20. Векторне рівняння прямої та загальне рівняння прямої і його частинні випадки.

Векторне рівняння прямої має вигляд:

r = r1 + St,

де г — радіус-вектор довільної точки М;

r1 — радіус-вектор заданої точки M1;

S — напрямний вектор, що паралельний заданій прямій; t — змінний параметр.

Y= ax+by+c – загальне рівняння прямої.

1. Якщо a = 0, то рівняння матиме вигляд by + С; це означає, що пряма паралельна

осі Ох.

2.Якщоа= 0, с = 0, то рівняння матиме вигляд у = 0 ,тобто одержимо рівнян-

ня осі Ох.

3.Якщ b = 0,то рівняння матиме вигляд ах + с = 0,або х = 0,тобто всі точки

С прямої матимугь ту саму абсцису; це означає, що пряма паралельна осі Оу.

4. Якщо b — 0, с — 0, то рівняння набуває вигляд х = 0, тобто одержимо рівняння осі Оу.

5.Якщос = 0,торівнянняматимевигляд ах + by = О.Церівняннязадовольня-ють координати точки 0(0,0) і, отже, пряма проходитиме через початок координат.

21. Нормальне рівняння прямої та рівняння пучка прямих.

Вектор, опущений з початку координат перпендикулярно на пряму, назив. Вектором нормалі цієї прямої.

xcos a+ ysin a – p = 0,

при цьому p – довжина перпендикуляра, який опущено з початку координат на пряму, a – кут, який цей перпендикуляр утворює з додатнім напрямком осі Ox.

Рівняння прямої, що проходить через задану точку A(x, y) у

заданому напрямі, має вигляд y –yA=k (x- x A ), де k – кутовий коефіцієнт заданого

напрямку. Це рівняння називають також рівнянням пучка прямих, які проходять через

одну й ту ж точку (центр пучка) у різних напрямах.

22. Канонічне рівняння прямої. Умови паралельності та перпендикулярності.

Якщо відомі координати точки A(x0, y0, z0), що лежить на прямій і напрямного вектора n = {l; m; n}, то рівняння прямої можна записати у каноничному вигляді, якщо використати наступну формулу:

x- x0	=	y- y0	=	z- z0
L		m		n

Умовою паралельності є (x-x0)/A=(y-yo)/B=(z-z0)/С або A1/A2=B1/B2, k1=k2

M(xo, yo) – рівняння прямої проходить через точку М паралельно до вектора n(A, B).

Умовою перпендикулярності є A1A2+B1B2=0, k2= -1/k1.

23. Рівняння з кутовим коефіцієнтом. Відстань від точки до прямої.

Загальне рівняння прямої коли B≠0 можна привести к вигляду

y= k x + b, де k - кутовий коефіцієнт, який дорівнює тангенсу кута, утвореного даною прямою і додатним напрямком осі ОХ.

Відстань від точки до прямої — дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.

d =	|A·Mx+ B·My+C|
	(A^2 + B^2)^1/2

Якщо задане рівняння прямої Ax + By + C = 0, то відстань від точки M(M, My) до прямої можна знайти, використавши наступну формулу

24. Кут між прямими, що задані рівнянням з кутом коефіцієнтом. Умови паралельності та перпендикулярності.

Кут A між двома прямими, які задані загальними рівняннями A1X+B1Y+C1=0 і A2X+A2Y+C2=0, обчислюється за формулою: cos(A)=(A1A2+B1B2)/((A1^2+B1^2)^0.5+(A2^2+B2^2)^0.5). Якщо прямі задані рівняннями y=k1x+b1 і y=k2x+b2, то кут між прямими обчислюється за формулою tg(A)=(k2-k1)/(1+k1k2). Умова паралельності двох прямих: A1/A2=B1/B2, K1=K2; . Умова перпендикулярності двох прямих: A1A2+B1B2=0 K2= -1/K1;