чеОное пособие

для педагогических

училищ

П.П.Стойлова

А.М.Пышнало

ОСНОВЫ

НАЧАЛЬНОГО

КУРСА

МАТЕМАТИКИ

ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Законы сложения и умножения

а-\-Ь = Ь-\-а для любых чисел а и Ь

(а-{-Ь)-{-с = а-\-(Ь-{-с) для любых чисел а, Ь и с а-Ь = Ь а для любых чисел а и Ь

(а - Ь) с = а - (Ь с) для любых чисел а, Ь и

(а-\-Ь)-с—ас + Ьс для любых чисел а, Ь и с

Правила вычитания и деления

с;

с

Правило вычитания числа из суммы

(а + Ь)-с= 1«*-с) + Ь, если а^с;

| а-\- (Ь — с), если Ь^с

Правило деления произведения на число

если а если Ь

Правило вычитания суммы 'из числа

(Ь-\-с) = (а — Ь)—с = (а—с) — Ь, если а^Ь + с

Правило деления числа на произведение

а:(Ь-с) = (а:Ь):с = (а:с):Ь, если а\Ьс, а

Правило деления суммы на число

(а-\-Ь):с=а:с-\-Ь:с, если а\Ь и Ь\с

Л.П.Стойлова А. М. Пышнало

основы

НАЧАЛЬНОГО

КУРСА

МАТЕМАТИКИ

Допущено Министерством просвещения СССР в качестве учебного пособия для учащихся педагогических училищ по специальности № 2001 «Преподавание в начальных классах общеобразовательной школы»

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1988

ББК 22.1 С81

Рецензенты: предметная (цикловая) комиссия Ногинского педагогического учили­

ща имени 50-летня ВЛКСМ; доктор педагогических наук, доцент А. Г. Мордкович (МГЗПИ)

Стойлова Л. П., Пышкало А. М.

С81 Основы начального курса математики: Учеб. пособие для учащихся пед. уч-щ по спец. № 2001 «Преподавание в нач. классах общеобразоват. шк.» — М.: Просвещение. 1988.— 320 с.: ил.

15ВИ 5-09-000482-Х

количество упражнении, решение которыл, шшаже овладевать профессиПЙал'ьными умеццямги |Д 1 3000400—432 _ ГЛ*' * * ^Г-ГА№ ]

— (птт_|Д II п а и ■т.тг^,77 «в

Пособие написано о соответствии <1 программой для педагогических училищ. Наряду с теоретическим материалом в нем содержится большое количество упражнений, решение кзуорыл- ц—"!""^- будущим учителям

.4308000400—432 „ .

ЮЗ(ОЗ) —вв— ^{СводниЙ} плануяиг-рьГ77-^8 ББК 22.1

15ВЫ 5-09-000482-Х

© Издательство «Просвещение», 1988

ПРЕДИСЛОВИЕ

Успешное обучение математике младших школьников, требует от учителя не только методического мастерства, но и глубокого понимания сути математических понятий и фактов. Дело не толь­ко в том, что в начальных классах закладываются основы таких важнейших понятий, как «число» и «величина», происходит озна­комление с элементами буквенной символики и геометрии, разви­ваются логические умения, но и в том, что многие математические понятия младшие школьники используют без строгих определений, а во многих случаях и неявно. Все это предъявляет особые требо­вания к математической подготовке учителя начальной школы. Он должен владеть понятиями натурального числа и величины, знать различные определения арифметических действий над числа­ми, их свойства, уметь выполнять и объяснять устные и письмен­ные вычисления, обосновывать выбор действия и устанавливать вид зависимости между величинами при решении текстовых задач. Учителю необходимо и умение использовать уроки математики для воспитания учащихся, в частности для формирования у них основ научного мировоззрения.

Данное учебное пособие написано в соответствии с програм­мой и нацелено на решение задачи обеспечения будущего учителя начальных классов математической подготовкой, необходимой ему для грамотного, творческого обучения и воспитания младших школь­ников, для дальнейшей работы по углублению и расширению ма­тематических знаний.

Структура пособия такова: весь материал разбит на пять глав, главы — на параграфы, параграфы — на пункты. Каждый пункт заканчивается упражнениями, предназначенными как для более глубокого усвоения теории, так и для формирования у будущего учи­теля ряда профессиональных умений. Например, умений решать текстовые задачи и анализировать математическое содержание заданий, выполняемых учащимися.

Профессиональная направленность пособия достигается по­средством определенного отбора теоретического материала и ме­тодических подходов к его изложению, путем включения заданий, выполняемых младшими школьниками (они в основном взяты из действующих учебников по математике для начальных классов).

При написании § 4 «Текстовые задачи и их решение» авторы использовали материалы, подготовленные С. Е. Царевой и Р. Н. Ши- ковой.

Глава I

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ

§ 1. Математические понятия

1. Введение

Математика, как и другие науки, изучает окружающий нас мир, природные и общественные явления, но изучает лишь их осо­бые стороны. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость и т. д. От всего этого отвлекаются, абстраги­руются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят: «Геометрическая фигура». Отрезок, луч, прямая, угол, окружность, квадрат — геометрические фигуры.

Результатом абстрагирования являются и такие важнейшие ма­тематические понятия, как «число» и «величина».

Вообще любые математические объекты — это результат выде­ления из предметов и явлений окружающего мира количествен­ных и пространственных свойств и отношений и абстрагирования их от всех других свойств. Следовательно, математические объекты реально не существуют, нет в окружающем нас мире геометри­ческих фигур, чисел и т. д. Все они созданы человеческим умом в процессе исторического развития общества и существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые обра­зуют математический язык.

Более того, при образовании математических объектов про­исходит не только абстрагирование от многих свойств соответ­ствующих предметов, но и приписывание им таких свойств, кото­рыми никакие реальные предметы не обладают. Например, в та­ком математическом объекте, как прямая, отражено не только свой­ство протяженности реальных предметов, но и, как известно, свойство неограниченной протяженности в обоих направлениях, хотя никакой из реально существующих предметов таким свойством не обладает.

Возникает вопрос: как же сложилось такое представление о математических объектах и зачем оно нужно?

Вот как отвечают на этот вопрос А. Д. Александров. А. Л. Вен­гер и В. И. Рыжик¹:

«Можно указать две основные причины того, что сложились и утвердились идеальные геометрические представления.

'Александров А. Д. н др. Геометрия для 9—10 классов: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.— М., 1984.— С. 6-7.

Первую причину легко понять из примера проведения отрезка. Землемеры в Древнем Египте втыкали в землю два колышка и протя­гивали между ними веревку. Но колышки можно взять потоньше, а вместо веревки •— тонкую нить. И не видно, почему нельзя уточ­нять это дальше.

Таким образом, первая причина состоит в том, что практика и наглядное представление всегда показывали и показывают воз­можность сделать формы тел и геометрическое построение более точными. Так, представляя себе продолжение отрезка прямой, мы не видели принципиальных ему границ, и возникает представление о неограниченно продолженной прямой.

Неточности связаны с особенностями материальных тел, с те­ми или иными условиями. Но все это является посторонним и слу­чайным по отношению к существу самих геометрических построений. Поэтому эти построения выступают в принципе как неограниченно уточняемые, так же как форма и размеры тела представляются в принципе неограниченно уточняемыми.

Отсюда возникает представление об идеальных геометриче­ских фигурах. Рассматривается, например, треугольник не дере­вянный, не железный, никакой другой, а треугольник вообще и, значит, идеальный треугольник.

Вторая причина того, что это представление сложилось и ут­вердилось, тесно связанная с первой, заключается в том, что точ­ное рассуждение требует идеально точно определенного предме­та. Для того, чтобы делать выводы, чтобы решать практические задачи, нужны четкие правила. А точные правила требуют точ­ных понятий, тем более точных понятий требует точная теория. В этом вторая причина утверждения идеальных понятий геометрии. Продолжающееся и теперь уточнение геометрических понятий не­разрывно связано с уточнением математических рассуждений — оп­ределений и доказательств. А точная теория нужна в конечном счете для применения в науке и технике, так же как в точной ра­боте нужен хороший точный инструмент».

К сказанному можно добавить, что, изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира, математи­ка не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый про­цесс. В математике рассматривают не только понятия, появив­шиеся при изучении реальных предметов, но и свойства понятий, возникших на основе первых. Например, понятие переменной являет­ся абстракцией конкретных переменных величин, т. е. абстракцией от абстракции.

В своем развитии математика прошла несколько этапов, соз­давая на каждом из них определенные способы познания и осмыс­ления разнообразных форм и количественных отношений материаль­ного мира. В частности, был создан широко распространенный в настоящее время такой метод изучения действительности, как ме­тод построения математических моделей. Он заключается в при­ближенном описании с помощью математической символики ка­кой-либо совокупности явлений внешнего мира. Изучая модели, мате­матика изучает тем самым и саму реальную действительность. Так, знание свойств функции у — кх позволяет описывать особен­ности зависимостей между различными величинами: временем и расстоянием прямолинейного равномерного движения, количеством и стоимостью товара и др.

Вообще абстрактность математики позволяет применять ее в самых разных областях знания, поскольку она представляет со­бой могущественный инструмент познания природы и создания тех­ники.

Упражнения

1. Решите следующие задачи и объясните, какие геометрические фигуры выступают в них в качестве идеальных моделей реальных предметов:

1) Длина школьного коридора 30 м, а ширина 5 м. Какова площадь школьного коридора? 2) Землетрясение распространяется на земной поверхности со скоростью 0,8 км/с. Какую площадь мо­жет охватить землетрясение через 10 с? 3) Прямоугольный участок земли размером 130X60 м окопали рвом шириной 1 м, причем ров выкопали на участке. Какова новая площадь участка? 4) Плаватель­ный бассейн прямоугольной формы имеет длину 50 м, ширину 24 м и глубину 3 м. Сколько кубических метров воды вмещает бассейн, если уровень воды в бассейне на 50 см ниже его борта?

2. Какая функция является моделью зависимостей, рассматри­ваемых в задачах:

1. Путь от Л до В турист прошел за 3 ч. За сколько времени турист прошел бы тот же путь, если бы шел в 1,5 раза быстрее?

2. Совхозное поле три трактора могут вспахать за 60 ч. За какое время вспашут это поле 9 таких тракторов?