Вариант № 3701239

1. B 10 . Объем куба равен . Най­ди­те его диа­го­наль.

Ре­ше­ние.

Если ребро куба равно , то его объем и диа­го­наль да­ют­ся фор­му­ла­ми и Сле­до­ва­тель­но,

 

Тогда диа­го­наль равна 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

2. B 10 . Най­ди­те квад­рат рас­сто­я­ния между вер­ши­на­ми C и A₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го AB = 5, AD = 4, AA₁=3.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник в ко­то­ром яв­ля­ет­ся ги­по­те­ну­зой. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

В пря­мо­уголь­ни­ке   – диа­го­наль, = . Зна­чит,

 

Ответ: 50.

Ответ: 50

3. B 10 . Най­ди­те угол пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го =5, =4, =4. Дайте ответ в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

грань яв­ля­ет­ся квад­ра­том со сто­ро­ной 4, а – диа­го­наль этой грани, зна­чит, угол равен

Ответ: 45.

Ответ: 45

4. B 10 . В ци­лин­дри­че­ский сосуд на­ли­ли 2000 воды. Уро­вень воды при этом до­сти­га­ет вы­со­ты 12 см. В жид­кость пол­но­стью по­гру­зи­ли де­таль. При этом уро­вень жид­ко­сти в со­су­де под­нял­ся на 9 см. Чему равен объем де­та­ли? Ответ вы­ра­зи­те в .

Ре­ше­ние.

По за­ко­ну Ар­хи­ме­да объем де­та­ли равен объ­е­му вы­тес­нен­ной ею жид­ко­сти. Объем вы­тес­нен­ной жид­ко­сти равен 9/12 ис­ход­но­го объ­е­ма:

 

.

Ответ: 1500.

Ответ: 1500

5. B 10 . Вы­со­та ко­ну­са равна 8, а диа­метр ос­но­ва­ния — 30. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна

 

Ответ: 17.

Ответ: 17

6. B 10 . В куб впи­сан шар ра­ди­у­са 1. Най­ди­те объем куба.

Ре­ше­ние.

Ребро куба равно диа­мет­ру впи­сан­но­го в него шара, а объем куба равен кубу его ребра. От­сю­да имеем:

 

.

Ответ: 8.

Ответ: 8

7. B 10 . Объем куба равен 12. Най­ди­те объем че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся грань куба, а вер­ши­ной — центр куба.

Ре­ше­ние.

Объем пи­ра­ми­ды равен

 

.

Ответ: 2.

 

При­ме­ча­ние.

Куб со­сто­ит из 6 таких пи­ра­мид, объем каж­дой из них равен 2.

Ответ: 2

8. B 10 . В со­су­де, име­ю­щем форму ко­ну­са, уро­вень жид­ко­сти до­сти­га­ет вы­со­ты. Объём жид­ко­сти равен 70 мл. Сколь­ко мил­ли­лит­ров жид­ко­сти нужно до­лить, чтобы пол­но­стью на­пол­нить сосуд?

Ре­ше­ние.

Мень­ший конус по­до­бен боль­ше­му с ко­эф­фи­ци­ен­том 0,5. Объ­е­мы по­доб­ных тел от­но­сят­ся как куб ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му объем боль­ше­го ко­ну­са в 8 раз боль­ше объ­е­ма мень­ше­го ко­ну­са, он равен 560 мл. Сле­до­ва­тель­но, не­об­хо­ди­мо до­лить 560 − 70 = 490 мл жид­ко­сти.

 

Ответ: 490.

Ответ: 490

9. B 10 . Най­ди­те квад­рат рас­сто­я­ния между вер­ши­на­ми и мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые.

Ре­ше­ние.

рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

Ответ: 11.

 

Ответ: 11