Вариант № 3714293

1. B 13 . Бо­ко­вые ребра тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, каж­дое из них равно 3. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что

 

.

По­сколь­ку , далее имеем:

.

Ответ: 4,5.

Ответ: 4,5

2. B 13 . Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной фи­гу­ры равен раз­но­сти объ­е­мов ци­лин­дра с ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния 5 и вы­со­той 5 и ци­лин­дра с той же вы­со­той и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния 2:

 

.

Ответ: 105.

Ответ: 105

3. B 13 . Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 24. Одно из его ребер равно 3. Най­ди­те пло­щадь грани па­рал­ле­ле­пи­пе­да, пер­пен­ди­ку­ляр­ной этому ребру.

Ре­ше­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен , где – пло­щадь грани, а – вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к ней ребра. Тогда пло­щадь грани

 

.

Ответ: 8.

Ответ: 8

4. B 13 . В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ребро , ребро , ребро . Точка  — се­ре­ди­на ребра Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через точки и .

Ре­ше­ние.

Се­че­ние пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные грани по па­рал­лель­ным от­рез­кам. По­это­му че­ты­рех­уголь­ник  — па­рал­ле­ло­грамм. Кроме того, ребро пер­пен­ди­ку­ляр­но гра­ням и , по­это­му углы и — пря­мые. Сле­до­ва­тель­но, се­че­ние  — пря­мо­уголь­ник.

 

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем

 

 

Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна:

 

 

Ответ:5.

Ответ: 5

5. B 13 . Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной части ци­лин­дра равен

 

.

Ответ: 3,75.

Ответ: 3,75

6. B 13 . Диа­го­наль куба равна . Най­ди­те его объем.

Ре­ше­ние.

Диа­го­наль куба в раз боль­ше его ребра. По­это­му ребро куба равно

Тогда объем куба   .

Ответ: 729.

Ответ: 729

7. B 13 .

Конус впи­сан в шар. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су шара. Объем ко­ну­са равен 6. Най­ди­те объем шара.

 

Ре­ше­ние.

 

. .

 

Ответ: 24.

Ответ: 24

8. B 13 . В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де точка  — центр ос­но­ва­ния, вер­ши­на, , . Най­ди­те длину от­рез­ка .

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник . Он пря­мо­уголь­ный, т. к. — вы­со­та, она пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию , а зна­чит и пря­мой . Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

.

Ответ: 4.

 

Ответ: 4

9. B 13 . Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 60. Пло­щадь одной его грани равна 12. Най­ди­те ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани.

Ре­ше­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен , где — пло­щадь грани, а — вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к ней ребра. Тогда

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

10. B 13 . В тре­уголь­ной приз­ме две бо­ко­вые грани пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Их общее ребро равно 10 и от­сто­ит от дру­гих бо­ко­вых ребер на 6 и 8. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти этой приз­мы.

Ре­ше­ние.

Для вы­чис­ле­ния бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой , где – длина бо­ко­во­го ребра, а – пе­ри­метр пер­пен­ди­ку­ляр­но­го се­че­ния приз­мы:

 

.

Ответ: 240.

Ответ: 240