34. Різновиди рівняння прямої в просторі: канонічне, параметричне, за 2 точками. Пряма як перетин двох площин.

Рівняння прямої, що проходить через дві різні точки в просторі

	x- x1	=	y- y1	=	z- z1
x2 - x1			y2 - y1		z2 - z1

Якщо пряма, що проходить через дві точки A(x1, y1, z1) і B(x2, y2, z2), такі що x1 ≠ x2, y1 ≠ y2 і z1 ≠ z2 торівняння прямої можна знайти, якщо використати наступну формулу

Параметричне рівняння прямої в просторі

Параметричне рівняння прямої може бути записане наступним чином

	x= l t+ x0
	y= m t+ y0
	z= n t+ z0

где (x0, y0, z0) - координати точки, що лежить на прямій, {l; m; n} - координати напрямного вектора прямої.

Якщо відомі координати точки A(x0, y0, z0), що лежить на прямій і напрямного вектора n ={l;m; n}, то рівняння прямої можна записати у каноничному вигляді, якщо використати наступну формулу

x- x0	=	y- y0	=	z- z0
l		m		n

Пряма як лінія перетину двох площин

Якщо пряма є перетином двох плщин, то її рівняння можна задати наступною системою рівнянь

	A1x + B1y+ C1z+ D1 = 0
	A2x+ B2y+ C2z+ D2 = 0

A1	=	B1	=	C1	.

35. Кут між прямими у просторі. Кут між прямою і площиною. Умови паралельності та перпендикулярності прямої і площини. Знаходження точки перетину прямої і площини.

Cos q = ̅̅l1* ̅l2/̸̅l1̸*̸̅l2̸ = (m1m2+k1k2+p1p2)/(m1^2+k1^2+p1^2)^0.5*(m2^2+k2^2+p2^2)^0.5 - кут між прямими.

Пряма L задана канонічним рівнянням

x- x0	=	y- y0	=	z- z0
m		k		p

А площина y – загальним Ax+By+Cz+d=0

Sin ф = cos a = (вектора l*n)/модуль l*n=(Am+Bk+Cp)/(m^2+k^2+p^2)^0.5*(A^2+B^2+C^2)^0.5

Умови паралельності та перпендикулярності прямої та площини

L паралельна y…̅l перпендикулярна ̅n…Am+Bk+Cp=0

L перпен. Y…̅l парал. ̅n…m/A=k/B=p/C1

Знаходження точки перетину прямої та площини

Потрібно скласти систему рівнянь з

x- x0	=	y- y0	=	z- z0
m		k		p

Та Ax+By+Cz+d=0 та розв'язати, для чого перейдемо від канонічного до параметричного рівняння прямої

X=Xo+mt, y=Yo+kt, z=Zo+pt

Підставивши їх у загальне рівняння площини, знайдемо значення параметра t=to. Отримане значення to підставляємо у параметричне рівняння прямої та знаходимо шукану точку Mo.

36. Поняття кривих ліній другого порядку. Дослідження рівняння другого порядку. Коло.

Лінія другого порядку – це множина точок, координати яких задовольняють рівнянням виду Ах2+Вy2+Схy+Дх+Еy+F=0, (*) Де А,В,С,Д,E,F – дійсні числа.

Колом вважають множину точок площини відстані яких від даної точки площини (центра кола) дорівнюють сталому числу (радіусу). Щоб вивести рівняння кола, використаємо прямокутну систему координат 0ху; позначаємо через О1(а,в) – центр кола, через М (х;у) – довільну точку площини і через R - радіус кола. Точка М лежить на колі тоді і лише тоді, коли O1M=R, або  Піднесемо обидві частини до квадрату Це канонічне рівняння кола.  Якщо центр кола лежить в початку координат, то  х2+y2 = R2  Загальне рівняння кола буде мати вигляд х2 + y2 + mx + ny + p = 0, тобто 1. Коефіцієнт при х2 і y2 рівні між собою 2. У рівнянні відсутній член с ХУ.