —2».

Так как рассуждение велось по правилу заключения, то при истинных посылках мы получили истинное заключение. Поэтому оши­бок на этом шаге нет.

2. й шаг (возведение чисел 2 и —2 в квадрат).

Общая посылка: «Квадраты любых целых чисел всегда сущест­вуют и являются неотрицательными числами».

Частная посылка: «Числа 2 и —2 целые».

Заключение: «Квадраты чисел 2 и —2 существуют, причем 2² = 4, (— 2)² = 4».

Рассуждение здесь также велось по правилу заключения, полу­чили истинный вывод. Поэтому ошибок на этом шаге не допу­щено.

3. й шаг (заключение о равенстве чисел 5 и 1).

Общая посылка: «Если числа равны, то равны и их квадраты».

Частная посылка: «Квадраты чисел равны (4 = 4)».

Заключение: «Равны и сами числа 5 — 3=1—3, или 5=1».

На этом этапе рассуждение велось по схеме (А=>В и В) =>А, а она не гарантирует истинности заключения. В результате и было получено ложное заключение.

Упражнения

1. Выявите схему каждого рассуждения и укажите среди них дедуктивные: 1) противоположные углы параллелограмма равны; четырехугольник АВСО— параллелограмм; следовательно, А.А — = /-С\ 2) противоположные углы параллелограмма равны; про­тивоположные углы четырехугольника АВСО равны; следовательно, АВСО — параллелограмм; 3) противоположные углы параллело­грамма равны; четырехугольник АВСО не является параллелограм­мом; следовательно, его противоположные углы не равны; 4) про­тивоположные углы параллелограмма равны; противоположные углы четырехугольника АВСО не равны; следовательно, четырехуголь­ник АВСО не является параллелограммом.

2. Закончите рассуждение так, чтобы оно было правильным:

1. если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3; сумма цифр числа 327 делится на 3, следовательно, ...;

2. если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3; число т не делится на 3, следовательно, ...; 3) если число делится на 18, то оно делится на 6; если число делится на б, то оно делится на 3, следовательно, ... .

3. Дедуктивны ли следующие рассуждения: 1) все отличники III класса спортсмены. Ученик III класса Сережа — отличник; следо­вательно, Сережа спортсмен; 2) все отличники III класса спортсмены. Третьеклассник Володя спортом не занимается; следовательно, он не отличник; 3) все отличники III класса спортсмены. Третьеклас­сница Оля не отличница; следовательно, Оля не спортсменка; 4) все отличники III класса спортсмены. Третьеклассница Таня — спорт­сменка; следовательно, она отличница?

4. Восстановите общую посылку в каждом из следующих рас- суждений: 1) число 12 — натуральное, следовательно, оно поло­жительное; 2) треугольник ЛВС равносторонний, следовательно, он равнобедренный; 3) число 188 не делится на 9, следователь­но, сумма его цифр не делится на 9.

5. Найдите ошибку в каждом из следующих софизмов: 1) Все числа равны между собой. Пусть афЬ. Возьмем тождество а²— — 2аЬ-\-Ь^г — Ь² — 2аЬ-\-а². Имеем (а — Ь)⁷ — (Ь — а)². Отсюда а — Ь = = Ь — а, или 2а = 2/;, а значит, а = Ь. 2) Из двух неравных чисел первое всегда больше второго. Пусть т и п — произвольные числа и тФп. Имеем (т — л)²>0, т. е. т² — 2/лл + л²>0, или т²-фл²> >2тп. К обеим частям получившегося неравенства прибавим —2л².

Получим т¹ — п²>2тп — 2п², или (т + п) (т — «)> Чп (т — п). После деления обеих частей на т — п имеем т-\-п>2п, откуда следует, что пх > п.

13. Неполная индукция ’³

Если в выражение п²-|-/г-}-41 вместо п подставлять числа 1, 2, 3, 4 и т. д., то можно заметить, что при л=1 значение выражения равно простому числу 43, при л = 2 значение выражения равно простому числу 47, при п = 3 значение выражения равно простому числу 53 и т. д.

Опираясь на полученные результаты, можно заключить, что при любом натуральном п значение выражения л²+ «4-41 есть простое¹ число.

Известно, что 15 делится на 5, 25 делится на 5, 35 делится на 5, 95 делится на 5. Учитывая это, заключаем, что любое число, запись которого оканчивается цифрой 5, делится на 5.

В рассмотренных рассуждениях мы на основании ряда част­ных случаев сделали общий вывод. Такие рассуждения называют неполной индукцией.

Неполная индукция представляет собой такое рассуждение, при котором на основании того, что некоторые объекты совокуп­ности обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты этой совокупности.

Выводы, полученные при неполной индукции, могут быть как ис­тинными, так и ложными. Так, вывод о том, что любое число, запись которого оканчивается цифрой 5, делится на 5, истинен. А утверждение «При любом натуральном и значение выраже­ния п²-\-п-\-41 есть простое число» ложно. Действительно, если п = 41, получаем 41‘-(-41 +41 = 41² -+- 2 - 41 =41 -(41 +2) = 41 -43, т. е. значение выражения л² + п + 41 оказывается составным числом.

К выводам, полученным при помощи неполной индукции, на­до относиться критически. Эти выводы носят характер предполо­жения, гипотезы, которую следует либо доказать (дедуктивным способом), либо опровергнуть. Таким образом, в процессе по­знания дедуктивные и индуктивные рассуждения оказываются вза­имосвязанными.

Несмотря на то что индуктивные рассуждения не всегда при­водят к правильным выводам, роль их в изучении математики и других предметов велика. В ходе индуктивных рассуждений фор­мируется умение видеть общее в конкретных, частных случаях, высказывать догадки.

В начальной школе неполный индуктивный вывод применяется часто. Как правило, все общие закономерности здесь выводятся индуктивным путем. Так обосновываются переместительные законы сложения и умножения, равенства 0-Га = а, 1 -а = а, а: 1 =а, (Ьа = 0 и другие закономерности.

Кроме неполного индуктивного вывода, в начальных клас­сах широко используется вывод по аналогии¹, при котором осу­ществляется перенос знаний с изученного объекта на другой, менее изученный объект. Основой для переноса служат разно­сторонние знания признаков сходства и различия этих объектов.

Аналогия важна тем, что наводит пас на догадки, предпо­ложения. Кроме того, аналогия способствует развитию математи­ческой интуиции, она является важным источником ассоциаций, способствующих глубокому усвоению предмета.

Однако нельзя забывать о том, что получаемые по аналогии выводы могут оказаться как истинными, так и ложными. Выво­ды, полученные по аналогии, должны доказываться дедуктивным способом.

Упражнения

1. Каким числом может быть сумма двух четных чисел? Рас­смотрите несколько частных случаев и выскажите предположение. Каким образом можно доказать его истинность?

2. Рассмотрите равенства: 1² = 1, 3² = 9, 5² = 25, 7² = 49. Выс­кажите какое-либо заключение относительно квадратов нечетных чисел и укажите возможный способ установления его истинности.

3. Разделите каждое из чисел З², 5², 7² на 4. Чему в каждом из этих случаев равен остаток? Какое предположение можно выска­зать на основе полученных результатов? Сколько нечетных чисел нужно было бы возвести в квадрат и разделить на 4, чтобы гарантировать истинность высказанного предположения?

4. Найдите значение выражения л² — л+11 при л = 1, 2 и 3. Можно ли на основании полученных ответов утверждать, что зна­чение выражения л² — л-}-11 при любом натуральном л есть число простое?

5. Выясните, каким образом учащиеся начальных классов убеждаются в истинности следующих высказываний:

1. 0-+-а = а; 2) I ■а = а\ 3) 0-а = 0; 4) аЬ = Ьа.

6. По аналогии с признаками делимости на 3 и на 9 уча­щийся сформулировал такой признак делимости на 27:

«Для того чтобы число делилось на 27, необходимо и достаточ­но, чтобы сумма цифр в записи этого числа делилась на 27». Верен ли вывод, сделанный учащимся?

7. Выполняя деление 96 на 16, учащийся получил частное 10 и обосновал свои действия так: 96:16 = 90:10-|-6:6=9-|-1 = 10. Какие теоретические факты ошибочно использовал учащийся?

13. Способы доказательства истинности высказываний

Основным способом математических доказательств является дедуктивный вывод. При этом математическое доказательство представляет собой такую цепочку дедуктцрных рассуждений, что заключение каждого из них, кроме последнего, является посыл­кой в одном из последующих рассуждений.

Доказательство истинности утверждения 7 <8 состояло из одного рассуждения, содержащего один шаг.

Рассмотрим примеры доказательств, состоящих из двух и более шагов рассуждений. \

Пример 1. Докажем, что каждая диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.

Доказательство. 1. В любом параллелограмме противо­положные стороны равны; АВСО— параллелограмм (рис. 9), следовательно, АВ = Сй, ВС = АО. Рассуждение проведено со­гласно правилу заключения, значит, полученный вывод истинен.

2. Если три стороны одного треугольника равны соответст­венно трем сторонам другого треугольника, то такие треуголь­ники равны: ЛВ = С73, ВС —АО, сторона АС общая, следователь­но, треугольники АВС и АСй равны.

И в этом случае рассуждение велось по правилу заключения, значит, вывод истинен. Теорема доказана.

Заметим, что доказательство теоремы состояло из двух ша­гов рассуждений, проведенных в полной логической форме с ука­занием всех посылок. Однако такие доказательства громоздки, и поэтому обычно их ведут в свернутой, сокращенной форме, опус­кая отдельные посылки в схемах рассуждений.

Например, проведенное нами доказательство в свернутой фор­ме может быть таким: в треугольниках АВС и АСй стороны АВ и СО, АО и ВС равны как противоположные стороны паралле­лограмма АВСО, сторона АС у них общая, следовательно, тре­угольники АВС и АСС) равные.

Пример 2. Докажем, что диагонали ромба взаимно перпен­дикулярны.

Рис. 10

Доказательство. Проведем его сначала в свернутой форме. Рассмотрим треугольники АОВ и АОО (рис. 10). В них

Рис. 9

АВ = АЭ— стороны ромба; В0 = 00, так как в точке пересечения диагонали ромба делятся пополам; АО — общая сторона. Следо­вательно, ААОВ= аАОО.

Из равенства этих треугольников имеем, что А А ОВ = /СА01), но эти углы смежные. Поэтому углы АОВ и АОО прямые, и, сле­довательно, диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Выполним логический анализ доказательства, т. е. выделим цепочку рассуждений и установим используемое в каждом звене правило вывода.

1. В ромбе все стороны равны; АВСО — ромб, следовательно, АВ = АО (правило заключения).

2. В ромбе диагонали делятся в точке пересечения попо­лам; АВСИ — ромб, следовательно, ВО = Ой (правило заклю­чения).

3. Если три стороны одного треугольника равны соответствен­но сторонам другого треугольника, то такие треугольники рав­ны; Лв = ЛО, ВО = ОД, сторона АО общая, следовательно, тре­угольники АОВ и АОй равны (правило заключения).

4. Если треугольники равны, то их соответственные углы равны; дЛОВ= дЛОД, следовательно, ДВОЛ = ДЛОО (правило заключения).

5. Если смежные углы равны, то они прямые; углы АОВ и ЛОО смежные и равные, следовательно, они прямые (правило заключения).

6. Если прямые при пересечении образуют прямые углы, то они перпендикулярны; углы АОВ и ЛОЁ) прямые, следовательно, диагонали АС и ВО взаимно перпендикулярны (правило заклю­чения).

Таким образом, доказательство данного предложения пред­ставляет собой цепочку дедуктивных рассуждений, проводимых в каждом случае по правилу заключения, которое обеспечивает истинность выводов. Заключение каждого из рассуждений, кроме последнего, является посылкой в одном из последующих рассуж­дений.

По способу ведения доказательства подразделяются на пря­мые и косвенные. Все рассмотренные ранее доказательства были прямыми: в них, основываясь на каком-либо истинном предло­жении, строилась цепочка дедуктивных рассуждений, приво­дившая к истинному заключению.

К прямым доказательствам относится и полная индукция, о которой шла речь в п. 8.

Примером косвенного доказательства является доказательство способом от противного.

Рассмотрим пример такого доказательства. Докажем, что если две различные прямые а и Ь параллельны третьей прямой с, то они параллельны между собой.

Доказательство. Допустим противное, т. е. что прямые а и Ь не параллельны между собой. Тогда они пересекутся в не­которой точке Р, не принадлежащей прямой с. Так как по условию а параллельна с и Ь параллельна с, то приходим к тому, что че­рез точку Р вне прямой с можно провести две различные пря­мые, параллельные прямой с. Это высказывание противоречит аксиоме параллельности. Следовательно, наше предположение неверно. Но тогда истинна данная теорема.

Вообще суть доказательства теоремы А=>В способом о^ про­тивного заключается в следующем. Допускают, _что заключение теоремы В ложно, следовательно, его отрицание В истинно. При­соединив это предложение к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых нахо­дится и условие А), выводят из них следствия до тех пор, пока не получится предложение, противоречащее одной из посылок. Заключая процесс рассуждения, говорят, что полученное про­тиворечие доказывает теорему.

Еще одной формой косвенного доказательства является дока­зательство, основанное на законе контрапозиции. Суть его в том, что вместо теоремы А=>В доказывают равносильную ей теорему вида В=>А. Если эта теорема оказывается истинной, то истинна и исходная теорема.

Докажем, что если дробь несократима, то и дробь —• то­

же несократима.

Док азател ьство. Допустим, что сократимая дробь.

Тогда ее числитель и знаменатель делятся на одно и то же число,

например т, т. е. а = ш<7, Ь = тр.

о а — Ь ти — тр т (а—р) , а— Ь

Значит, т. е. дробь —- сократима.

а + Ь тц + тр т(<7 + р) ^г а- гЬ ^г

Таким образом, доказана истинность предложения: «Если

дробь —■ сократима, то будет сократима и дробь >. Это

предложение представляет собой теорему, обратную противополож­ной. Значит, по закону контрапозиции будет истинна и исходная теорема.

Упражнения

1. Истинность высказывания «Квадрат любого четного чис­ла делится на 4» может быть доказана следующим образом:

«Квадрат четного числа 2п имеет вид 4л², где п — натураль­ное число.

Так как 4 делится на 4, то и произведение 4л² делится на 4».

Проведите логический анализ этого доказательства.

2. Докажите, что диагональ прямоугольника разбивает его на два равных треугольника. Выполните логический анализ про­веденного доказательства.

3. Известно, что в треугольнике МРЫ угол РМЫ равен углу РЫМ. Докажите, что РМС=/-РЫй (рис. II).

4. 

   Докажите истинность следующих высказываний: 1) если а > 6,то 15а> 156;

2. если а~>Ь, то — 8а<—86; 3) если 8-3 = 24, то 3 = 24 : 8.

5. Обоснуйте правильность рассужде­ния: «Чтобы найти неизвестный множи­тель, надо произведение разделить на Рнс. и известный множитель. В уравнении

5х = 30 неизвестен множитель. Следовательно, х = 30: 5».

6. Докажите способом от противного: 1) если две различные прямые пересекаются, то их пересечение содержит одну и только одну точку; 2) в разностороннем треугольнике биссектриса угла не перпендикулярна противоположной стороне; 3) в разносторон­нем треугольнике никакие два угла не равны; 4) ни один треуголь­ник не может иметь два прямых угла.

7. Опираясь на определение умножения целых неотрицатель­ных чисел, используемое в начальном курсе математики, дока­жите, что:

а) 3-5=15; б) 0-3 = 0; в) 1-5 = 5.

8. Получив равенства 2 + 4 = 6, 4 + 6=10, 6 + 8=14, 4 + 8=12, учащийся сделал вывод: сумма любых двух четных чисел есть число четное. Верно ли это? Можно ли рассуждения ученика считать доказательством этого утверждения?