2.Постановка задачи. Решение уравнений с одной переменной.

Во многих научных, инженерных и экономических задачах возникает необходимость решения уравнений вида

f(x, p1,...,pn) (1.1) где f - заданная функция; x- неизвестная величина; p1,...,pn - параметры задачи. Как правило, исследователя интересует поведение решений в зависимости от параметров pk . При каждом фиксированном наборе параметров pk уравнение (1.1) может иметь либо конечное, либо бесконечное количество решений x, что соответствует определенному физическому или экономическому смыслу конкретной задачи. Не нарушая общности задачи, можно поменять местами неизвестное x и любой из параметров pk, т.е. решать уравнение (1.1) относительно другой неизвестной величины. Решениями или корнями уравнения (1.1) называются такие значения x, которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество. В общем случае нелинейное уравнение (1.1) запишем в виде F(x) = 0, (1.2) где функция F(x) определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале [a, b]. Всякое число, обращающее функцию F(x) в нуль, т.е. такое, при котором, называется корнем уравнения (1.2). Нелинейные уравнения с одним неизвестным подразделяются на алгебраические и трансцендентные. Уравнение (1.2) называется алгебраическим, если функция является алгебраической функцией. Путем алгебраических преобразований из всякого алгебраического уравнения можно получить уравнение в канонической форме: Pn(x) = a0xn + a1xn-1 +...+an = 0 где a0 ,a1,...,an - коэффициенты уравнения, а x- неизвестное. Любое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один корень - вещественный или комплексный. Если функция F(x) не является алгебраической, то уравнение (1.2) называется трансцендентным. Примерами трансцендентных уравнений являются: x - sinx = 0; 2x - 2cosx = 0; lg(x+5) = cosx. Большинство нелинейных уравнений с одной переменной не решается путем аналитических преобразований, т.е. точными методами. На практике их решают только численными методами. Хотя иногда даже при наличии аналитического решения, имеющего сложный вид, бывает проще провести численное решение по известному алгоритму, чем программировать громоздкую аналитическую формулу. Численное решение уравнений и их систем состоит в приближённом определении корней уравнения или системы уравнений и применяется в случаях, когда точный метод решения неизвестен или трудоёмок. Численное решение задачи можно проводить как непосредственно (используя одноимённые методы), так и с применением оптимизационных методов, приведя задачу к соответствующему виду. Для вычисления выделенного корня в интервале [X1, X2] с заданной точностью e можно применять различные численные методы нахождения действительных корней уравнения (1.2): метод половинного деления; метод хорд; метод простой итерации; метод касательных (Ньютона); комбинированный метод.

3.Решение уравнений с одной переменной методом хорд.

Метод хорд Метод секущих — итерационный численный метод приближённого нахождения корня уравнения. Будем искать нуль функции f(x). Выберем две начальные точки C1(x1;y1) и C2(x2;y2) и проведем через них прямую. Она пересечет ось абсцисс в точке (x3;0). Теперь найдем значение функции с абсциссой x3. Временно будем считать x3 корнем на отрезке (x1;x2). Пусть точка C3 имеет абсциссу x3 и лежит на графике. Теперь вместо точек C1 и C2 мы возьмём точку C3 и точку C2. Теперь с этими двумя точками проделаем ту же операцию и так далее, то есть будем получать две точки Cn+1 и Cn и повторять операцию с ними. Отрезок, соединяющий последние две точки, пересекает ось абсцисс в точке, значение абсциссы которой можно приближённо считать корнем. Эти действия нужно повторять до тех пор, пока не получим значение корня с нужным приближением.

Алгебраическое описание метода секущих

Пусть x1,x2 — абсциссы концов хорды, y=kx+b — уравнение секущей, содержащей хорду. Найдем коэффициенты k и b из системы уравнений: .Вычтем из первого уравнения второе: , затем найдем коэффициенты k и b: , тогда .Уравнение принимает вид: . Таким образом, теперь можем найти первое приближение к корню, полученное методом секущих: . Теперь возьмем координаты и и повторим все проделанные операции, найдя новое приближение к корню. Таким образом, итерационная формула метода секущих имеет вид: . Повторять операцию следует до тех пор, пока |Xi-Xi-1| не станет меньше или равно заданному значению погрешности.