Вариант № 3657951

1.B 5 № 27686. Точки O(0; 0), A(10; 0), B(8; 6), C(2; 6) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми тра­пе­ции. Най­ди­те длину ее сред­ней линии DE.

Ре­ше­ние.

Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ее ос­но­ва­ний. Сле­до­ва­тель­но,

 

,

.

По­это­му сред­няя линия тра­пе­ции равна

.

Ответ: 8.

Ответ: 8

2. B 5 № 27925.

Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна ее мень­ше­му ос­но­ва­нию, угол при ос­но­ва­нии равен 60°, боль­шее ос­но­ва­ние равно 12. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этой тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тра­пе­ции, опи­са­на и во­круг тре­уголь­ни­ка . Это тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, угол при вер­ши­не равен 120°, углы при ос­но­ва­нии равны 30°. Най­дем его бо­ко­вую сто­ро­ну:

 

от­ку­да Тогда по тео­ре­ме си­ну­сов:

 

Ответ: 6.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние (Р. А., СПб.).

 

Хорды AD, DC и CB равны, по­это­му равны и стя­ги­ва­е­мые ими дуги. Впи­сан­ный угол А равен 60°, он опи­ра­ет­ся на две из этих дуг и равен по­ло­ви­не их суммы. По­это­му каж­дая из дуг равна 60°, их сумма равна 180°, а хорда АВ яв­ля­ет­ся диа­мет­ром. От­сю­да по­лу­ча­ем, что ис­ко­мый ра­ди­ус равен 6.

Ответ: 6

3. B 5 № 27582. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, если его диа­го­наль равна 1.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь квад­ра­та равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей. По­это­му она равна 0,5.

 

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

4. B 5 № 27576. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна раз­но­сти пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка и двух рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков. По­это­му

 

см².

Ответ: 6.

Ответ: 6

5. B 5 № 27941. В че­ты­рех­уголь­ник впи­са­на окруж­ность, , и . Най­ди­те чет­вер­тую сто­ро­ну че­ты­рех­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

В че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда зна­чит,

 

Ответ: 14.

Ответ: 14

6. B 5 № 27689. Най­ди­те абс­цис­су точки пе­ре­се­че­ния пря­мых, за­дан­ных урав­не­ни­я­ми 3x + 2y = 6 и y = x.

Ре­ше­ние.

Решая си­сте­му этих двух урав­не­ний, по­лу­ча­ем, что y = x = 1,2.

 

Ответ: 1,2.

Ответ: 1,2

7. B 5 № 27456. Най­ди­те тан­генс угла .

Ре­ше­ние.

До­стро­им угол до тре­уголь­ни­ка , . делит ос­но­ва­ние по­по­лам, зна­чит, – вы­со­та. Из ри­сун­ка на­хо­дим .

 

.

 

При­ме­ча­ние.

Можно за­ме­тить и до­ка­зать, что рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABO яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным. Тогда углы AOB и OАB равны 45°, а их тан­ген­сы равны 1.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

8. B 5 № 27836.

Пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из вер­ши­ны ту­по­го угла на боль­шее ос­но­ва­ние рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, делит его на части, име­ю­щие длины 10 и 4. Най­ди­те сред­нюю линию этой тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

сред­няя линия тра­пе­ции равна:

.

Ответ: 10.

 

Ответ: 10

9. B 5 № 315122. На клет­ча­той бу­ма­ге на­ри­со­ва­ны два круга. Пло­щадь внут­рен­не­го круга равна 51. Най­ди­те пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры.

 

Ре­ше­ние.

Пло­ща­ди кру­гов от­но­сят­ся как квад­ра­ты их ра­ди­у­сов. По­сколь­ку ра­ди­ус боль­ше­го круга вдвое боль­ше ра­ди­у­са мень­ше­го круга, пло­щадь боль­ше­го круга вчет­ве­ро боль­ше пло­ща­ди мень­ше­го. Сле­до­ва­тель­но, она равна 204. Пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­дей кру­гов: 204 − 51 = 153.

 

Ответ: 153.

Ответ: 153

10. B 5 № 27544. На клет­ча­той бу­ма­ге с клет­ка­ми раз­ме­ром 1 см 1 см изоб­ра­жен тре­уголь­ник (см. ри­су­нок). Най­ди­те его пло­щадь в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию. По­это­му

см².

Ответ: 6.

Ответ: 6