30. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Неявный метод Эйлера – Коши

Если на правой границе интервала использовать точное значение производной к решению (т.е. тангенса угла наклона касательной), то получается неявный метод Эйлера-Коши (метод трапеций) второго порядка точности.

yk +1	= yk +	h( f (xk , yk ) + f (xk +1	, yk +1 ))	(4.5)
		2

x_{k +1} = x_k + h

31.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Первый улучшенный метод Эйлера.

Первый улучшенный метод Эйлера

Данный метод использует расчет приближенного значения производной от решения в точке на середине расчетного интервала. Значение производной в середине получают применением явного метода Эйлера на половинном шаге по х.

yk +1/ 2 = yk +		h	f (xk , yk )
	2
yk +1	= yk + hf (xk +1/ 2 , yk +1 / 2 )			(4.7)
xk +1	= xk + h
xk +1 / 2 = xk + h / 2

Данная модификация метода Эйлера имеет второй порядок точности.

32.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутты.

Все рассмотренные выше явные методы являются вариантами методов Рунге-Кутты

Семейство явных методов Рунге-Кутты р-го порядка записывается в виде совокупности

формул:

^yk +1 ^{= y}k ^{+ y}k

y_k = ∑^p c_i K_i^k i=1

i−1

K_i^k = hf (x_k + a_i h, y_k + h∑b_ij K ^k_j )

j=1

i = 2,3..... p

Параметры a_i , b_ij , c_i подбираются так, чтобы значение соотношению (4.8) совпадало со значением разложения в точке

ряд Тейлора с погрешностью O(h ^p+1 )

33.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутты третьего порядка точности

Метод Рунге-Кутты третьего порядка точности
Один												из																			методов												Рунге-Кутты																														третьего												порядка
( p = 3, a = 0, a				2	=						1		, a		3		=												2			, b		=			1		, b		= 0, b			=			2		, c			=			1			, c				2			= 0, c			3				=				3			) имеет вид:
1					3																								3			21		3					31		32			3						1			4																					4
yk +1 = yk +			yk
yk =	1	(K1k + 3K3k )																																																																																		(4.9)
4
K1k = hf (xk , yk )
K2k = hf (xk			+			1			h, yk +												1									K1k )
						3												3
K3k = hf (xk			+			2			h, yk +															2						K 2k )
						3												3