§ 3. Математические доказательства

13. Дедуктивные рассуждения

Доказать теорему А=*-В — это значит установить логическим пу­тем, что всегда, когда выполняется свойство Л, будет выполнять­ся и свойство В.

Доказательство в математике обладает рядом особенностей. В частности, оно проводится по правилам логики без каких-либо ссылок на наглядность и опыт.

В основе доказательства лежит рассуждение — логическая операция, в результате которой из одного или нескольких взаимо­связанных по смыслу предложений получается предложение, содер­жащее новое (по отношению к исходным) знание.

В качестве примера рассмотрим рассуждение первоклассника, которому надо установить отношение «меньше» между числами 7 и

8. Учащийся говорит: «7 <8, потому что 7 при счете называют раньше, чем 8».

Выясним, на какие факты опирается вывод, полученный в этом рассуждении.

Таких фактов два:

1. Если число а при счете называют раньше числа Ь, то а<6 (для любых натуральных чисел а и Ь).

2. 7 при счете называют раньше, чем 8.

Первое предложение носит общий характер, так как содержит квантор общности, подчеркивающий, что предложение имеет место для любых натуральных чисел а и Ь\ его называют общей посыл­кой.

Второе предложение касается конкретных чисел 7 и 8, отра­жает частный случай, его называют частной посылкой.

Из двух посылок и выведен новый факт (7 <8), его называ­ют заключением.

Вообще в любом рассуждении есть посылки и есть заключе­ние. Между посылками и заключением существует определенная связь, благодаря которой они и составляют рассуждение.

Рассуждение, между посылками и заключением которого имеет место отношение следования, называют дедуктивным¹.

Другими словами, рассуждение дедуктивно, если с его по­мощью из истинных посылок нельзя получить ложное заключе­ние. В противном случае рассуждение считается недедуктивным.

Каковы же те условия, при которых рассуждение будет дедук­тивным?

Обратимся к примерам.

Пример 1. Дано рассуждение, в котором: общая посылка: «Если натуральное число кратно 4, то оно кратно 2»;

частная посылка: «Число 12 кратно 4»; заключение: «Число 12 кратно 2».

В этом рассуждении и посылки, и заключение истинны. Мож­но предположить, что оно дедуктивное.

Пример 2. Дано рассуждение, в котором: общая посылка: «Если натуральное число кратно 4, то оно кратно 2»;

частная посылка: «Число 126 кратно 2»; заключение: «Число 126 кратно 4».

В данном рассуждении посылки истинны, а заключение ложно — число 126 на 4 не делится. Значит, это рассуждение не является дедуктивным, и, следовательно, истинность посылок не един­ственное условие, обеспечивающее дедуктивность рассуждения.

Что же еще важно для получения истинного заключения? Сравним проведенные рассуждения. Для этого представим их в символической форме. Если обозначить через А предложение «Натуральное число х кратно 4», а через В — предложение «Нату­ральное число кратно 2», то общая посылка в обоих рассужде­ниях будет иметь вид А=>В. Вторая посылка в примере 1 частная, она получается, если в предложение А вместо х подставить

12. Обозначим ее /4(12). Тогда заключение в первом рассуж­дении можно обозначить В (12). Для другого примера: вторая посылка имеет вид В (126), а заключение А (126).

В соответствии с введенными обозначениями данные рассуждения можно представить в таком виде:

Пример 2

А=>В В (126) Л (126)

Пример 1

1. посылка: Л=>-В

2. посылка: Л (12) Заключение: В (12)

33

В первом примере рассуждение проводилось по схеме (Л=*-В и А (12))=>В (12), а во втором: (Л=>В и В (126)) =>А (126). Как ви­дим, схемы рассуждений различны. Схема, которую использовали в первом случае, привела к истинному заключению, а вторая схе­ма рассуждения — к ложному.

Рассмотренные примеры позволяют утверждать, что истинность посылок не всегда гарантирует истинность заключения. Необходимо еще рассуждать по таким схемам (правилам), которые обеспечи­вают такое заключение.

•■3

Упражнения

!. В каждом из следующих рассуждений выделите общую по­сылку, частную посылку и заключение: 1) если треугольник равно­бедренный, то углы в нем при основании равны; треугольник АВС равнобедренный, следовательно, углы в нем при основании равны;

2. во всяком равнобедренном треугольнике углы при основании равны; углы при основании треугольника АВС не равны, следо­вательно, треугольник АВС не является равнобедренным; 3) во вся­ком равнобедренном треугольнике углы при основании равны; тре­угольник АВС неравнобедренный, следовательно, углы в нем при основании не равны.

2. Проанализируйте схему каждого рассуждения из упражне­ния 1. Есть ли среди них недедуктивные рассуждения?

3. Учащимся I класса было предложено обосновать выбор дей­ствия при решении задачи: «Катя нашла 5 грибов, а Саша 3 гриба. На сколько больше грибов нашла Катя?»

Один учащийся сделал это так: «В этой задаче надо узнать, на сколько 5 больше чем 3. Поэтому из 5 надо вычесть 3».

Другой учащийся предложил такое обоснование: «Все задачи, в которых требуется узнать, на сколько одно число больше дру­гого, решаются вычитанием. В этой задаче надо узнать, на сколь­ко 5 больше чем 3. Значит, для ответа на вопрос задачи надо из 5 вычесть 3».

Правильны ли проведенные рассуждения? Чем они отличаются?

2. Какая посылка используется неявно в следующем рассуждении младшего школьника: 1) Обосновывается истинность равенства 13-5 = 65. 13 — это сумма чисел 10 и 3; 10 умножить на 5, получит­ся 50, 3 умножить на 5, получится 15; 50-}-15 = 65. Значит, 13-5 = 65. 2) Обосновывается выбор действия при решении тексто­вой задачи: «В одной книге 36 страниц, а в другой 18 стра­ниц. Во сколько раз больше страниц в первой книге, чем во вто­рой?»

В задаче надо узнать, во сколько раз 36 больше 18. Для ответа на вопрос задачи надо разделить 36 на 18.

2. Обоснуйте истинность следующих равенств:

1. 17+12 = 29; 2) 18-5 = 90.