23.Полюса и нули передаточной функции

Передаточная функция ЛНСС имеет вид рациональной функции, т.е. отношения двух полиномов от s. В соответствии с теоремой о разложении многочлена каждый многочлен степени nможет быть единственным образом представлен (факторизован) в виде произведения постоянной и n линейных множителей,

где sk – корни многочлена, корню sk кратности mk соответствует mk множителей (s -sk ).

При этом для многочленов с действительными коэффициентами комплексные корни обязательно встречаются только как комплексно - сопряженные пары. Иначе соответствующие коэффициенты многочлена не будут действительными. Каждая такая пара множителей перемножением может быть представлена как действительный квадратичный множитель .

Таким образом, рациональная передаточная функция системы с действительными коэффициентами может быть представлена в виде (факторизованная форма ПФ):

Здесь - корни многочлена – числителя, они называются нулями H(s),

- корни многочлена – знаменателя называются полюсами H(s), - усиление системы (gain). При этом каждая пара множителей с комплексно-сопряженными корнями можем быть объединена в один квадратичный член.

В точке нуля , в точке полюса .

Пример. Система второго порядка с передаточной функцией . Нули и полюса системы:

График передаточной функции такой системы.

Код: >> [x,y]=meshgrid(-2:0.05:1, -2:0.05:2); s=x+y*j;

>> H=(s+0)./((s+1).^2+1); surf(x,y,abs(H))

Из факторизованного выражения H(s) следует, что нули и полюса однозначно определяют передаточную функцию, а значит и саму систему с точностью до константы k - усиления системы. Следовательно, положение полюсов и нулей ПФ полностью определяет поведение передаточной функции и частотной характеристики системы, т.е. её динамические свойства. Поэтому добавление/удаление полюсов и нулей, выбор их положения широко используются в практике анализа и синтеза систем, чтобы получить систему с нужными свойствами.

В Matlab функция tf2zp(n,d) вычисляет нули, полюса и усиление системы по её системной функции H(s), а функция zp2tf(z,p,k), наоборот, преобразует полюсно – нулевое описание в передаточную функцию системы H(s).

Обычно полюса и нули для наглядности отображаются в виде точек на комплексной плоскости. Например, диаграмма полюсов и нулей для передаточной функции

Вычисление ПФ по расположению нулей и полюсов в Matlab

>> z = -1; p=[-2 1+j 1-j]; k =1; [num,den]=zp2tf(z,p,k)

num = 0 0 1 1

den = 1 0 -2 4 Поэтому

Если , то факторизованная ПФ системы дает её частотную характеристику в виде

Следовательно, АЧХ - произведение/частное членов вида .

Фазо - частотная характеристика равна сумме углов нулей системы минус сумма углов полюсов. Углы отсчитываются от действительной оси плоскости s.

24.Математическая модель САУ в пространстве состояний.

24. Для математического описания САУ по её функциональной схеме (рис. В1) определяется состав её отдельных звеньев, связанных друг с другом и с внешней средой. Основными формами представления операторов преобразования входных переменныхg(t) и f(t) в переменные выхода y(t) в конечномерных линейных непрерывных стационарных детерминированных моделях звеньев и САУ являются линейные дифференциальные уравнения,операторные функции передачи, временные и частотные характеристики [1, 2, 6].

Линейные дифференциальные уравнения описывают процессы, происходящие в каждом звене САУ в виде зависимости выходной величины x2(t) от входного воздействия x1(t). Эти уравнения называются математическими моделями звеньев и для звеньев разной физической природы составляются по законам соответствующей науки (механики, электротехники, термодинамики и др.), нелинейные уравнения линеаризуются. Совокупность уравнений (математических моделей) взаимосвязанных звеньев САУ образуют систему дифференциальных уравнений САУ, называемуюматематической моделью САУ [1, 2, 6].

Для описания математической модели САУ обычно используют три способа [1, 2]:

1) поэлементное описание САУ с учётом взаимодействия каждого звена с другими звеньями и с внешней средой, при этом модель САУ описывается системой дифференциальных уравнений, учитывающих все параметры звеньев, входные и выходные величины (координаты) процессов управления, что обеспечивает возможность физической интерпретации всех процессов управления;

2) системное описание САУ представляется одним уравнением, которое получается из поэлементного описания САУ методом подстановок для исключения промежуточных координат процесса управления и учитывает только зависимость выходного процесса (выходной величины) САУ от входного процесса (входных величин) при утрате возможностей физической интерпретации процессов управления, происходящих внутри САУ;

3) векторно-матричное описание САУ в пространстве переменных состояния системы, позволяющее учитывать все параметры и переменные величины (координаты) САУ и вести расчёты с применением ЭВМ при возможности физической интерпретации происходящих процессов управления в САУ.

Операторная функция передачи (ОФП) (передаточная функция) является важнейшим математическим описанием звена или САУ. ОФП получается из дифференциального уравнения в операторной форме при нулевых начальных условиях (1.1.3) в виде отношения изображений по Лапласу переменных выхода и входа. ОФП широко применяемая в операторно-структурном методе расчета САУ с использованием алгоритмических структурных схем [1, 2, 6]:

(1.1.4)

Временными характеристиками звена или САУ являются переходная функция h(t) и весовая функция w(t) [1, 2, 6].

Переходной функцией (переходной характеристикой) h(t)= =x2(t) звена или САУ называется реакция звена или САУ (переходный процесс выходной величины x2(t)) на единичное ступенчатое входное воздействие x1(t)=1[t] при нулевых начальных условиях.

Весовой функцией (функцией веса, импульсной переходной характеристикой) w(t)=x2(t) звена или САУ называется их реакция на единичное импульсное входное воздействие x1(t)=δ(t) (дельта-функцию или функцию Дирака) при нулевых начальных условиях. Дельта-функция или функция Дирака получается при дифференцировании единичной ступенчатой функции δ(t)==d1[t]/dt, при этом δ(t)=0 в любой момент времени t, кроме t=0, где величина импульса стремится к бесконечности при бесконечно малой продолжительности импульса, а площадь импульса равна единице ∫δ(t)dt=1. Весовая функция w(t) связана с переходной функциейh(t) операцией дифференцирования w(t)=dh(t)/dt.

Частотными характеристиками звена или САУ называются зависимости от частоты ω значений амплитуды А2(ω) и фазового сдвига φ(ω) выходной величины x2(t)=A2(ω) sin(wt+j) в установившихся режимах работы при единичном синусоидальном входном воздействии x1(t)=A1sinwt=1sinωt и изменении частоты ω от 0 до ∞ [1, 2, 6].

Основной частотной характеристикой звена или САУ является амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) (частотная передаточная функция, комплексный коэффициент передачи) W(jw), которая получается из передаточной функции (ОФП) W(p) звена или САУ при замене p=jw и изменении частоты ω от 0 до ¥. Например, для звена с ОФП (1.1.4) выражение АФХ запишется

(1.1.5)

где U(w), V(w) — вещественная и мнимая составляющие вектора W(jw); — амплитудная частотная характеристика (АЧХ); j(w)=arctg[V(w)/U(w)] — фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

В расчетах САУ часто используются логарифмические частотные характеристики.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) звена или САУ строится в прямоугольной системе координат, где по оси ординат в линейном масштабе указывается величина ЛАЧХ в децибелах

L(w)=20lg½W(jw)½=20 lg A(w), (1.1.6)

а по оси абсцисс в логарифмическом масштабе указывается частота ω в 1/с (при этом равномерные изменения частоты в 10 раз представляются декадами). Децибел равен 1/10 бела. Бел равен десятичному логарифму отношения мощностей на выходе и входе звена или пропорциональному мощностям отношению квадратов напряжений, токов, скоростей или других физических величин (1бел=lgP2/P1=lgU22/U12). Поэтому в (1.1.6) множитель 20=2

Математическое описание систем управления в нормальной форме пространства состояний

Пусть линейная стационарная одномерная система управления с входным воздействием и выходной координатой описывается моделью в виде дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами и в форме «Вход – выход»

или

(1)

Традиционно математическую модель (1) в нормальной форме пространства состояний для систем с записывают так [1, 2]:

;

. (2)

В качестве переменных состояния при представлении математических моделей (1) систем управления в нормальной форме пространства состояний выбираются выходная величина и ее производные.

Коэффициенты при этом вычисляют по формулам

; .

Если степень числителя передаточной функции, соответствующей исходному дифференциальному уравнению, меньше степени знаменателя , коэффициенты полагают равными нулю.

Анализ модели (2) показывает, что входное воздействие в системе при подаётся на вход последнего блока, а выходная координата формируется по первой переменной состояния. Так как каждая переменная состояния вычисляется на основе значений последующей переменной, то при численном интегрировании системы уравнений (2) на первом шаге при в функции входной переменной вычисляется только переменная состояния, на втором шаге переменная и т.д., то есть передача сигнала в системе происходит последовательно от последнего блока к первому, что противоречит естественному прямому порядку вычислений и принципу причинности.

С целью получения математической модели системы в форме пространства состояний с прямой причинно-следственной связью предлагается переменные в (1) вводить, начиная с n-й компоненты вектора состояния [3, 4]. Зададим для системы с переменные состояния v1, v2, ..., vn, связанные с выходной величиной x(t) и ее производными, соотношениями:

(3)

Отличие введённых координат состояния (3) состоит в том, что в качестве й компоненты вектора состояния принята выходная переменная системы, а первой компоненте вектора состояния соответствует производная выходной переменной. С учётом предложенного подхода в матричной форме пространства состояний система уравнений запишется так [5]:

;

. (4)

В модели системы управления в пространстве состояний нормальной формы (4), полученной на основании предложенного подхода, первая компонента непосредственно зависит от входного воздействия, а каждый последующий элемент вектора состояния вычисляется с использованием предыдущей переменной (вторая фазовая координата зависит от первой и т.д.). Выход системы формируется по й компоненте вектора состояния, являющейся в свою очередь функцией й компоненты фазовых координат, а следовательно и всех других координат состояния.

С целью исключения производных от входной величины в дифференциальных уравнениях для систем управления с моделями, содержащими полюсов и нулей, введем новые переменные состояния: , :

(5)

Коэффициенты при производных в правых частях дифференциальных уравнений (5) равны нулю при условиях

Откуда следует рекуррентная формула для вычисления численных значений коэффициентов

(6)

В общем случае для системы управления, передаточные функции которых содержат полюсов и нулей, математическая модель в нормальной форме пространства состояний в соответствии с предложенным подходом и (6) может быть представлена в виде

;

. (7)

Таким образом, предложенный подход к построению математических моделей в пространстве состояний нормальной формы позволяет записать модель системы управления с учётом прямой причинно-следственной связи (7) и избежать погрешностей при моделировании систем на компьютерах. Разработанная математическая модель обеспечивает единство методологических принципов при исследовании, анализе и синтезе систем управления по моделям «Вход – выход» и «Вход – состояние – выход».