30. Мінори та алгебраїчні доповнення

Мінором елемента визначниа n-го порядку називається визначник (n-1)-го порядку, який одержимо з даного визначника шляхом викреслювання i-го рядка та j-го стовпчика, на перетині яких знаходиться елемент

Алгебраїчним доповненням елемента визначника називають мінор цього елемента, взятий із знаком плюс, якшо сума рядків і стовпчиків число парне, та зі знаком мінус, коли непарне, тобто:

31. Різновиди рівняння площини у просторі за 3 точками, у відрізках на осях, нормальне.

1. Нехай задано 3 точки площини: М1, М2, М3, а М – деяка змінна точка площини.

Вектори М1М=(Х-Х1, У-У1, Z-Z1) та М1М2= (Х2-Х1, У2-У1, Z2-Z1) і М1М3 =(X3-X1, Y3-Y1, Z3-Z1) лежать у шуканій площині, тобто компланарні, тому мішаний добуток цих векторів дорівнює 0.

x-x1 y-y1 z-z1

x2-x1 y2-y1 z2-z1 = 0 - рівн за 3 точками

x3-x1 y3-y1 z3-z1

2. x/a+y/b+z/c=1 – це рівняння площини у відрізках на осях,

Де a,b,c – відрізки, які відсікає площина відповідно на осях Ox, Oy, Oz.

3. xcos a+ycos b+zcos y – p = o – нормальне рівняння площини,

Де cos a, cos b, cos y -напрямні косинуси вектора нормалі, р – довжина вектора нормалі(p>0).

Для того, щоб від загального рівн. Площини перейти до нормального, потрібно:

М= +-1/(A^2+B^2+C^2)^0.5

+ АБО – ОБИРАЄТЬСЯ протилежно до D у загальному рівнянні.

32. Рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора. Загальне рівняння площини.

1. Нехай Мо(Xo, Yo, Zo) – задана точка площини, вектор n(A, B,C) перпендикулярний цій площині, а M(x, y, z) – деяка змінна точка площини.

Оскільки n=(А, В, С) перпендик. Вектору МoM, то вект. N*MoM=0, звідки маємо A(X-Xo)+B(Y-Yo)+C(Z-Zo)=0 – шукане рівняння площини.

А(х – х₀) + В(у – у₀) + C(z – z₀) = 0 або Ах + By + Cz + D = О – загальне рівняння площини.

Дослідимо загальне рівняння площини:

1. D = 0; Ax + By + Cz = 0 – рівняння площини, що проходить через точку О(0;0;0);

2. С = 0; Ax + By + D = 0 – рівняння площини паралельної осі Oyz;

3. С = D = 0; Ax + By = 0 – рівняння площини, що проходить через вісь Oz;

4. В = С = 0; Ax + D = 0 – рівняння площини паралельної площині Oyz

5. х = 0; у = 0; z = 0 – рівняння координатних площин.

6. А=0, ПАРАЛЕЛ Ох

7. В=0 паралел Оу

8. А=В=0 паралел хОу

9. А=С=0 парал xOz

10. A=B=D=0 z=0 – площина yOx тощо.

33. Кут між площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин. Відстань від точки до площини.

Двогранний кут між площинами дорівнює куту утвореному нормальними векторами цих площин.

Двогранний кут між площинами дорівнює куту утвореними прямими l1 і l2, що лежать в відповідних площинах і перпендикулярні лінії перетину площин.Якщо задані рівняння площин A1x+ B1y+ C1z+ D1 = 0 і A2x+ B2y+ C2z + D2 = 0, то кут між площинами можна знайти, використавши наступну формулу

cos α   =	|A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|
	(A12 + B12 + C12)1/2(A22 + B22 + C22)1/2

Умова паралельності площин:

Умова перпендикулярності площин:

Відстань від точки до площини — дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з точки на площину.

d  =	|A·Mx+ B·My+ C·Mz+ D|
	(A2 + B2 + C2)1/2

Якщо задано рівняння площини Ax+ By+ Cz+ D = 0, то відстань від точки M(Mx, My, Mz) до площини можна знайти використовуючи наступну формулу