Вариант № 3706719

1. B 10 . Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна , а вы­со­та — 1. Най­ди­те диа­метр ос­но­ва­ния.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра на­хо­дит­ся по фор­му­ле: ,

зна­чит, .

Ответ: 2

2. B 10 . Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти за­дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равна сумме пло­ща­дей па­рал­ле­ле­пи­пе­дов с реб­ра­ми 1, 6, 4 и 1, 4, 4 умень­шен­ной на удво­ен­ную пло­щадь квад­ра­та сто­ро­ной 4:

 

.

Ответ: 84.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние

Пло­щадь по­верх­но­сти за­дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равна пло­ща­ди пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да с реб­ра­ми 6, 4, 2 умень­шен­ной на 4 пло­ща­ди квад­ра­тов со сто­ро­ной 1:

Ответ: 84

3. B 10 . Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , , , пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да , у ко­то­ро­го , , .

 

Ре­ше­ние.

Из ри­сун­ка видно, что мно­го­гран­ник яв­ля­ет­ся по­ло­ви­ной дан­но­го пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Сле­до­ва­тель­но, объём ис­ко­мо­го мно­го­гран­ни­ка

 

 

 

Ответ: 30.

Ответ: 30

4. B 10 . В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де  — се­ре­ди­на ребра ,  — вер­ши­на. Из­вест­но, что , а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна . Най­ди­те длину от­рез­ка .

Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на апо­фе­му: . Тогда .

Ответ: 2

5. B 10 . Если каж­дое ребро куба уве­ли­чить на 1, то его пло­щадь по­верх­но­сти уве­ли­чит­ся на 54. Най­ди­те ребро куба.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти куба вы­ра­жа­ет­ся через его ребро как , по­это­му при уве­ли­че­нии длины ребра на пло­щадь уве­ли­чит­ся на

 

От­сю­да на­хо­дим, что ребро куба равно

.

Ответ: 4.

Ответ: 4

6. B 10 . Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти пря­мой приз­мы, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит ромб с диа­го­на­ля­ми, рав­ны­ми 6 и 8, и бо­ко­вым реб­ром, рав­ным 10.

Ре­ше­ние.

Сто­ро­на ромба вы­ра­жа­ет­ся через его диа­го­на­ли и фор­му­лой

 

.

Най­дем пло­щадь ромба

 

Тогда пло­щадь по­верх­но­сти приз­мы равна

Ответ: 248.

Ответ: 248

7. B 10 . В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де – се­ре­ди­на ребра , – вер­ши­на. Из­вест­но, что =5, а =6. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

От­ре­зок яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка , а зна­чит, и его вы­со­той. Тогда

 

Ответ: 45.

Ответ: 45

8. B 10 . Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са равна 12. Па­рал­лель­но ос­но­ва­нию ко­ну­са про­ве­де­но се­че­ние, де­ля­щее вы­со­ту по­по­лам. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти от­се­чен­но­го ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

Ис­ход­ный и от­се­чен­ный конус по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия 2. Пло­ща­ди по­верх­но­стей по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му пло­щадь от­се­чен­но­го ко­ну­са в 4 раза мень­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти ис­ход­но­го. Тем самым, она равна 3.

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

9. B 10 . Най­ди­те бо­ко­вое ребро пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы, если сто­ро­на ее ос­но­ва­ния равна 20, а пло­щадь по­верх­но­сти равна 1760.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы вы­ра­жа­ет­ся через сто­ро­ну ее ос­но­ва­ния и бо­ко­вое ребро как

 

Под­ста­вим зна­че­ния и :

 

,

от­ку­да на­хо­дим, что

Ответ: 12.

Ответ: 12

10. B 10 . Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти за­дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равна пло­ща­ди по­верх­но­сти пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да с реб­ра­ми 3, 5, 5:

 

.

Ответ: 110.

Ответ: 110