37. Еліпс: означення, рівняння, графік, вершина, півосі, фокуси, ексцентриситет, директриси.

Еліпсом називають множину всіх точок площини, сума відстаней яких від двох даних точок цієї площини, які називаються фокусами, є величина стала і більша від відстані між фокусами.

X^2/a^2 + y^2/b^2=1 – рівняння еліпса

Точки F1 і F2 називають фокусами еліпса, а відстань між ними — фокусною відстанню, її позначають через 2c, отже, модуль F1F2=2c. Суму відстаней від будь-якої точки M еліпса до фокусів F1 і F2 позначимо 2a. Тоді за означенням маємо: 2a>2c, a>c. Звідси можна сказати, що еліпс складається з таких і тільки таких точок M , які задовольняють умові: МОДУЛЬ F1M+F2M=2a

Точки A, A1, B, B1 перетину еліпсу з осями прямокутної системи координат, вибраної так щоб початок координат був серединою відрізка МОДУЛЬ F1F2, а вісь Ox збігалася з прямою (F1F2), називають вершинами еліпсу.

Відрізок МОДУЛЬ A1A2=2a, що проходить через обидва фокуси F1 і F2, називають великою віссю еліпса, а перпендикулярний йому відрізок МОДУЛЬ B1B2=2b, що перетинається з великою віссю в центрі еліпса O – відповідно його малою віссю. Довжина цих відрізків відповідає умові a^2-b^2=c^2. Еліпс симетричний відносно своїх осей та центру.

Число e=c/a це ексцентриситет еліпса, величина, що характеризує його витягнутість; для еліпсу e<1. Прямі, рівняння яких x=-a/e та x=a/e називаються директрисамиеліпса; співвідношення відстані від будь-якої точки еліпса до найближчого фокусу до відстані до найближчої директриси стале і дорівнює ексцентриситету.

Зауважимо, що величинами, які характеризують еліпс, є велика і мала півосі a і b, відстань c фокуса від центру, ексцентриситет e. Залежність між ними виражається формулами: a^2=b^2+c^2, e=c/a. Тому, щоб скласти рівняння еліпса, досить знати або півосі a і b, або одну піввісь і ексцентриситет і т.д.

Якщо точки F1 і F2 збігаються, то еліпс стає колом радіуса A. При цьому a=b, e=0. Отже, коло є окремим випадком еліпса.

38. Гіпербола.

Геометричне місце точок, різниця відстаней від кожної з який до двох даних точок, які називаються фокусами, є постійною величиною, називається гіперболою.

- канонічне рівняння гіперболи.

Досліджуємо форму гіперболи.

1. Знайдемо точки перетинання з осями.

OX: y = 0,  ,  , A(a;0) , B(-a;0).

OY: x = 0,  ,  .

Визначення 2. Точки A і B називаються вершинами гіперболи.

2. З виду рівняння випливає, що лінія симетрична щодо осей OX, OY і початку координат.

3.  Þ  Þ  .

Отже, крива розташована поза прямокутником зі сторонами 2а і 2b.

Отже, крива розташована поза прямокутником зі сторонами 2а і 2b.

Визначення 3. Параметр a називається дійсною піввіссю гіперболи, а параметр b називається мнимою піввіссю.

Визначення 4. Прямі  називаються асимптотами гіперболи.

При зростанні х гіпербола необмежено наближається до асимптот.

Визначення 5. Відношення фокусної відстані гіперболи до її дійсної осі називається ексцентриситетом.

.