Интерпретация таблицы истинности импликации

1-я строка: истинное высказывание В может вытекать из истинного высказывания А: если А и В истинно, то А→В – истинно.

2-я строка: ложное высказывание В не может вытекать из истинного А, следовательно А→В – ложно.

3-я строка: истинное высказывание В может вытекать из ложного А, т.е. А→В – истинно.

4-я строка: если В - ложно, то А, из которого оно следует – ложно, а А→В – истинно.

Импликация принципиально отличается от других видов логической связи между суждениями (конъюнкции, дизъюнкции и эквиваленции) тем, что она не обладает свойством коммуникативности: из «если А, то В» ни в коем случае не следует «если В, то А».

Основная сложность интерпретации импликации обусловлена тем, что в математической логике она особых проблем не вызывает, но в рамках содержательных суждений возникают так называемые парадоксы материальной импликации, вследствие объединения в условном суждении двух простых суждений, не связанных между собой по смыслу, например: «если 2х2=4, то троллейбус едет».

Для приближения понимания импликации к тому отношению видимости, которым люди интуитивно руководствуются в содержательных (неформальных) рассуждениях, неоднократно проводились попытки введения понятия строгой импликации. Так, еще 1912 г. К. Льюис построил систему исчисления на основе модальных понятий «возможно» и «необходимо». При интерпретации строгой импликации К. Льюиса как логического следования получается: 1) из невозможного высказывания следует любое; 2) необходимое высказывание следует из любого. Таким образом, К. Льюис устранив один парадокс материальной импликации оказался перед другими. Известна также попытка построить систему строгой импликации, предпринятая В. Аккерманом, содержащая 15 аксиомных схем. В дальнейшем оказалось, что некоторые правила этой системы остались недоказанными.

Схема 3.13. Эквивалентные суждения (двойная импликация)

Эквивалентные суждения – сложные суждения, состоящие из двух простых, связанных двойной (прямой и обратной) условной зависимостью, выражаемой логическим союзом «если и только если…, то».

Логическая природа

В эквивалентных суждениях утверждается, что каждая из двух ситуаций является взаимно необходимой и достаточной для другой.

Способы выражения логического союза «ЕСЛИ И ТОЛЬКО ЕСЛИ…, ТО» в естественном языке: «если и только если…, то», «только тогда, когда…», «лишь при условии, что…» и другими по контексту.

Символическое обозначение: АВ, А≡В, АВ, А~В.

Истинность эквивалентных суждений

А	В	А  В
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	и

Союз «если и только если…, то» в эквивалентности суждении также, как и в условном суждении союз «если…, то…», выражает лишь отношение между составляющими их простыми суждениями, но не по смысловой связи между ними.

Соотношение эквивалентности характеризуется: симметричностью (если А эквивалентно В, то и В эквивалентно А); транзитивностью (если А эквивалентно В и В эквивалентно С, то и А эквивалентно С), рефлективностью (А эквивалентно самому себе).

Значение логической эквивалентности позволяет упростить запись последовательности формул, перейти от одного суждения к логически эквивалентному суждению, не меняя истинности (или ложности) исходного, например: АВ равносильно (А→В) Λ (В→А), АВ равносильно (А V В) Λ (В V А), АВ равносильно (А Λ В) V (А Λ В).

Эквивалентное суждение истинно в тех случаях, когда оба суждения принимают одинаковые истинностные значения.

Схема 3.14. Логические схемы и способы выражения импликации и эквиваленции в естественном языке

Известны разнообразные способы выражения в естественном языке импликации и эквиваленции.

(По С. Клини, в интерпретации А.Д. Гетмановой)