Вариант № 3658804

1. B 5 № 27658. Най­ди­те ор­ди­на­ту се­ре­ди­ны от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки A(6, 8) и B(-2, 2).

Ре­ше­ние.

Ко­ор­ди­на­ты точки, де­ля­щей от­ре­зок по­по­лам, счи­та­ют­ся по фор­му­ле:

 

, .

Ответ: 5.

Ответ: 5

2. B 5 № 27598. Най­ди­те пло­щадь сек­то­ра круга ра­ди­у­са , цен­траль­ный угол ко­то­ро­го равен 90°.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь сек­то­ра круга, цен­траль­ный угол ко­то­ро­го равен n° равна чет­вер­ти пло­ща­ди круга. По­это­му

 

.

Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

3. B 5 № 55603.

Пло­щадь круга равна . Най­ди­те длину его окруж­но­сти.

Ре­ше­ние.

Пусть ра­ди­ус окруж­но­сти равен R, тогда пло­щадь круга опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой S = πR², длина окруж­но­сти опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой l = 2πR. По­это­му

 

, , зна­чит,

Ответ: 42.

Ответ: 42

4. B 5 № 27561. На клет­ча­той бу­ма­ге с клет­ка­ми раз­ме­ром 1 см 1 см изоб­ра­жен па­рал­ле­ло­грамм (см. ри­су­нок). Най­ди­те его пло­щадь в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию или его про­дол­же­нию. По­это­му

см².

При­ме­ча­ние.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна раз­но­сти пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка и двух рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. По­это­му

 

см².

Ответ: 12.

Ответ: 12

5. B 5 № 27924. Около тра­пе­ции опи­са­на окруж­ность. Пе­ри­метр тра­пе­ции равен 22, сред­няя линия равна 5. Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

тра­пе­ция – рав­но­бед­рен­ная, т. к. во­круг неё опи­са­на окруж­ность.

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

6. B 5 № 244983. Най­ди­те пло­щадь ромба, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

 

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го квад­ра­та, двух ма­лень­ких квад­ра­тов и четырёх пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го тре­уголь­ни­ка. По­это­му

 

.

 

При­ме­ча­ние.

Наш четырёхуголь­ник — ромб, его пло­щадь равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей. По­это­му она равна 3.

Ответ: 3

7. B 5 № 27679. Точки O(0; 0), A(10; 8), B(8; 2) и C яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те абс­цис­су точки C.

Ре­ше­ние.

Пусть точка P яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ков OA и BC.

Ко­ор­ди­на­ты точки P вы­чис­ля­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

, ,

но с дру­гой сто­ро­ны,

, .

По­это­му ,

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

8. B 5 № 27720. Сто­ро­ны пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равны . Най­ди­те длину век­то­ра .

Ре­ше­ние.

До­стра­и­ва­ем тре­уголь­ник до ромба. По­сколь­ку не­об­хо­ди­мо найти длину боль­шей диа­го­на­ли ромба, рав­ную удво­ен­ной длине ме­ди­а­ны рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка. Таким об­ра­зом, имеем:

 

.

 

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

9. B 5 № 27572. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту. По­это­му

 

см².

Ответ: 9.

Ответ: 9

10. B 5 № 244995. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

 

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го пря­мо­уголь­ни­ка и двух оди­на­ко­вых тре­уголь­ни­ков, пло­ща­ди ко­то­рых равны по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию. По­это­му

 

.

 

При­ме­ча­ние.

От­ре­зав от фи­гу­ры верх­ний пра­вый пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 1 и 2, можно при­ло­жить его к ле­во­му ниж­не­му пря­мо­уголь­но­му тре­уголь­ни­ку, до­стро­ив тем самым фи­гу­ру до пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 1 и 3, пло­щадь ко­то­ро­го равна 3.

Ответ: 3

Ре­ше­ние.

Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен сумме длин его сто­рон. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его длины на ши­ри­ну. Пусть одна из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна a, вто­рая равна b. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка будет со­от­вет­ствен­но равен P = 2   a + 2   b = 28. Диа­го­наль об­ра­зу­ет в пря­мо­уголь­ни­ке два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра a² + b² = 100. Тогда имеем:

 

 

Тем самым, S = a · b = 48.

 

Ответ: 48.

Ответ: 48

Ре­ше­ние.

Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го пря­мо­уголь­ни­ка, ма­лень­ко­го пря­мо­уголь­ни­ка и двух пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го четырёхуголь­ни­ка. По­это­му

 

.

 

При­ме­ча­ние.

За­дан­ный четырёхуголь­ник можно рас­смат­ри­вать как два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 1 и 2, ко­то­рые, при­ло­жив их ги­по­те­ну­зы друг к другу, можно сло­жить в пря­мо­уголь­ник со сто­ро­на­ми 1 и 2, пло­щадь ко­то­ро­го равна 2.

Ответ: 2

Ре­ше­ние.

Диа­го­наль пря­мо­уголь­ни­ка об­ра­зу­ет два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка. Диа­го­наль равна диа­мет­ру окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, сле­до­ва­тель­но, центр окруж­но­сти лежит на се­ре­ди­не диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка. Тогда можно легко найти ко­ор­ди­на­ты цен­тра окруж­но­сти.

 

, .

Ответ: 1.

Ответ: 1

Ре­ше­ние.

про­ве­дем вы­со­ту из точки на про­дол­же­ние сто­ро­ны . Тогда:

 

.

Ответ: -2.

 

Ответ: -2