1. Шартты ықтималдық ұғымы

Бұл тақырыптағы жоспарымыз бір-бірімен байланысты екі мысал қарастыру арқылы шартты ықтималдық ұғымына біртіндеп келу.

5.1 –мысал. Х₁ жәшігінде 2 ақ, 1 қара шар болсын. Сынақ – осы жәшіктен бір шарды кездейсоқ таңдау. Ақ шар шығу ықтималдығын табыңдар.

Ш е ш у і. Анықтық үшін жәшіктегі ақ шарларды 1 және 2 сандарымен, ал қара шарды 3 санымен сәйкестендірейік. Сонда бұл сынақтың элементар оқиғалар кеңістігі

және элементар оқиғалар тең мүмкіндікті болады. Онда (2.3)-те көрсеткеніміздей

.

Ақ шар шығуын білдіретін оқиға

жиыншасымен бейнеленеді. Онда классикалық анықтама бойынша А оқиғасының ықтималдығы

.

Келесі мысалда 5.1 –мысалдағы сынақты құрамдас бөлік ретінде қамтитын кеңірек мағынадағы сынақты қарастырайық.

5.2 –м ы с а л. 5.1 –мысалдағы 2 ақ, 1 қара шары бар Х₁ жәшігімен бірге 2 ақ, 3 қара шары бар Х₂ жәшігі берілген. Сынақ –берілген екі жәшіктің кездейсоқ біреуін таңдап, таңдалған жәшіктен кездейсоқ бір шарды алып шығу. Ақ шар шығу ықтималдығын табыңдар.

Ш е ш у і.

1-мысал. Қызыл және қара түсті екі ойын сүйегі бір мезгілде лақтырылады.

а) түсетін ұпайлардың қосындысы 8 болу ықтималдығын табу керек

б) қызыл сүйекте жұп ұпай түседі деп есептеп, түсетін ұпайлардың қосындысы 8 болу ықтималдығын қайта есепте

Шешуі:

А)

- қызылда , - қарада түскен ұпай

,

Ықтималдықтың классикалық анықтамасын қолданамыз

б) ,

(5.1)

,

- В оқиғасы орындалады деп ұйғарғандағы А оқиғасының

шартты ықтималдығы деп аталады

Мұндағы А оқиғасының а) пунктіндегі есептелген ықтималдығы шартсыз ықтималдық деп аталады , ал б) пунктіндегі есептелген ықтималдығы шартты ықтималдық деп аталады .

___6___

2-мысал.

Ұзындығы l-ге тең кесіндіге бірінен соң бірі екі нүкте лақтырылады.

а) екі нүктенің арақашықтығы -ден аспау ықтималдығын табу керек

б) егер бірінші нүктенің координатасы -ден аспайтыны белгілі болса, онда

екі нүктенің арақашықтығы -ден аспау ықтималдығын есепте

Шешуі:

(5.2)

(5.1) – классикалық схемадағы шартты ықтималдықтың анықтамасы

(5.2) – геометриялық модельдегі шартты ықтималдықтың анықтамасы

Мақсатымыз барлық модельге жарайтын шартты ықтималдықтың жалпы анықтамасын беру.

Ол үшін (5.1)-ң алымын да, бөлімін де -ға бөлеміз. (5.2)-ні -ге бөлсек, онда

Анықтама: - қандайда бір ықтималдық кеңістік . А,В – оқиғалар, .

В орындалады деп ұйғарғандағы А оқиғасының шартты ықтималдығы деп санын айтады және оны деп белгілейді .

(5.3)

Ықтималдықтарды көбейту формуласы

(5.2)-ден

Сол сияқты (6.1)

Бұл формулалар екі оқиға үшін ықтималдықты көбейту формулалары деп аталады. А,В,С- үш оқиға үшін ықтималдықты көбейту формулаласы

болдаы.

- оқиғалары үшін ықтималдықты көбейту формулаласы

(6.2)

Ықтималдықтарды қосу формуласы

Р3) аксиомасы : Егер АВ=ø болса , онда

Енді А,В үйлесімсіз деген шарт болмаса , онда

(7.1)

болатынын көрсетейік .

Дәлелдеуі: Алдымен мынанын болатынын көрсетейік

(7.2)

Онда Р3) бойынша болады , осыдан (7.2) шығады.

Енді (7.1) былай дәлелденеді : ,тағыда Р3) бойынша

Үш оқиға үшін қосу формуласы:

болатыны (7.1)-ден шығады.